趙雄

摘?要：用向量法求解二面角降低了綜合法的解題技巧，把抽象的幾何問(wèn)題代數(shù)化，并有很強(qiáng)的規(guī)律性和可操作性。本文通過(guò)對(duì)平面法向量方向的判斷和利用平面法向量的夾角來(lái)表示二面角的平面角以及在兩個(gè)半平面內(nèi)用垂直公共棱的兩個(gè)向量之間夾角來(lái)表示二面角的平面角對(duì)二面角問(wèn)題的求解進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：二面角；法向量；方向；基向量；平面角

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷推進(jìn)，空間向量作為研究空間幾何的強(qiáng)有力工具，給空間幾何問(wèn)題的研究注入了新的生機(jī)和活力，開(kāi)辟了很多解題的新途徑，新方法，新思路?？臻g向量法將抽象的幾何問(wèn)題代數(shù)化，以算代證，將問(wèn)題具體化，并有很強(qiáng)的規(guī)律性和可操作性。因此，在解決空間幾何問(wèn)題中普遍使用，尤其是用法向量求解二面角大大降低了綜合法的解題技巧，使得解題思維更直接清晰，解題過(guò)程更簡(jiǎn)潔流暢。

借助平面法向量求二面角時(shí)，二面角的平面角θ的大小與法向量的所成角α（α=＜n1，n2＞）相等或互補(bǔ)，當(dāng)二面角兩個(gè)法向量都指向二面角的內(nèi)部或外部時(shí)，θ=π-α；當(dāng)兩個(gè)法向量一個(gè)指向二面角的內(nèi)部而另一個(gè)指向二面角的外部時(shí)θ=α對(duì)于法向量的方向的判斷一直是個(gè)難點(diǎn)，具體問(wèn)題中如何判斷法向量的方向，具體方法如下：

在二面角的公共棱上任取一點(diǎn)M，在二面角內(nèi)部任取一點(diǎn)N（分別在兩個(gè)半平面內(nèi)各取一點(diǎn)A，B，則線段AB的中點(diǎn)（N）在二面角的內(nèi)部），構(gòu)造向量MN，根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的夾角的定義，法向量n1，n2的方向均指向二面角內(nèi)部時(shí)，n1·MN＞0且n2·MN＞0（若n1，n2均指向二面角外部時(shí)有n1·MN＜0且n2·MN＜0）即n1·MN與n2·MN同號(hào)時(shí)，二面角兩個(gè)半平面的法向量都指向二面角的內(nèi)部（或外部），這是二面角θ=π-＜n1，n2＞。

法向量n1的方向指向二面角內(nèi)部，n2的方向指向二面角外部時(shí)，有n1·MN＞0且n2·MN＜0，即 n1·MN與n2·MN異號(hào)時(shí)，二面角兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部，這是二面角θ=＜n1，n2＞。為方便記憶概括為“同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等”。

例題：如圖，四棱錐P—ABCD中，

底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，

AB=2AD，PD⊥底面ABCD。

（Ⅰ）證明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-

C的余弦值。

此法是先通過(guò)空間向量的坐標(biāo)形式求出兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，再通過(guò)利用MN·n1和MN·n2的值的符號(hào)來(lái)判斷法向量的方向進(jìn)而確定二面角平面角的余弦值。

此法思路清晰直接，通過(guò)代數(shù)計(jì)算代替綜合法的“作，證，求”，降低了對(duì)邏輯推理能力和空間想象能力的要求，但增加了計(jì)算量，方法可行但不方便。為回避求平面法向量和判斷法向量方向，我們可以在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找與公共棱垂直的兩個(gè)向量的夾角來(lái)表示二面角的平面角。

用基底向量法即選取空間任意不共面的三個(gè)向量作為基向量，根據(jù)空間向量的基本定理，將所需的向量用基底表示出來(lái)，再利用向量的“線性運(yùn)算”“數(shù)量積”等進(jìn)行求解，用這兩個(gè)向量的夾角直接表示二面角。

點(diǎn)評(píng)：用坐標(biāo)向量法求解二面角，沒(méi)有求二面角的兩個(gè)半平面的法向量，而是在二面角兩個(gè)半平面內(nèi)找個(gè)兩個(gè)與棱垂直的向量，用這兩個(gè)向量的夾角直接表示二面角。用坐標(biāo)法計(jì)算降低了對(duì)平面向量基向量運(yùn)算的思維過(guò)程的要求，使整個(gè)解題思路更加直接清晰，解題過(guò)程更加流暢與完整。

空間圖形奇異多姿，然而透視奇異有法眼，破解詭秘有法術(shù)。我們自有“一舉突破”之招術(shù)，“一氣呵成”之招數(shù)，“一錘定音”之招法，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，立體問(wèn)題坐標(biāo)化，我們解答空間幾何問(wèn)題就能按圖索驥，得心應(yīng)手，運(yùn)籌帷幄，決勝千里。

參考文獻(xiàn)：

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