王振朝，周 陽，周 玉，張自力，董愛國，王亞芳

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 數(shù)理學(xué)院,北京 100083)

1 普氏擺現(xiàn)象簡(jiǎn)介

1922年，德國物理學(xué)家Carl Pulfrich發(fā)現(xiàn)了一個(gè)現(xiàn)象[1]，當(dāng)用繩子懸吊的重?cái)[在平面內(nèi)作往復(fù)擺動(dòng)時(shí)，如果用1塊茶色鏡遮住1只眼睛，同時(shí)睜眼看到的擺的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)從單擺軌跡變?yōu)轭愃茩E圓的立體軌跡，這種現(xiàn)象被后人稱為“普氏擺現(xiàn)象”. 實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，裝置中間有重?cái)[，周圍有數(shù)根固定的柱子，用作參考物，戴上眼鏡后觀察重?cái)[更有立體感. 后來的研究表明，在動(dòng)態(tài)噪音模式下也存在類普氏擺現(xiàn)象[2]. 在應(yīng)用方面，除了用于科學(xué)演示外，普氏擺現(xiàn)象還是Circlescan 4D的核心[3]，是未來立體電影研發(fā)的依據(jù).

圖1 普氏擺實(shí)驗(yàn)裝置

普氏擺現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理一直有爭(zhēng)議，現(xiàn)在廣為大家所接受的解釋是：相對(duì)于未遮擋眼睛而言，被光衰減鏡遮擋的眼睛接收刺激信號(hào)有一定的延遲[4-8]，約0.01 s[9]，正因?yàn)檠舆t，有光衰減鏡的那一只眼要比另一只眼晚看到單擺，產(chǎn)生深度上的錯(cuò)覺[10]，從而看到立體的軌跡.

基于普氏擺的產(chǎn)生機(jī)理，本文推導(dǎo)了普氏擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并對(duì)影響普氏擺演示效果的一些因素進(jìn)行了分析討論.

2 數(shù)學(xué)模型的建立

以擺球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，擺球擺動(dòng)平面為x-z平面建立坐標(biāo)系，雙眼在x-y平面，假設(shè)右眼戴鏡片，當(dāng)小球自右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，左眼看到的小球在A的位置，由于時(shí)間延遲此時(shí)右眼看到的小球在A′位置，雙眼交匯的虛像位置為P，如圖2所示，擺線長為l，小球釋放的初始高度為h，人眼距擺平面的距離為d, 瞳距為d′, 在任意點(diǎn)小球的速度設(shè)為v，可以分解為水平方向的v1和豎直方向的v2，視線與小球最低點(diǎn)水平. 因?yàn)檠劬Φ难舆t時(shí)間很短(0.01 s)，在推導(dǎo)中以A點(diǎn)的速率作為擺球從A到A′的平均速率. 另外，為了簡(jiǎn)化問題，假設(shè)擺球在理想條件下擺動(dòng)，滿足能量守恒，因此擺球運(yùn)動(dòng)滿足：

圖2 擺球運(yùn)動(dòng)示意圖

3 運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究

3.1 水平方向的運(yùn)動(dòng)

代入表達(dá)式得：

圖3 小球在x-y平面的投影圖(自右向左運(yùn)動(dòng))

當(dāng)小球自左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖4所示，推導(dǎo)過程類似，PD=-y，有：

圖4 小球在x-y平面的投影圖(自左向右運(yùn)動(dòng))

3.2 豎直方向的運(yùn)動(dòng)

同理，在豎直方向可以將三維圖投影到y(tǒng)-z平面上，得到如圖5的示意圖，此時(shí)B和C重合，A和A′近似重合，過P作PG垂直于y軸. 則存在相似三角形，得到：

代入表達(dá)式得：

圖5 小球在y-z平面投影圖

3.3 運(yùn)動(dòng)方程的建立

通過前面的推導(dǎo)，只要聯(lián)立(1)～(3)和(6)式，就可以得到，當(dāng)小球自右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：

(7)

當(dāng)小球自左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：

(8)

3.4 普氏擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的圖示

根據(jù)方程(7)和(8)，利用Matlab給出普氏擺運(yùn)動(dòng)的圖形，如圖6～7所示，其中l(wèi)=0.5 m,h=0.1 m,d=1.0 m,d′=0.07 m，t=0.01 s.

圖6 三維圖像

圖7 投影到x-y平面

從圖7可以看出，投影到x-y平面上的圖像類似于橢圓形，但不是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓，該圖形關(guān)于x軸不對(duì)稱.

4 分析和討論

4.1 延遲時(shí)間的影響

方程(7)和(8)中y分量上下同時(shí)除以Δt，可以得到

所以，延遲時(shí)間越長，|y|越大，擺球偏離擺平面的幅度越大，現(xiàn)象越明顯，但是由于延遲時(shí)間涉及普氏擺現(xiàn)象的形成機(jī)制，Δt是不是常量，是否因人而異都是需要探討的問題.

4.2 人眼距擺的距離的影響

通過方程(7)和(8)中y分量，可以看出，d增大，|y|越大，也就是小球前后擺動(dòng)的幅度越大，這一結(jié)論和實(shí)際實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象一致.

4.3 擺球最大高度的影響

方程(7)和(8)中y分量上下同時(shí)除以v，得到：

可以看出，v越大，y越大，而擺球的最大高度決定了小球的最大速度，因此擺球初始高度h越大，現(xiàn)象越明顯，這和實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象一致.

5 結(jié)束語

推導(dǎo)了普氏擺運(yùn)動(dòng)的像點(diǎn)軌跡方程，并對(duì)其方程進(jìn)行了分析討論. 通過方程可知，普氏擺在人眼中的運(yùn)動(dòng)軌跡是近似橢圓形但不是標(biāo)準(zhǔn)橢圓形，其圖形關(guān)于擺平面不對(duì)稱，略微向擺平面的后方偏移，影響其演示效果的主要有延遲時(shí)間、人眼距擺平面的距離、擺球釋放的高度等.

參考文獻(xiàn)：

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