電場(chǎng)中有關(guān)電勢(shì)重要結(jié)論的推導(dǎo)及其應(yīng)用

河南省鞏義市鞏義中學(xué)(451200)寧鵬程

在高考物理試題中電學(xué)內(nèi)容和力學(xué)內(nèi)容大約各占50分，電場(chǎng)知識(shí)在電學(xué)中的地位也非常重要，下面我們圍繞電場(chǎng)中有關(guān)電勢(shì)的問(wèn)題進(jìn)行深入探討，并總結(jié)了四個(gè)重要結(jié)論，以期對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)和幫助.

圖1重要結(jié)論1：如圖1所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，A、B和C在同一條直線上，C為AB的中點(diǎn)（即：AC=CB）,那么C點(diǎn)的電勢(shì)等于A點(diǎn)的電勢(shì)和B點(diǎn)的電勢(shì)的和的一半.即：若A、B和C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為φA、φB和φC，則：φC=φA+φB2.

證明如圖1所示，設(shè)AB和電場(chǎng)強(qiáng)度的方向的夾角為θ，把一個(gè)帶電量為q的正電荷沿著AB方向從A移到B.設(shè)AC=CB=L.

則：從A移到C,電場(chǎng)力做功：

WAC=qELcosθ=qUAC=q(φA-φC)①

從C移到B,電場(chǎng)力做功：

WCB=qELcosθ=qUCB=q(φC-φB)②

由①②得：φA-φC=φC-φB

所以：φC=φA+φB2

圖2重要結(jié)論2：如圖2所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，A、B、C、D和M在同一條直線上，AB=BC=CD=DM,A、B、C、D和M的電勢(shì)分別為φA、φB、φC、φD和φM.

則：φA-φB=φB-φC=φC-φD=φD-φM.

也可證明： φB=3φA+φM4

拓展：若AM=nAB，則： φB=(n-1)φA+φMn

證明如圖2所示，設(shè)AM和電場(chǎng)強(qiáng)度的方向的夾角為θ，把一個(gè)帶電量為q的正電荷沿著AB方向從A移到M.設(shè)AB=BC=CD=DM=L.

則：從A移到B,電場(chǎng)力做功：WAB=qELcosθ=qUAB=q(φA-φB)

從B移到C,電場(chǎng)力做功：

WBC=qELcosθ=qUBC=q(φB-φC)

從C移到D,電場(chǎng)力做功：

WCD=qELcosθ=qUCD=q(φC-φD)

從D移到M,電場(chǎng)力做功：

WDM=qELcosθ=qUDM=q(φD-φM)

由以上各式得：

φA-φB=φB-φC=φC-φD=φD-φM

又由： φA-φM=φA-φB+φB-φC+φC-φD+φD-φM=4(φA-φB)

所以： φA-φM=4φA-4φB

進(jìn)一步得： φB=3φA+φM4

同理可證明：若AM=nAB，

則： φB=(n-1)φA+φMn

圖3重要結(jié)論3：如圖3所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，四邊形ABCD為平行四邊形,A、B、C和D的電勢(shì)分別為φA、φB、φC和φD.

則： φA-φB=φD-φC

證明如圖3所示，設(shè)AB和電場(chǎng)強(qiáng)度的方向的夾角為θ，把一個(gè)帶電量為q的正電荷沿著AB方向從A移到B.設(shè)AB=DC=L.

則：從A移到B,電場(chǎng)力做功：WAB=qELcosθ=qUAB=q(φA-φB)

同理：把該正電荷從D移到C,電場(chǎng)力做功：

WDC=qELcosθ=qUDC=q(φD-φC)

由以上各式得： φA-φB=φD-φC

本結(jié)論也可以總結(jié)為：若在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，兩條線段AB和DC平行且相等，則： φA-φB=φD-φC.

例1如圖4所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，四邊形ABCD為矩形,A、B、C和D的電勢(shì)分別為φA、φB、φC和φD.

圖4圖5已知：φA=8 V、φB=16 V和φC=20 V,求：D的電勢(shì)φD.

解法一如圖5所示，連接AD和CB，它們相交于O點(diǎn)，則O既是AD的中點(diǎn)，又是CB的中點(diǎn).

