賈麗平 鄭麗霞

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051)

廣義Burgers方程的對(duì)稱分類及其約化

賈麗平 鄭麗霞?

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051)

利用李群方法對(duì)廣義Burgers方程ut+f(x，t)(ux－uxx)=0的對(duì)稱分類及其約化作具體討論，其中f是關(guān)于自變量x，u的光滑函數(shù)，得到了f(x，t)的八種分類對(duì)稱及相應(yīng)的約化方程．該結(jié)果對(duì)于廣義Burgers方程精確解的研究有重要意義．

李對(duì)稱， 無(wú)窮小生成元， 廣義Burgers方程， 李群方法， 對(duì)稱分類

引言

1948年，歐美學(xué)者Johannes Burgers首先用模型

來(lái)描述流體中的湍流．人們對(duì)此方程的研究不斷深入，它也就成了描述對(duì)流－耗散流之間相互影響的最原始模型．這個(gè)方程就被人們以Johannes Burgers的名字命名為“Burgers方程”，這里u=u(x，t)．廣義的Burgers方程模式是一個(gè)重要的和普遍的非線性模式．本文考慮廣義Burgers方程

其中f是關(guān)于自變量x，u的光滑函數(shù)．

前人用不同的方法對(duì)Burgers方程和廣義Burgers方程諸多討論．文獻(xiàn)［1，2，3，4，5］利用優(yōu)化系統(tǒng)和李代數(shù)方法等對(duì)非粘性Burgers方程作具體的討論;文獻(xiàn)［6，7，8，9］對(duì)廣義 Burgers方程和 Burgers方程作具體討論．本文主要是應(yīng)用文獻(xiàn)［10］的方法對(duì)(1)式進(jìn)行對(duì)稱分類及其約化，得到了f(x，u)的八種分類對(duì)稱及相應(yīng)的約化方程．

1 廣義Burgers方程的對(duì)稱分類

設(shè)方程(1)擁有的對(duì)稱無(wú)窮小生成元為:

利用PDE的不變性的無(wú)窮小準(zhǔn)則，有

其中u滿足(1)，由(2)式解得確定方程組并化解得

假設(shè)fu≠0，(9)可寫(xiě)為:

將(10)分為兩種情況:

討論上述的第一種情況

其中c為非零常數(shù)．

在(12)中，我們得到f關(guān)于x，u的函數(shù)

k1為任意常數(shù)．則(11)變?yōu)?/p>

將(14)代入(4)～(9)，解方程組得

其中ci，i=1，2，3，是任意常數(shù)．

所以方程(1)的Lie對(duì)稱生成元為

則方程(1)有3個(gè)有限維對(duì)稱

當(dāng)(13)成立時(shí)，(11)可寫(xiě)為

因(7)得 φuu=0，所以設(shè)g(u)=e1u+e2，(e1≠0，e2為任意常數(shù))，即

其中ci，i=1，2，3，是任意常數(shù)．

討論上述的第二種情況

在情況二中，我們將它分為十六種情況進(jìn)行討論，其中部分情況不符合條件，對(duì)符合條件的做具體分析．分類具體如下(主要是在(10)中進(jìn)行分類)

綜上:符合條件的只有六種情況，我們只對(duì)如上六種情況進(jìn)行分析，分別對(duì)方程求其對(duì)稱(計(jì)算方法同上)．

表1 兩種情況的所有對(duì)稱分類結(jié)果Table 1 All the symmetry classification results of two cases

經(jīng)過(guò)以上兩種情況的討論，計(jì)算出兩種情況的所有對(duì)稱結(jié)果如表1．

這里c，l是不相等的非零常數(shù)，k1，k2為任意常數(shù)．

2 廣義Burgers方程的對(duì)稱約化

討論上述的第一種情況

計(jì)算(15)對(duì)稱向量X1對(duì)應(yīng)的方程約化，它的特征方程為

得不變量t=θ，u= －cx+q，其中 θ，q為任意常數(shù)．令q=h(θ)，則u= －cx+h(t)，將u代入(1)，h(t)滿足

計(jì)算(15)對(duì)稱向量對(duì)應(yīng)的方程約化，它的特征方程為

根據(jù)如上的計(jì)算方法對(duì)剩余七種進(jìn)行計(jì)算，對(duì)情況わ、ぷ的所有分類的部分對(duì)稱對(duì)應(yīng)的約化方程具體如下(表2)．

