梅鳳翔 吳惠彬

(1．北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)(2．北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100081)

分析動(dòng)力學(xué)三個(gè)問(wèn)題的研究進(jìn)展*

梅鳳翔1吳惠彬2?

(1．北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)(2．北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100081)

分析力學(xué)的發(fā)展涉及理論的和應(yīng)用的諸多方面．本文在分析力學(xué)與數(shù)學(xué)交緣的三個(gè)問(wèn)題上綜述分析力學(xué)的近代發(fā)展．第一是利用Lie群和Lie代數(shù)的一些成果來(lái)研究分析動(dòng)力學(xué)方程的積分問(wèn)題．第二是將分析力學(xué)的經(jīng)典和近代積分方法應(yīng)用于一般微分方程的積分問(wèn)題．第三是將分析動(dòng)力學(xué)方程在一定條件下化成梯度系統(tǒng)的方程，再用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為．

分析力學(xué)， Lie群， Lie代數(shù)， 梯度系統(tǒng)， 動(dòng)力學(xué)方程積分

引言

分析力學(xué)從它誕生開(kāi)始就與數(shù)學(xué)結(jié)下不解之緣．分析力學(xué)歷史上做出重要貢獻(xiàn)的學(xué)者，如d’Alembert，Lagrange， Hamilton， Jacobi，Poincaré，Lyapunov等，既是力學(xué)家，又是數(shù)學(xué)家．1982年在意大利都靈由IUTAM－ISIMM聯(lián)合舉辦的“分析力學(xué)近代發(fā)展討論會(huì)”上，會(huì)議主席Lichnerowicz在開(kāi)幕式上說(shuō)“十九世紀(jì)末某些聰明的人去想，我們的物理學(xué)知識(shí)除了某些細(xì)節(jié)外已經(jīng)很完全了，Lagrange，Hamilton，Jacobi，Poincaré，Lyapunov 的工作也引導(dǎo)人們?nèi)ハ朐僖矝](méi)有什么本質(zhì)的東西可以補(bǔ)充到有限自由度系統(tǒng)去了”．“近三十年來(lái)，分析力學(xué)發(fā)生了根本變化．兩個(gè)因素:一個(gè)是大范圍微分幾何的進(jìn)步，另一個(gè)是數(shù)學(xué)分析，特別是流形上泛函分析的進(jìn)步，促進(jìn)了這種變化”［1］．Arnold指出:“事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)方法和概念都在經(jīng)典力學(xué)中得到應(yīng)用，如微分方程和相流，光滑映射和流形，Lie群和Lie代數(shù)，辛幾何和各態(tài)歷經(jīng)理論．許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生于力學(xué)中的問(wèn)題，只有后來(lái)才達(dá)到抽象的公理形式，并且使得它們難以理解”［2］．

幾何動(dòng)力學(xué)是分析力學(xué)的一個(gè)近代發(fā)展方向，并已取得重要進(jìn)展，例如文獻(xiàn)［2－15］．文獻(xiàn)［16］綜述了Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展，文獻(xiàn)［17］研究了非完整系統(tǒng)穩(wěn)定性的若干進(jìn)展，文獻(xiàn)［18］研究了對(duì)稱性與守恒量研究進(jìn)展，文獻(xiàn)［19］對(duì)非完整力學(xué)給出一些評(píng)論．本文試圖從分析力學(xué)與數(shù)學(xué)的交緣的幾個(gè)方面敘述分析力學(xué)的近代發(fā)展．一是Lie群和Lie代數(shù)對(duì)分析力學(xué)的應(yīng)用;二是微分方程的力學(xué)化;三是分析力學(xué)與梯度系統(tǒng)．

1 Lie群和Lie代數(shù)的應(yīng)用

1．1 Lie代數(shù)的應(yīng)用

1)基本概念

Lie代數(shù)有豐富的內(nèi)容，這里列出對(duì)分析力學(xué)最有用的部分．

Lie代數(shù)是域F上的代數(shù)L，元素 a，b，c滿足規(guī)律［20］

前一式表示積具有反對(duì)稱性，后一式表示積滿足Jacobi恒等式．

Lie容許代數(shù)是域F上的代數(shù)U，使得附屬代數(shù)U－是一個(gè)Lie代數(shù)，由積表征的與U是同一向量空間．

2)動(dòng)力學(xué)方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)

