“面積”不一定是面積

江蘇省海門市冠今中學(226100)董書生

一、油膜法實驗中的“面積”就是面積

圖1例1在做“用油膜法估測分子的大小”實驗中，油酸酒精溶液的濃度為每104 mL溶液中有純油酸6 mL.用注射器測得1 mL上述溶液中有液滴50滴.把1滴該溶液滴入盛水的淺盤里，待水面穩(wěn)定后，將玻璃板放在淺盤上，在玻璃板上描出油膜的輪廓，隨后把玻璃板放在坐標紙上，其形狀如圖1所示，坐標中正方形小方格的邊長為20 mm.求：(1)油酸膜的面積是多少?(2)每一滴油酸酒精溶液中含有純油酸的體積是多少?(3)根據上述數據，估測出油酸分子的直徑是多少?

解析本實驗采用使油酸在水面上形成一層單分子油膜的方法，估測分子的大小.如果油酸分子可以大致看做球形，油膜的厚度就是分子的直徑.在計算油膜面積時，油膜所占的小方格，小于半個舍去.最后根據1滴油酸的體積V和油膜面積S就可以算出油膜的厚度(D=VS)，即油酸分子的尺寸.其線度的數量級為10-10m.我們可以用不同的方法估測分子的大小.用不同的方法測出的分子大小并不完全相同，但是數量級是一致的.除了一些高分子有機物之外，一般分子直徑的數量級約為10-10m.10-10m是一個極小的數，

(1)數輪廓包圍方格約58個.則油酸膜的面積S＝58×(2×10-2)2m2＝2.32×10-2 m2.(2)每滴溶液中含純油酸的體積V＝150×6104mL＝1.2×10-5 mL.(3)油酸分子直徑d＝VS=1.2×10-5×10-62.32×10-2m＝5×10-10 m.

二、力學v-t圖中的“面積”為位移

例2總質量為80 kg的跳傘運動員從離地500 m的直升機上跳下,經過2 s拉開繩索開啟降落傘,如圖2所示是跳傘過程中的v-t圖象,試根據圖象估算14 s內運動員下落的高度 (g取10 m/s2)

圖2圖3解析由v-t圖中可知，運動員在14 s內速度是非線性變化，我們只能通過由面積估算得出運動員在14 s內下落的高度：即每格2×2=4 m，共計40×4=160 m.（如圖3）

通過該題，我們知道了在v-t圖象中，速度圖象與t軸所夾的面積表示位移大小.其實圖象中的“面積”應用很廣泛，不僅限于v-t圖中，在運動學、電學、熱學中都會涉及到.下面我們就分別從運動學、電學、熱學中分別來探究.

三、電學中I-t圖中“面積”為電量

例3如圖4甲所示，一邊長L=2.5 m、質量m=0.5 kg的正方形金屬線框，放在光滑絕緣的水平面上，整個裝置放在方向豎直向上、磁感應強度B=0.8 T的勻強磁場中，它的一邊與磁場的邊界MN重合.在水平力F作用下由靜止開始向左運動，經過5 s線框被拉出磁場.測得金屬線框中的電流隨時間變化的圖象如圖4乙所示，在金屬線框被拉出的過程中.(1)求通過線框導線截面的電量及線框的電阻；(2)寫出水平力F隨時間變化的表達式；(3)已知在這5 s內力F做功1.92 J，那么在此過程中，線框產生的焦耳熱是多少？

圖4圖5解析(1)法一：根據q=It，由I-t圖象得：q=1.25 C.法二：由I-t圖象中電流與時間所夾面積得：q=(0.5×5)/2=1.25(C)（如圖5）.又根據I＝ER＝ΔφRt=BL2Rt,得R=4Ω.(2)由電流圖象可知，感應電流隨時間變化的規(guī)律：I＝0.1t.由感應電流I=BLvR，可得金屬框的速度隨時間也是線性變化的，v=RIBL=0.2t.線框做勻加速直線運動，加速度a=0.2 m/s2.線框在外力F和安培力FA作用下做勻加速直線運動， F-FA=ma,得力F＝（0.2 t＋0.1）N.⑶ t＝5 s時，線框從磁場中拉出時的速度v5=at=1 m/s,線框中產生的焦耳熱Q=W-12mv25=1.67J.

我們發(fā)現在線性變化下，平均值法和面積法都很適用，如果非線性變化下怎么辦？如圖6所示，該如何求5 s內通過線框導線截面的電量？

圖6圖7解析只能用面積法，q=77×0.05×0.5=1.925C.（如圖中陰影部分）

通過本題探究，我們發(fā)現在I-t圖中電流隨時間的變化圖象與 t軸所夾的面積表示電量的增加.這在電學中解決電學量非線性變化時提供了一個求解的方法.