由重要結(jié)論1得：φO=φA+φD2=φB+φC2

即： φA+φD=φB+φC=8 V+φD

=16 V+20 V

解得： φD=28 V

解法二在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，兩條線段AB和DC平行且相等，則：

由重要結(jié)論3得： φA-φB=φC-φD

=8 V-16 V=20 V-φD

解得： φD=28 V

重要結(jié)論4：等勢(shì)面（或等勢(shì)線）和電場(chǎng)線垂直，沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)越來(lái)越低.

例2如圖6所示，A、B和C為勻強(qiáng)電場(chǎng)中的三點(diǎn)，A、B和C的電勢(shì)分別為φA、φB和φC，已知：φA=6 V、φB=4 V、φC=5 V，請(qǐng)畫(huà)出該勻強(qiáng)電場(chǎng)中的一條電場(chǎng)線.

圖6圖7分析與解如圖7所示，連接AB，設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由結(jié)論1得：φD=φA+φB2=5 V，由于φC=5 V，C和D在一條等勢(shì)線上，連接DC（DC為等勢(shì)線），過(guò)A點(diǎn)向直線DC作垂線交DC于F，由重要結(jié)論4得：AF就是該勻強(qiáng)電場(chǎng)中的一條電場(chǎng)線.

例3空間有一均勻強(qiáng)電場(chǎng)，在電場(chǎng)中建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系O-xyz，M、N、P為電場(chǎng)中的三個(gè)點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)（0,a,0)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0,0)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,a2,a2).已知電場(chǎng)方向平行于直線MN，M點(diǎn)電勢(shì)為零，N點(diǎn)電勢(shì)為1 V，求P點(diǎn)的電勢(shì)？

圖8圖9分析與解如圖9所示，本題首先把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，

設(shè)P點(diǎn)在平面MDNO的射影為P1，P1點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,a2,0)，P1是DN的中點(diǎn).PP1垂直于平面MDNO，由于電場(chǎng)方向平行于直線MN，MN在平面MDNO中.由立體幾何知識(shí)可知：PP1垂直于電場(chǎng)線.PP1是一條等勢(shì)線.所以P的電勢(shì)等于P1的電勢(shì)即：φP=φP1.由題意畫(huà)出勻強(qiáng)電場(chǎng)的一條電場(chǎng)線MN.由于MDNO為正方形，DO和MN互相垂直且平分，所以：O1為MN的中點(diǎn)，DO是一條等勢(shì)線.

由結(jié)論1得：φO1=φN+φM2=12V.過(guò)P1做DO的平行線交MN于P2，則：P2為NO1的中點(diǎn)，P1P2垂直于MN，P1P2是一條等勢(shì)線.所以P2的電勢(shì)等于P1的電勢(shì)即：φP2=φP1.

由重要結(jié)論1得：φP2=φN+φO12=34V.所以P點(diǎn)的電勢(shì)φP=φP1=φP2=34V.

圖10例4如圖10所示，空間中存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)，正方體ABCDEFGH中A、B、C、H四點(diǎn)電勢(shì)分別為φA＝4 V，φB＝6 V，φC＝9 V， φH＝5 V．則下面說(shuō)法正確的是().

A．把1C正電荷從B點(diǎn)經(jīng)G點(diǎn)移到H點(diǎn)，電場(chǎng)力做功一定是2 J

B．G點(diǎn)電勢(shì)可能為6 V

C．A、G兩點(diǎn)的電勢(shì)差UAG與D、F兩點(diǎn)的電勢(shì)差UDF一定相等

D．電場(chǎng)強(qiáng)度方向一定與D、G兩點(diǎn)的連線垂直

分析與解

由于AB和DC平行，A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差UAB與D、C兩點(diǎn)的電勢(shì)差UDC相等，即：UAB=UDC，φA-φB=φD-φC，4V-6V=φD-9V，所以：φD=7V；

由于AB和GH平行，A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差UAB與H、G兩點(diǎn)的電勢(shì)差UHG相等，即：UAB=UHG，φA-φB=φH-φG，4V-6V=5V-φG，所以：φD=φG=7V，D、G兩點(diǎn)的連線為一條等勢(shì)線，由于電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直，所以電場(chǎng)強(qiáng)度方向一定與D、G兩點(diǎn)的連線垂直，答案D正確，答案B錯(cuò)誤；把1C正電荷從B點(diǎn)經(jīng)G點(diǎn)移到H點(diǎn)，電場(chǎng)力做功WBC=qUBC=q(φB-φC)=1×(6-7)=-1(J)，答案A錯(cuò)誤； UAG=φA-φG=4V-7V=-3V，由于DG和AF平行，A、F兩點(diǎn)的連線也是一條等勢(shì)線，即：φA=φF=4V.所以UDF=φD-φF=7V-7V=3V，答案C錯(cuò)誤.綜合上面的分析，本題答案選D.