表2 兩種情況中部分對(duì)稱對(duì)應(yīng)的約化方程Table 2 Partially symmetrical corresponding reduced equation in two cases

其中對(duì)稱向量X3對(duì)應(yīng)的約化方程與情況④，⑥中對(duì)稱向量X2，X1的計(jì)算過(guò)程類似．

3 總結(jié)

本文主要是用李群方法對(duì)如上廣義Burgers方程的系數(shù)函數(shù)進(jìn)行分類，得到其對(duì)應(yīng)的對(duì)稱及約化方程，這些結(jié)果，有利于我們進(jìn)一步研究方程的精確解．對(duì)稱分類問(wèn)題是該領(lǐng)域的難點(diǎn)問(wèn)題，由于此方程的系數(shù)函數(shù)中含有兩個(gè)自變量，計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)于系數(shù)函數(shù)含有多個(gè)自變量的未知函數(shù)的方程的對(duì)稱分類分類問(wèn)題，還有待于我們進(jìn)一步研究．

1 Nadjafikhah M．Classification of similarity solutions for inviscid burgers’equation．Advances in Applied Clifford Algebras，2010，20:71 ～77

2 Nadjafikhah M．Lie symmetries of inviscid burgers equation．Advances in Applied Clifford Algebras，2009，19:101～112

3 Ouhadan A，El Kinani E H．Lie symmetries of the equation ut(x，t)+g(u)ux(x，t)=0．Advances in Applied Clifford Algebras，2007，17(1):95 ～106

4 Nadjafikhah M．Lie symmetries of inviscid burgers equa－tion．Advances in Applied Clifford Algebras，2009，19(1):101～112

5 Sarrico C O R．Distributional products and global solutions for nonconservative inviscid Burgers equation．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，281:641 ～656

6 Liu H，Li J，Zhang Q．Lie symmetry analysis and exact explicit solutions for general Burgers’equation．Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，228:1 ～9

7 Yan Z Y．A transformation with symbolic computation and abundant new soliton－like solutions for the(1+2)－dimensional generalized Burgers equation．Journal of Physics A:Mathematical and General，2002，35:9923 –9930

8 Smaoui N，Mekka M．The generalized Burgers equation with and without a time delay．Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis，2004，1:73～96

9 Wood L W．An exact solution for Burgers equation．Communications in Numerical Methods in Engineering，2006，22:797～798

10 Nadjafikhah M，Bakhshandeh C R，Mahdipour S A．A symmetry classification for a class of(2+1)nonlinear wave equation．Nonlinear Analysis，2009，71(11):5164～5169

? Corresponding author E－mail:18647157859@163．com

SYMMETRY CLASSIFICATIONS AND REDUCTIONS FOR GENERALIZED BURGERS EQUATION

Jia Liping Zheng Lixia?
(College of Science，Inner Mongolia University of Technology，Hohhot010051，China)

Symmetry classifications and reductions for generalized Burgers equationut+f(x，t)(ux－uxx)=0 were discussed specifically by using Lie group method，wherefis the smooth function ofx，u．And we obtained eight categories classified symmetry and the corresponding reduced equation off(x，t)．The results provide reference for the exact solutions of the generalized Burgers equation study．

Lie symmetry， infinitesimal generator， generalized Burgers equation， Lie group methods，symmetry classification

5 July 2013，

21 August 2013．

10．6052/1672－6553－2013－092

2013－07－05 收到第 1 稿，2013－08－21 收到修改稿．

E－mail:18647157859@163．com