四、熱學p-V圖中“面積”為做功

例4如圖8所示為一定質量的某種理想氣體由狀態(tài) A 經過狀態(tài) C 變?yōu)闋顟B(tài) B 的圖象，下列說法正確的是 （ ）.

圖8圖9A．該氣體在狀態(tài)A時的內能等于在狀態(tài)B時的內能

B．該氣體在狀態(tài)A時的內能等于在狀態(tài)C時的內能

C．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程

D．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)C對外界所做的功大于從狀態(tài)C至狀態(tài)B對外界所做的功

圖10解析如圖10在A點pAVA=1.4×1=1.4，在B點pBVB=0.4×3.5=1.4, pV/T=恒量，故TA=TB ，UA=UB，選A排除B.從A到B，一直對外做功，由ΔU=W+Q, 可知，狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程.故C對.對于D選項可以用面積來表示對外做功的多少，從A到C面積約占5格（如圖9）.從C到B面積約占10格（如圖10）,不難看出從A到C對外做功比從C到B做功多，故D錯.

通過本題的探究，我們發(fā)現在P-V圖中壓強隨體積的變化圖象與體積所夾的面積表示對外做功的多少，這在熱學中解決壓強非線性變化下物體對外做功提供了一個求解的方法.

綜上所述，圖象中的“面積”在運動學、電學、熱學中均有體現， 尤其對題目中涉及某個物理量隨另一個物理量非線性變化時，可以采用類比的思想使物體的復雜過程變得簡單明了.這種思維方法在物理解題過程中非常重要的.(收稿日期：2014-01-01)

“面積”不一定是面積

江蘇省海門市冠今中學(226100)董書生

一、油膜法實驗中的“面積”就是面積

圖1例1在做“用油膜法估測分子的大小”實驗中，油酸酒精溶液的濃度為每104 mL溶液中有純油酸6 mL.用注射器測得1 mL上述溶液中有液滴50滴.把1滴該溶液滴入盛水的淺盤里，待水面穩(wěn)定后，將玻璃板放在淺盤上，在玻璃板上描出油膜的輪廓，隨后把玻璃板放在坐標紙上，其形狀如圖1所示，坐標中正方形小方格的邊長為20 mm.求：(1)油酸膜的面積是多少?(2)每一滴油酸酒精溶液中含有純油酸的體積是多少?(3)根據上述數據，估測出油酸分子的直徑是多少?

解析本實驗采用使油酸在水面上形成一層單分子油膜的方法，估測分子的大小.如果油酸分子可以大致看做球形，油膜的厚度就是分子的直徑.在計算油膜面積時，油膜所占的小方格，小于半個舍去.最后根據1滴油酸的體積V和油膜面積S就可以算出油膜的厚度(D=VS)，即油酸分子的尺寸.其線度的數量級為10-10m.我們可以用不同的方法估測分子的大小.用不同的方法測出的分子大小并不完全相同，但是數量級是一致的.除了一些高分子有機物之外，一般分子直徑的數量級約為10-10m.10-10m是一個極小的數，

(1)數輪廓包圍方格約58個.則油酸膜的面積S＝58×(2×10-2)2m2＝2.32×10-2 m2.(2)每滴溶液中含純油酸的體積V＝150×6104mL＝1.2×10-5 mL.(3)油酸分子直徑d＝VS=1.2×10-5×10-62.32×10-2m＝5×10-10 m.

二、力學v-t圖中的“面積”為位移

例2總質量為80 kg的跳傘運動員從離地500 m的直升機上跳下,經過2 s拉開繩索開啟降落傘,如圖2所示是跳傘過程中的v-t圖象,試根據圖象估算14 s內運動員下落的高度 (g取10 m/s2)

圖2圖3解析由v-t圖中可知，運動員在14 s內速度是非線性變化，我們只能通過由面積估算得出運動員在14 s內下落的高度：即每格2×2=4 m，共計40×4=160 m.（如圖3）

通過該題，我們知道了在v-t圖象中，速度圖象與t軸所夾的面積表示位移大小.其實圖象中的“面積”應用很廣泛，不僅限于v-t圖中，在運動學、電學、熱學中都會涉及到.下面我們就分別從運動學、電學、熱學中分別來探究.