Lagrange方程和Hamilton方程具有Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)．特殊非完整系統(tǒng)的方程，包括其相應(yīng)完整系統(tǒng)的方程具有 Lagrange形式的非完整系統(tǒng)，具有Helmholtz勢(shì)的 Chaplygin系統(tǒng)［21］，實(shí)現(xiàn)非完整系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的非完整有勢(shì)系統(tǒng)［22，23］，自治和半自治Birkhoff系統(tǒng)［20，24］等，都具有 Lie 代數(shù)結(jié)構(gòu)［25］．

對(duì)Hamilton系統(tǒng)，將其表示為逆變形式

數(shù)學(xué)工作者側(cè)重研究代數(shù)本身，力學(xué)和物理學(xué)工作者側(cè)重構(gòu)造代數(shù)，并使代數(shù)有用．研究某函數(shù)A(a)，將按方程(3)求得的對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)A·定義為一個(gè)積A?H:

這個(gè)積滿足Lie代數(shù)公理．對(duì)更復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng)，一般沒(méi)有Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)，但有Lie容許代數(shù)結(jié)構(gòu)．

3)Poisson方法及其推廣

具有Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，可直接應(yīng)用Poisson積分法來(lái)求系統(tǒng)的積分;對(duì)于具有Lie容許代數(shù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，可以用推廣的Poisson積分法來(lái)求系統(tǒng)的積分［25］．

4)問(wèn)題

對(duì)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)一步應(yīng)用廣義Poisson方法求積分仍需深入研究．對(duì)于文獻(xiàn)［20］中提到的Jordan代數(shù)，Jordan容許代數(shù)以及交錯(cuò)代數(shù)，怎樣應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)方程還有待研究．

1．2 Lie群的應(yīng)用

Lie群是很重要的一類群，有極豐富的內(nèi)容和廣泛的應(yīng)用．自Noether的工作以來(lái)［26］，群的無(wú)限小變換用來(lái)研究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量取得重要進(jìn)展．

1)Noether對(duì)稱性與守恒量

Noether對(duì)稱性是Hamilton作用量在無(wú)限小變換下的一種不變性，由Noether對(duì)稱性可直接導(dǎo)出Noether守恒量［27－33］．

2)Lie對(duì)稱性與守恒量

Lie對(duì)稱性是微分方程在群的無(wú)限小變換下的不變性，利用 Lie對(duì)稱性可求得 Noether守恒量［33－36］，在一定條件下可求得 Hojman 型守恒量［37－40］．

3)形式不變性與守恒量

形式不變性是指微分方程中的動(dòng)力學(xué)函數(shù)在無(wú)限小變換后仍滿足原來(lái)方程的一種不變性［41］，利用形式不變性在一定條件下可導(dǎo)出系統(tǒng)的守恒量［42－47］．

4)問(wèn)題

以上三種對(duì)稱性以Noether對(duì)稱性簡(jiǎn)單、易用，以形式不變性最不易用．用已有對(duì)稱性繼續(xù)深入研究更復(fù)雜力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，并發(fā)現(xiàn)新的對(duì)稱性方法是一個(gè)重要問(wèn)題．用計(jì)算機(jī)尋求近似守恒量也有待開(kāi)發(fā)．

2 微分方程的力學(xué)化

微分方程歷史的第一個(gè)時(shí)期是由Newton和Leibniz的工作開(kāi)始的，……，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)以及某些幾何問(wèn)題的研究用微積分方法很快就化為一階或二階常微分方程中的一類最簡(jiǎn)單的方程［48］．可見(jiàn)，力學(xué)是微分方程的起源之一．同時(shí)，力學(xué)也促進(jìn)了微分方程的發(fā)展．力學(xué)上的難題，往往成為數(shù)學(xué)上的難題．

