韓然，吳正朋

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特點(diǎn)是研究小樣本和貧信息等不確定性問題，由于沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)的大量存在，導(dǎo)致了定量預(yù)測結(jié)果與人們直觀的定性分析結(jié)論大相徑庭的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。問題的癥結(jié)不在于模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)數(shù)據(jù)因系統(tǒng)本身受到某種沖擊波的干擾而失真。因此，尋求定量預(yù)測與定性分析的結(jié)合點(diǎn)是擺在每一位預(yù)測工作者面前的一個(gè)首要問題。灰色系統(tǒng)的理論的主要任務(wù)之一就是根據(jù)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征，尋求不同系統(tǒng)變量之間或系統(tǒng)變量自身的數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律，其中的“新信息優(yōu)先原理”是灰色系統(tǒng)理論的信息觀，即認(rèn)為新信息對認(rèn)知的作用大于老信息，賦予新信息較大的權(quán)重可以提高灰色建模、灰色預(yù)測、灰色決策等的功效，其中的方法體系——灰色序列生成，是指通過信息覆蓋，選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽υ紨?shù)據(jù)進(jìn)行挖掘、整理以尋求系統(tǒng)變化規(guī)律的技術(shù)，劉思峰教授在文獻(xiàn)[1-4]中提出了沖擊擾動(dòng)緩沖算子的概念，并構(gòu)造了若干強(qiáng)化緩沖算子。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，引入了插值函數(shù)并提出了一類新的強(qiáng)化緩沖算子的構(gòu)造，通過研究其特性和實(shí)例驗(yàn)證了本文構(gòu)造的強(qiáng)化緩沖算子的有效性，從而拓廣了灰色系統(tǒng)模型的應(yīng)用范圍。

2 基本概念

定義1 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，若

①?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，則稱X為單調(diào)增長序列；

②?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，則稱X為單調(diào)衰減序列；

③若?k，k′{2，3，…，n}有

定義2 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。

對序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子，分別記為XD2，…，XDr。

定義3 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當(dāng)X為單調(diào)增長(單調(diào)衰減或振蕩)序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(衰減速度)增強(qiáng)或振幅增大，則稱緩沖算子D為強(qiáng)化緩沖算子。

公理1(不動(dòng)點(diǎn)公理)設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則D滿足x(n)d=x(n)。

公理2(信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應(yīng)充分參與算子作用的全過程。

公理3(解析化與規(guī)范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)，都可以由一個(gè)統(tǒng)一的x(1)，…，x(n)的初等解析表達(dá)式表達(dá)。

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子，XD稱為緩沖序列。

由文獻(xiàn)[5]知，為了保證緩沖算子公理體系的嚴(yán)密性，我們認(rèn)為緩沖算子還應(yīng)滿足第四個(gè)公理。

公理4(單調(diào)性不變公理)設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，X經(jīng)序列算子D作用后所得數(shù)據(jù)序列為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則序列XD與序列X的單調(diào)性必須保持一致。

定理1(1)設(shè)X為單調(diào)增長序列，XD為緩沖序列，則D為強(qiáng)化緩沖算子?x(k)≥x(k)d，k=1，…，n；

(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則D為強(qiáng)化緩沖算子?x(k)≤x(k)d，k=1，…，n；

(3)設(shè)X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為強(qiáng)化緩沖算子，則

由定理1可知，單調(diào)增長序列在強(qiáng)化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮；單調(diào)衰減序列在強(qiáng)化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。

3 新的強(qiáng)化緩沖算子的構(gòu)造

定理2 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，fi>0，gi為fi的反函數(shù)，其緩沖序列為XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)dn)，其中

證明：容易驗(yàn)證，D1滿足緩沖算子三公理。所以D1為緩沖算子。下面將證明D1為強(qiáng)化緩沖算子。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有

0

因?yàn)閒i嚴(yán)格單調(diào)遞增，且fi>0則

又因?yàn)間i為fi的反函數(shù)，則

≤gi(fi(x(k)))=x(k)，

由定理1知D1為強(qiáng)化緩沖算子。

(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，有

x(k)≥…≥x(n)>0，

因?yàn)閒i嚴(yán)格單調(diào)遞增，且fi>0則

“我是梅西，現(xiàn)在慌的一批”主要是因?yàn)槎砹_斯世界杯比賽網(wǎng)友調(diào)侃梅西而誕生的梗。慌得一批是網(wǎng)絡(luò)用語，其含義為恐懼、不安的意思。2018年世界杯期間，作為五屆金球獎(jiǎng)得主梅西0進(jìn)球，又失點(diǎn)，導(dǎo)致最后阿根廷1:1平冰島。

又因?yàn)間i為fi的反函數(shù)，則

由定理1知D1為強(qiáng)化緩沖算子。

在這里，稱D1為廣義平均強(qiáng)化緩沖算子。

定理3 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，fi>0，gi為fi的反函數(shù)，其緩沖序列為XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)dn)，其中

k=1，…，n。則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列時(shí)，D2為強(qiáng)化緩沖算子。