三、電學中I-t圖中“面積”為電量

例3如圖4甲所示，一邊長L=2.5 m、質量m=0.5 kg的正方形金屬線框，放在光滑絕緣的水平面上，整個裝置放在方向豎直向上、磁感應強度B=0.8 T的勻強磁場中，它的一邊與磁場的邊界MN重合.在水平力F作用下由靜止開始向左運動，經過5 s線框被拉出磁場.測得金屬線框中的電流隨時間變化的圖象如圖4乙所示，在金屬線框被拉出的過程中.(1)求通過線框導線截面的電量及線框的電阻；(2)寫出水平力F隨時間變化的表達式；(3)已知在這5 s內力F做功1.92 J，那么在此過程中，線框產生的焦耳熱是多少？

圖4圖5解析(1)法一：根據q=It，由I-t圖象得：q=1.25 C.法二：由I-t圖象中電流與時間所夾面積得：q=(0.5×5)/2=1.25(C)（如圖5）.又根據I＝ER＝ΔφRt=BL2Rt,得R=4Ω.(2)由電流圖象可知，感應電流隨時間變化的規(guī)律：I＝0.1t.由感應電流I=BLvR，可得金屬框的速度隨時間也是線性變化的，v=RIBL=0.2t.線框做勻加速直線運動，加速度a=0.2 m/s2.線框在外力F和安培力FA作用下做勻加速直線運動， F-FA=ma,得力F＝（0.2 t＋0.1）N.⑶ t＝5 s時，線框從磁場中拉出時的速度v5=at=1 m/s,線框中產生的焦耳熱Q=W-12mv25=1.67J.

我們發(fā)現在線性變化下，平均值法和面積法都很適用，如果非線性變化下怎么辦？如圖6所示，該如何求5 s內通過線框導線截面的電量？

圖6圖7解析只能用面積法，q=77×0.05×0.5=1.925C.（如圖中陰影部分）

通過本題探究，我們發(fā)現在I-t圖中電流隨時間的變化圖象與 t軸所夾的面積表示電量的增加.這在電學中解決電學量非線性變化時提供了一個求解的方法.

四、熱學p-V圖中“面積”為做功

例4如圖8所示為一定質量的某種理想氣體由狀態(tài) A 經過狀態(tài) C 變?yōu)闋顟B(tài) B 的圖象，下列說法正確的是 （ ）.

圖8圖9A．該氣體在狀態(tài)A時的內能等于在狀態(tài)B時的內能

B．該氣體在狀態(tài)A時的內能等于在狀態(tài)C時的內能

C．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程

D．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)C對外界所做的功大于從狀態(tài)C至狀態(tài)B對外界所做的功

圖10解析如圖10在A點pAVA=1.4×1=1.4，在B點pBVB=0.4×3.5=1.4, pV/T=恒量，故TA=TB ，UA=UB，選A排除B.從A到B，一直對外做功，由ΔU=W+Q, 可知，狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程.故C對.對于D選項可以用面積來表示對外做功的多少，從A到C面積約占5格（如圖9）.從C到B面積約占10格（如圖10）,不難看出從A到C對外做功比從C到B做功多，故D錯.

通過本題的探究，我們發(fā)現在P-V圖中壓強隨體積的變化圖象與體積所夾的面積表示對外做功的多少，這在熱學中解決壓強非線性變化下物體對外做功提供了一個求解的方法.

綜上所述，圖象中的“面積”在運動學、電學、熱學中均有體現， 尤其對題目中涉及某個物理量隨另一個物理量非線性變化時，可以采用類比的思想使物體的復雜過程變得簡單明了.這種思維方法在物理解題過程中非常重要的.(收稿日期：2014-01-01)

“面積”不一定是面積

江蘇省海門市冠今中學(226100)董書生

一、油膜法實驗中的“面積”就是面積

圖1例1在做“用油膜法估測分子的大小”實驗中，油酸酒精溶液的濃度為每104 mL溶液中有純油酸6 mL.用注射器測得1 mL上述溶液中有液滴50滴.把1滴該溶液滴入盛水的淺盤里，待水面穩(wěn)定后，將玻璃板放在淺盤上，在玻璃板上描出油膜的輪廓，隨后把玻璃板放在坐標紙上，其形狀如圖1所示，坐標中正方形小方格的邊長為20 mm.求：(1)油酸膜的面積是多少?(2)每一滴油酸酒精溶液中含有純油酸的體積是多少?(3)根據上述數據，估測出油酸分子的直徑是多少?

解析本實驗采用使油酸在水面上形成一層單分子油膜的方法，估測分子的大小.如果油酸分子可以大致看做球形，油膜的厚度就是分子的直徑.在計算油膜面積時，油膜所占的小方格，小于半個舍去.最后根據1滴油酸的體積V和油膜面積S就可以算出油膜的厚度(D=VS)，即油酸分子的尺寸.其線度的數量級為10-10m.我們可以用不同的方法估測分子的大小.用不同的方法測出的分子大小并不完全相同，但是數量級是一致的.除了一些高分子有機物之外，一般分子直徑的數量級約為10-10m.10-10m是一個極小的數，

(1)數輪廓包圍方格約58個.則油酸膜的面積S＝58×(2×10-2)2m2＝2.32×10-2 m2.(2)每滴溶液中含純油酸的體積V＝150×6104mL＝1.2×10-5 mL.(3)油酸分子直徑d＝VS=1.2×10-5×10-62.32×10-2m＝5×10-10 m.