例5（2012高考理綜安徽卷第18題）：如圖11所示，在平面直角坐標(biāo)中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為零，點(diǎn)A處的電勢(shì)為6 V, 點(diǎn)B處的電勢(shì)為3 V, 則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為().

A.200 V/mB. 2003V/m

C.100V/m D.1003V/m

圖11圖12解析如圖12所示，不妨設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)A的連線的中點(diǎn)為C，則OC=3 cm，由重要結(jié)論1得：C點(diǎn)的電勢(shì)為φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，則φC=φO+φA2=3 V.由于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，等勢(shì)線是直線，φC=3 V，φB=3 V，所以連接B和C兩點(diǎn)，BC是一條等勢(shì)線.由于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)線和等勢(shì)線互相垂直，且沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)越來(lái)越低.不妨過(guò)O點(diǎn)做一條電場(chǎng)線與BC交于D點(diǎn)，則φD=φC=3V，且DO和BC垂直.設(shè)BC和CO的夾角為θ，則在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.則在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正確.

例6一空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)中A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)恰構(gòu)成正四面體，如圖13所示.已知電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向平行于正四面體的底面ABC，正四面體棱長(zhǎng)為23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，則可判斷（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

圖13圖14解析 由于電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)線是直線，所以在勻強(qiáng)電場(chǎng)中等勢(shì)線和電場(chǎng)線垂直且是一條直線.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一條等勢(shì)線，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如圖14所示，不妨過(guò)D點(diǎn)做平面ABC的垂線DO，O點(diǎn)在平面ABC中，連接CO交AB于M，由幾何知識(shí)可得：CM垂直于AB，CM是一條電場(chǎng)線.

由立體幾何知識(shí)可得：一條直線垂直于一個(gè)平面時(shí)，該直線和這個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直.所以DO是一條等勢(shì)線，φD=φO，UDC=UOC.

由幾何關(guān)系可得：OC=23MC

則：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正確，答案B錯(cuò)誤.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

綜合上面分析可得：本題答案選A C.

圖15例7如圖15所示，A、B、C、D、E、F為勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，已知A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為2V、8V和10V.下列說(shuō)法中正確的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零勢(shì)面通過(guò)E點(diǎn)

C．將一質(zhì)子從D點(diǎn)移到A點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為8eV

D．將一電子從F點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為4eV

解析由于A、B點(diǎn)的電勢(shì)分別為2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由幾何關(guān)系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.進(jìn)一步得：UFC=2UAB，由于C點(diǎn)的電勢(shì)為10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，設(shè)FC的中點(diǎn)為F1，則F1點(diǎn)的電勢(shì)為φF1=φF+φC2=4V，設(shè)FF1的中點(diǎn)為F2，則F2點(diǎn)的電勢(shì)為φF2=φF+φF12=1 V，又由幾何關(guān)系可得:F2又是AE的中點(diǎn)，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零勢(shì)面通過(guò)E點(diǎn)，答案B正確；

由幾何關(guān)系可得：AB平行于ED，且ED=AB，進(jìn)一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，則：UAB=φA-φD=-4 V，答案A錯(cuò)誤；將一質(zhì)子從D點(diǎn)移到A點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為WAD=eUAD=-4 eV，答案C錯(cuò)誤；將一電子從F點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D錯(cuò)誤.綜合上面分析可得：本題答案選B.

例8如圖16所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中有a、b、c三點(diǎn).在以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.電場(chǎng)方向與三角形所在平面平行.已知a、b和c點(diǎn)的電勢(shì)分別為(2-3)V、(2+3)V和2V.該三角形的外接圓上最低、最高電勢(shì)分別為().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

圖16圖17

解析如圖17所示，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線與等勢(shì)面是平行等間距排列，且電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處垂直，沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)均勻降落，取ab的中點(diǎn)O，O即為三角形的外接圓的圓心，且該點(diǎn)電勢(shì)為2V，故Oc為等勢(shì)面，MN為電場(chǎng)線，方向?yàn)镸N方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N點(diǎn)電勢(shì)為零，且為最小電勢(shì)點(diǎn)，同理UMO=2V，M點(diǎn)電勢(shì)為4V，且為最大電勢(shì)點(diǎn).綜合上面分析可得：本題答案選B.