證明：容易驗(yàn)證，D2滿足緩沖算子三公理。所以D2為緩沖算子。下面將證明D2為強(qiáng)化緩沖算子。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有

0

因?yàn)閒i嚴(yán)格單調(diào)遞增，且fi>0則

0

又因?yàn)間i為fi的反函數(shù)，則

x(k)d2=gi

≤gi(fi(x(k)))=x(k)

由定理1知D2為強(qiáng)化緩沖算子。

可仿定理2證明當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，D2為強(qiáng)化緩沖算子。這里稱D2為廣義加權(quán)平均強(qiáng)化緩沖算子。

定理4 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，fi>0，gi為fi的反函數(shù)，其緩沖序列為XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d)，其中

k=1，…，n。則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列時(shí)，D3為強(qiáng)化緩沖算子。

證明：容易驗(yàn)證，D3滿足緩沖算子三公理。所以D3為緩沖算子。下面將證明D3為強(qiáng)化緩沖算子。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時(shí)，有

0

因?yàn)閒i嚴(yán)格單調(diào)遞增，且fi>0則

又因?yàn)間i為fi的反函數(shù)，則

≤gi(fi(x(k)))=x(k)，

由定理1知D3為強(qiáng)化緩沖算子。

可仿定理2證明當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，D3為強(qiáng)化緩沖算子。這里稱D3為廣義幾何平均強(qiáng)化緩沖算子。

4 實(shí)例分析

引用文獻(xiàn)[2]中的實(shí)例來驗(yàn)證本文強(qiáng)化緩沖算子在GM(1，1)預(yù)測過程中的作用。選取2000-2006年中國人均電力消費(fèi)量作為原始數(shù)據(jù)序列，見表1。

表1 中國人均電力消費(fèi)量 單位：kwh

(其中P代表人均電力消費(fèi)量)

目前，中國處在經(jīng)濟(jì)發(fā)展的工業(yè)化進(jìn)程中，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展對電力的依賴比較大。本文以2000-2005年中國人均電力消費(fèi)量的原始數(shù)據(jù)序列作為建模數(shù)據(jù)，2006年數(shù)據(jù)作為模型檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。技術(shù)人均電力消費(fèi)量環(huán)比增長依次為：9.125%，8.091%，11.132%，9.499%，13.933%，15.09%，年平均增長率為9.468%。對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)，可以計(jì)算當(dāng)t≥2003時(shí)，光滑比分別為：0.401、0.313、0.272、0.246，均在(0，0.5)內(nèi)，且光滑比遞減，滿足準(zhǔn)光滑性條件，因此原始序列的一次累加生成序列具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律[1]。但是明顯看出，原始序列前半部分增長速度有點(diǎn)慢，后半部分增長速度較快，因此，最好要對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行平滑，以削弱沖擊擾動(dòng)因素的干擾，凸現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律性。

為此，取fi(x)=x2，gi(x)=x0.5，i=1，…，n來構(gòu)造緩沖算子，以本文構(gòu)造的緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行二階強(qiáng)化處理，建立預(yù)測模型，并和原始數(shù)據(jù)序列直接建模進(jìn)行比較，如表2可見：

表2 GM(1，1)模型

由表2可知，原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過強(qiáng)化緩沖算子D1、D2、D3二次作用后，預(yù)測相對誤差分別為3.28%，3.84%，1.36%，所得到的強(qiáng)化緩沖序列都比原始數(shù)據(jù)序列直接建模的預(yù)測相對誤差5.04%要小，其中D3作用后得到強(qiáng)化緩沖序列的誤差最小，預(yù)測值為252.78，比較接近觀測值249.4，預(yù)測精度最高。并且本文構(gòu)造的強(qiáng)化緩沖算子的一步預(yù)測精度都比文獻(xiàn)[2]中的精度要高。

5 結(jié)論

本文在已有的文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，根據(jù)嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)和時(shí)間序列的平均發(fā)展速度的思想構(gòu)造了一類新的強(qiáng)化緩沖算子，用所構(gòu)造的緩沖算子對具有前半部分增長速度較慢，而后半部分增長速度較快特征的原始數(shù)據(jù)序列與二階強(qiáng)化緩沖序列分別進(jìn)行了預(yù)測精度比較。實(shí)例結(jié)果表明：(1)用D1、D2和D3強(qiáng)化緩沖算子處理的緩沖序列預(yù)測精度比原始數(shù)據(jù)序列有顯著提高；(2)通過比較3個(gè)新的強(qiáng)化緩沖算子作用后的強(qiáng)化緩沖序列的預(yù)測值可以發(fā)現(xiàn)，D1、D2和D3作用的強(qiáng)化緩沖序列預(yù)測值逐漸逼近觀測值，其中原始序列經(jīng)過D3作用后，預(yù)測相對誤差最小。D3強(qiáng)化緩沖算子能夠充分有效地消除原始數(shù)據(jù)序列中的沖擊擾動(dòng)因素的干擾，顯現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律性。且顯示可通過選擇不同的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)f，g來提高預(yù)測精度。因此，對于具體的數(shù)據(jù)，如何選擇嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)f，g是接下來研究的重點(diǎn)。

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