二、力學v-t圖中的“面積”為位移

例2總質量為80 kg的跳傘運動員從離地500 m的直升機上跳下,經過2 s拉開繩索開啟降落傘,如圖2所示是跳傘過程中的v-t圖象,試根據圖象估算14 s內運動員下落的高度 (g取10 m/s2)

圖2圖3解析由v-t圖中可知，運動員在14 s內速度是非線性變化，我們只能通過由面積估算得出運動員在14 s內下落的高度：即每格2×2=4 m，共計40×4=160 m.（如圖3）

通過該題，我們知道了在v-t圖象中，速度圖象與t軸所夾的面積表示位移大小.其實圖象中的“面積”應用很廣泛，不僅限于v-t圖中，在運動學、電學、熱學中都會涉及到.下面我們就分別從運動學、電學、熱學中分別來探究.

三、電學中I-t圖中“面積”為電量

例3如圖4甲所示，一邊長L=2.5 m、質量m=0.5 kg的正方形金屬線框，放在光滑絕緣的水平面上，整個裝置放在方向豎直向上、磁感應強度B=0.8 T的勻強磁場中，它的一邊與磁場的邊界MN重合.在水平力F作用下由靜止開始向左運動，經過5 s線框被拉出磁場.測得金屬線框中的電流隨時間變化的圖象如圖4乙所示，在金屬線框被拉出的過程中.(1)求通過線框導線截面的電量及線框的電阻；(2)寫出水平力F隨時間變化的表達式；(3)已知在這5 s內力F做功1.92 J，那么在此過程中，線框產生的焦耳熱是多少？

圖4圖5解析(1)法一：根據q=It，由I-t圖象得：q=1.25 C.法二：由I-t圖象中電流與時間所夾面積得：q=(0.5×5)/2=1.25(C)（如圖5）.又根據I＝ER＝ΔφRt=BL2Rt,得R=4Ω.(2)由電流圖象可知，感應電流隨時間變化的規(guī)律：I＝0.1t.由感應電流I=BLvR，可得金屬框的速度隨時間也是線性變化的，v=RIBL=0.2t.線框做勻加速直線運動，加速度a=0.2 m/s2.線框在外力F和安培力FA作用下做勻加速直線運動， F-FA=ma,得力F＝（0.2 t＋0.1）N.⑶ t＝5 s時，線框從磁場中拉出時的速度v5=at=1 m/s,線框中產生的焦耳熱Q=W-12mv25=1.67J.

我們發(fā)現在線性變化下，平均值法和面積法都很適用，如果非線性變化下怎么辦？如圖6所示，該如何求5 s內通過線框導線截面的電量？

圖6圖7解析只能用面積法，q=77×0.05×0.5=1.925C.（如圖中陰影部分）

通過本題探究，我們發(fā)現在I-t圖中電流隨時間的變化圖象與 t軸所夾的面積表示電量的增加.這在電學中解決電學量非線性變化時提供了一個求解的方法.

四、熱學p-V圖中“面積”為做功

例4如圖8所示為一定質量的某種理想氣體由狀態(tài) A 經過狀態(tài) C 變?yōu)闋顟B(tài) B 的圖象，下列說法正確的是 （ ）.

圖8圖9A．該氣體在狀態(tài)A時的內能等于在狀態(tài)B時的內能

B．該氣體在狀態(tài)A時的內能等于在狀態(tài)C時的內能

C．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程

D．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)C對外界所做的功大于從狀態(tài)C至狀態(tài)B對外界所做的功

圖10解析如圖10在A點pAVA=1.4×1=1.4，在B點pBVB=0.4×3.5=1.4, pV/T=恒量，故TA=TB ，UA=UB，選A排除B.從A到B，一直對外做功，由ΔU=W+Q, 可知，狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程.故C對.對于D選項可以用面積來表示對外做功的多少，從A到C面積約占5格（如圖9）.從C到B面積約占10格（如圖10）,不難看出從A到C對外做功比從C到B做功多，故D錯.

通過本題的探究，我們發(fā)現在P-V圖中壓強隨體積的變化圖象與體積所夾的面積表示對外做功的多少，這在熱學中解決壓強非線性變化下物體對外做功提供了一個求解的方法.

綜上所述，圖象中的“面積”在運動學、電學、熱學中均有體現， 尤其對題目中涉及某個物理量隨另一個物理量非線性變化時，可以采用類比的思想使物體的復雜過程變得簡單明了.這種思維方法在物理解題過程中非常重要的.(收稿日期：2014-01-01)