分析力學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中形成了一整套積分方法，如積分Lagrange方程的Whittaker降階法［49］和Routh降階法，積分Hamilton方程的Poisson方法和Hamilton－Jacobi方法，積分不變量方法，場(chǎng)方法［50－52］，勢(shì)積分方法［53］，Noether 對(duì)稱性方法，Lie對(duì)稱性方法，形式不變性方法，Jacobi最終乘子法，Lagrange 對(duì)稱性方法［54］，共形不變性方法［55－58］等．這些方法對(duì)解一般的微分方程也是有效的．為利用分析力學(xué)的方法求解微分方程，需將微分方程化成力學(xué)系統(tǒng)的方程．

2．1 微分方程的Hamilton化與求解

研究2n個(gè)一階方程

將其兩端乘以

并對(duì)ν求和，得

如果函數(shù)滿足

則可Hamilton化為

這樣，有不少方法可求解方程(7)，如，Hamilton－Jacobi方法［59］，Poisson 方法，場(chǎng)方法，Noether方法等［60］．

2．2 微分方程的部分Hamilton化與求解

如果方程不滿足條件(6)，可令

則方程可表示為

其中Hamilton函數(shù)為

而廣義力Qs為

方程(9)是一般微分方程(5)的力學(xué)表達(dá)，它代表一個(gè)一般的完整力學(xué)系統(tǒng)．

這樣，便可利用一般完整系統(tǒng)的積分方法來(lái)求解微分方程(5)，例如，廣義Poisson方法，場(chǎng)方法，Noether方法，Lie對(duì)稱性方法等．

2．3 微分方程的Lagrange化與求解

研究二階微分方程

方程(12)在一定條件下可表示為L(zhǎng)agrange方程［61，62］

這就是所謂Lagrange力學(xué)逆問(wèn)題．文獻(xiàn)［55］稱之為Helmholtz系統(tǒng)．

對(duì)方程(13)在一定條件下可用降階法降階，可將方程(13)表示為 Hamilton方程，進(jìn)而可用Poisson方法，Hamilton－Jacobi方法等來(lái)求解．還可用場(chǎng)方法，Lie方法，Noether方法等求解．

2．4 微分方程的部分Lagrange化與求解

研究二階微分方程組

則方程(14)可部分Lagrange化為

對(duì)方程(16)可用廣義Poisson方法，Noether方法，Lie方法，形式不變性方法等來(lái)求積分．同時(shí)，可用Hojman方法，場(chǎng)方法，勢(shì)積分方法等直接積分方程(16)．

2．5 微分方程的Birkhoff化與求解

微分方程(5)在一定條件下可化為Birkhoff方程

當(dāng)然，為構(gòu)造出 Birkhoff函數(shù) B=B(t，a)和Birkhoff函數(shù)組 Rμ=Rμ(t，a)還是很難的．

微分方程Birkhoff化后，便可利用Birkhoff系統(tǒng)的一系列積分方法來(lái)求解方程(17)，例如，廣義Poisson方法，Noether方法，Lie方法，形式不變性方法等．

2．6 微分方程的部分Birkhoff化與求解

文獻(xiàn)［63］提出如下方程

并稱之為廣義Birkhoff方程，其中 Λμ=Λμ(t，a)為附加項(xiàng)．將方程(5)化成方程(18)稱為微分方程的部分Birkhoff化．顯然，將方程(5)化成方程(18)要比化成方程(17)容易得多．

如果能夠?qū)Ψ匠?18)提出并建立積分方法，那么就可解決一般微分方程(5)的積分問(wèn)題．

關(guān)于用分析力學(xué)方法求解微分方程的工作見(jiàn)文獻(xiàn)［64－66］．

2．7 問(wèn)題

1)以方程(18)為基礎(chǔ)構(gòu)建廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)已有少許結(jié)果，仍需進(jìn)一步深入下去．

2)發(fā)展分析力學(xué)新的積分方法．

3 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與梯度系統(tǒng)