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)做物理題過(guò)程中，不僅要能夠把所遇到的物理試題做對(duì)做好，而且在做對(duì)做好的同時(shí)，要對(duì)所做過(guò)的物理題進(jìn)行深刻的思索，看一看能不能歸納總結(jié)出一些重要的結(jié)論.總結(jié)出這些規(guī)律性的東西，會(huì)幫助我們認(rèn)清楚物理問(wèn)題的本質(zhì).這樣久而久之，我們學(xué)習(xí)物理就會(huì)興趣盎然，物理就不難學(xué)了，我們?cè)谂龅轿锢韱?wèn)題時(shí)，就會(huì)得心應(yīng)手.

(收稿日期：2013-05-02)

圖11圖12解析如圖12所示，不妨設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)A的連線的中點(diǎn)為C，則OC=3 cm，由重要結(jié)論1得：C點(diǎn)的電勢(shì)為φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，則φC=φO+φA2=3 V.由于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，等勢(shì)線是直線，φC=3 V，φB=3 V，所以連接B和C兩點(diǎn)，BC是一條等勢(shì)線.由于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)線和等勢(shì)線互相垂直，且沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)越來(lái)越低.不妨過(guò)O點(diǎn)做一條電場(chǎng)線與BC交于D點(diǎn)，則φD=φC=3V，且DO和BC垂直.設(shè)BC和CO的夾角為θ，則在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.則在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正確.

例6一空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)中A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)恰構(gòu)成正四面體，如圖13所示.已知電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向平行于正四面體的底面ABC，正四面體棱長(zhǎng)為23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，則可判斷（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

圖13圖14解析 由于電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)線是直線，所以在勻強(qiáng)電場(chǎng)中等勢(shì)線和電場(chǎng)線垂直且是一條直線.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一條等勢(shì)線，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如圖14所示，不妨過(guò)D點(diǎn)做平面ABC的垂線DO，O點(diǎn)在平面ABC中，連接CO交AB于M，由幾何知識(shí)可得：CM垂直于AB，CM是一條電場(chǎng)線.

由立體幾何知識(shí)可得：一條直線垂直于一個(gè)平面時(shí)，該直線和這個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直.所以DO是一條等勢(shì)線，φD=φO，UDC=UOC.

由幾何關(guān)系可得：OC=23MC

則：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正確，答案B錯(cuò)誤.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

綜合上面分析可得：本題答案選A C.

圖15例7如圖15所示，A、B、C、D、E、F為勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，已知A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為2V、8V和10V.下列說(shuō)法中正確的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零勢(shì)面通過(guò)E點(diǎn)

C．將一質(zhì)子從D點(diǎn)移到A點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為8eV

D．將一電子從F點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為4eV

解析由于A、B點(diǎn)的電勢(shì)分別為2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由幾何關(guān)系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.進(jìn)一步得：UFC=2UAB，由于C點(diǎn)的電勢(shì)為10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，設(shè)FC的中點(diǎn)為F1，則F1點(diǎn)的電勢(shì)為φF1=φF+φC2=4V，設(shè)FF1的中點(diǎn)為F2，則F2點(diǎn)的電勢(shì)為φF2=φF+φF12=1 V，又由幾何關(guān)系可得:F2又是AE的中點(diǎn)，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零勢(shì)面通過(guò)E點(diǎn)，答案B正確；

由幾何關(guān)系可得：AB平行于ED，且ED=AB，進(jìn)一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，則：UAB=φA-φD=-4 V，答案A錯(cuò)誤；將一質(zhì)子從D點(diǎn)移到A點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為WAD=eUAD=-4 eV，答案C錯(cuò)誤；將一電子從F點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D錯(cuò)誤.綜合上面分析可得：本題答案選B.