專著［67］第9章“大范圍的非線性技巧”中研究了兩類重要系統(tǒng):一個(gè)是梯度系統(tǒng)，另一個(gè)是Hamilton系統(tǒng)．梯度系統(tǒng)是微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)中的重要問(wèn)題，梯度系統(tǒng)有許多好的性質(zhì)，特別適合用Lyapunov函數(shù)來(lái)研究．如果動(dòng)力學(xué)方程能夠成為梯度系統(tǒng)的方程，那么便可利用梯度系統(tǒng)的特性反過(guò)來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為．

3．1 梯度系統(tǒng)

梯度系統(tǒng)的微分方程有形式

其中 V=V(x1，x2，…，xn)稱為勢(shì)函數(shù)．注意到，這個(gè)勢(shì)函數(shù)并不是力學(xué)系統(tǒng)中的勢(shì)能．方程(19)可表示為矢量形式

梯度系統(tǒng)有如下重要性質(zhì)［67］:

1)函數(shù)V是系統(tǒng)(20)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)，并且=0，當(dāng)且僅當(dāng)X是一個(gè)平衡點(diǎn);

2)設(shè)Z是一個(gè)梯度流的α極限點(diǎn)或ω極限點(diǎn)，則Z為平衡點(diǎn);

3)對(duì)梯度系統(tǒng)(20)，任一平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)都只有實(shí)特征根．

如果動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的方程能夠成為梯度系統(tǒng)的方程，那么就可利用梯度系統(tǒng)的以上三條性質(zhì)來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，特別是穩(wěn)定性分析．首先，由梯度系統(tǒng)可找到力學(xué)系統(tǒng)的平衡位置;其次，如果能夠成為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，那么就可利用Lyapunov定理研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用 Rumyatsev定理［68］研究部分變量穩(wěn)定性;最后，可直接用第三條性質(zhì)來(lái)判斷穩(wěn)定性．

3．2 斜梯度系統(tǒng)

文獻(xiàn)［69］指出，給出一個(gè)或幾個(gè)積分，或Lyapunov函數(shù)，則常微分方程可寫成線梯度系統(tǒng)．斜梯度系統(tǒng)是線梯度系統(tǒng)的一個(gè)重要的特殊情形．如果一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)可以成為斜梯度系統(tǒng)，那么就可利用斜梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的積分和穩(wěn)定性．

斜梯度系統(tǒng)的微分方程可表示為

其中aij=－aji．斜梯度系統(tǒng)有如下重要性質(zhì)［69］:

1)函數(shù)V是斜梯度系統(tǒng)(21)的積分;

2)若函數(shù)V是一個(gè)Lyapunov函數(shù)，則零解是穩(wěn)定的．

以上兩條性質(zhì)可用來(lái)研究可化成斜梯度系統(tǒng)的力學(xué)系統(tǒng)的積分和穩(wěn)定性．

3．3 動(dòng)力學(xué)方程的梯度化

1)完整系統(tǒng)

假設(shè)系統(tǒng)是定常的，非奇異的，則動(dòng)力學(xué)方程可表示為

則方程表示為

如果滿足條件

則方程(21)是一梯度系統(tǒng)．

2)非完整系統(tǒng)

將定常非完整系統(tǒng)化成相應(yīng)完整系統(tǒng)，可按上述方法討論相應(yīng)完整系統(tǒng)的梯度化．

3)Birkhoff系統(tǒng)

自治Birkhoff系統(tǒng)的方程可表示為

如果滿足條件

則Birkhoff系統(tǒng)可表示為梯度系統(tǒng)．

3．4 動(dòng)力學(xué)方程的斜梯度化

1)Lagrange系統(tǒng)和Hamilton系統(tǒng)

假設(shè)Lagrange系統(tǒng)和Hamilton系統(tǒng)都不包含時(shí)間t，則方程可表示為

其中

顯然，系統(tǒng)(26)是一個(gè)斜梯度系統(tǒng)．

2)Birkhoff系統(tǒng)

自治情形的Birkhoff方程有形式(24)，它是一個(gè)斜梯度系統(tǒng)．

廣義Birkhoff系統(tǒng)的方程有形式［63］

對(duì)自治情形，有

方程(27)可表示為

如果存在函數(shù)=(a)，使得

則方程(28)成為

顯然，方程(30)是一個(gè)斜梯度系統(tǒng)．

3)廣義Hamilton系統(tǒng)

廣義Hamilton系統(tǒng)的方程為

其中Jij=－Jji．顯然，廣義Hamilton系統(tǒng)(31)是一個(gè)斜梯度系統(tǒng)．

3．5 積分和穩(wěn)定性分析

1)如果梯度系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)可以成為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，則可利用Lyapunov定理來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性;

2)如果梯度系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)可以成為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，則可利用Rumyatsev定理［68］來(lái)研究部分變量穩(wěn)定性;

3)根據(jù)梯度系統(tǒng)的第三條性質(zhì)，對(duì)已化成梯度系統(tǒng)的力學(xué)系統(tǒng)，可判斷不穩(wěn)定性．

4)斜梯度系統(tǒng)的函數(shù)V是一個(gè)積分，如果它可以成為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，則其零解是穩(wěn)定的．

3．6 問(wèn)題

1)對(duì)非定常系統(tǒng)，能否與怎樣化成梯度系統(tǒng)?

2)研究更多更復(fù)雜力學(xué)系統(tǒng)的梯度化和斜梯度化．

4 結(jié)束語(yǔ)

分析力學(xué)學(xué)科的發(fā)展涉及理論的和應(yīng)用的諸多方面．分析力學(xué)200多年的發(fā)展歷程始終與數(shù)學(xué)緊密關(guān)聯(lián)著．一方面，數(shù)學(xué)的進(jìn)步促進(jìn)了分析力學(xué)的發(fā)展．正如IUTAM前主席，工程出身的荷蘭著名力學(xué)家Koiter指出的，要想使力學(xué)進(jìn)步，一定要用更加抽象更加精密的數(shù)學(xué)．應(yīng)用數(shù)學(xué)的成果來(lái)發(fā)展分析力學(xué)還有待開(kāi)發(fā)．另一方面，分析力學(xué)的進(jìn)步也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．本文涉及的三個(gè)問(wèn)題，都是分析力學(xué)與數(shù)學(xué)的交緣．第一個(gè)問(wèn)題是將Lie群和Lie代數(shù)的一些結(jié)果應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)方程的積分．第二個(gè)問(wèn)題是將分析力學(xué)的積分方法應(yīng)用于微分方程的積分．第三個(gè)問(wèn)題是將動(dòng)力學(xué)方程化成梯度系統(tǒng)的方程，再用梯度系統(tǒng)的特性來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的行為．最后，用如下框圖表示本文的基本思路．

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(10932002，10972031，11272050)

? Corresponding author E－mail:huibinwu@bit．edu．cn

ADVANCES IN THREE PROBLEMS OF ANALYTICAL DYNAMICS*

Mei Fengxiang1Wu Huibin2?
(1．School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China)(2．School of Mathematics，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China)

The development of analytical mechanics involves many aspects of theory and application．This paper summarizes the recent progress of analytical mechanics in three problems on the interdisciplinarity between analytical mechanics and mathematics．The first is to study the integration problem of equations of analytical dynamics by using some results of Lie groups and Lie algebras．The second is to apply the classical and modern integration methods of analytical mechanics to the integration problem of general differential equations．The third is to transform the equations of analytical dynamics into the equations of gradient system under certain conditions and then discuss the dynamical behaviors of the mechanical system by using the properties of gradient system．

analytical mechanics， Lie group， Lie algebra， gradient system， integration of dynamical equations

17 June 2013，

15 July 2013．

10．6052/1672－6553－2013－106

2013－06－17 收到第 1 稿，2013－07－15 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10932002，10972031，11272050)

E－mail:huibinwu@bit．edu．cn