例8如圖16所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中有a、b、c三點(diǎn).在以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.電場(chǎng)方向與三角形所在平面平行.已知a、b和c點(diǎn)的電勢(shì)分別為(2-3)V、(2+3)V和2V.該三角形的外接圓上最低、最高電勢(shì)分別為().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

圖16圖17

解析如圖17所示，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線與等勢(shì)面是平行等間距排列，且電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處垂直，沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)均勻降落，取ab的中點(diǎn)O，O即為三角形的外接圓的圓心，且該點(diǎn)電勢(shì)為2V，故Oc為等勢(shì)面，MN為電場(chǎng)線，方向?yàn)镸N方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N點(diǎn)電勢(shì)為零，且為最小電勢(shì)點(diǎn)，同理UMO=2V，M點(diǎn)電勢(shì)為4V，且為最大電勢(shì)點(diǎn).綜合上面分析可得：本題答案選B.

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)做物理題過(guò)程中，不僅要能夠把所遇到的物理試題做對(duì)做好，而且在做對(duì)做好的同時(shí)，要對(duì)所做過(guò)的物理題進(jìn)行深刻的思索，看一看能不能歸納總結(jié)出一些重要的結(jié)論.總結(jié)出這些規(guī)律性的東西，會(huì)幫助我們認(rèn)清楚物理問(wèn)題的本質(zhì).這樣久而久之，我們學(xué)習(xí)物理就會(huì)興趣盎然，物理就不難學(xué)了，我們?cè)谂龅轿锢韱?wèn)題時(shí)，就會(huì)得心應(yīng)手.

(收稿日期：2013-05-02)

圖11圖12解析如圖12所示，不妨設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)A的連線的中點(diǎn)為C，則OC=3 cm，由重要結(jié)論1得：C點(diǎn)的電勢(shì)為φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，則φC=φO+φA2=3 V.由于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，等勢(shì)線是直線，φC=3 V，φB=3 V，所以連接B和C兩點(diǎn)，BC是一條等勢(shì)線.由于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)線和等勢(shì)線互相垂直，且沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)越來(lái)越低.不妨過(guò)O點(diǎn)做一條電場(chǎng)線與BC交于D點(diǎn)，則φD=φC=3V，且DO和BC垂直.設(shè)BC和CO的夾角為θ，則在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.則在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正確.

例6一空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)中A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)恰構(gòu)成正四面體，如圖13所示.已知電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向平行于正四面體的底面ABC，正四面體棱長(zhǎng)為23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，則可判斷（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

圖13圖14解析 由于電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)線是直線，所以在勻強(qiáng)電場(chǎng)中等勢(shì)線和電場(chǎng)線垂直且是一條直線.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一條等勢(shì)線，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如圖14所示，不妨過(guò)D點(diǎn)做平面ABC的垂線DO，O點(diǎn)在平面ABC中，連接CO交AB于M，由幾何知識(shí)可得：CM垂直于AB，CM是一條電場(chǎng)線.

由立體幾何知識(shí)可得：一條直線垂直于一個(gè)平面時(shí)，該直線和這個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直.所以DO是一條等勢(shì)線，φD=φO，UDC=UOC.

由幾何關(guān)系可得：OC=23MC

則：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正確，答案B錯(cuò)誤.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

綜合上面分析可得：本題答案選A C.

圖15例7如圖15所示，A、B、C、D、E、F為勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，已知A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為2V、8V和10V.下列說(shuō)法中正確的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零勢(shì)面通過(guò)E點(diǎn)

C．將一質(zhì)子從D點(diǎn)移到A點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為8eV

D．將一電子從F點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為4eV

解析由于A、B點(diǎn)的電勢(shì)分別為2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由幾何關(guān)系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.進(jìn)一步得：UFC=2UAB，由于C點(diǎn)的電勢(shì)為10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，設(shè)FC的中點(diǎn)為F1，則F1點(diǎn)的電勢(shì)為φF1=φF+φC2=4V，設(shè)FF1的中點(diǎn)為F2，則F2點(diǎn)的電勢(shì)為φF2=φF+φF12=1 V，又由幾何關(guān)系可得:F2又是AE的中點(diǎn)，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零勢(shì)面通過(guò)E點(diǎn)，答案B正確；

由幾何關(guān)系可得：AB平行于ED，且ED=AB，進(jìn)一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，則：UAB=φA-φD=-4 V，答案A錯(cuò)誤；將一質(zhì)子從D點(diǎn)移到A點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為WAD=eUAD=-4 eV，答案C錯(cuò)誤；將一電子從F點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D錯(cuò)誤.綜合上面分析可得：本題答案選B.

例8如圖16所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中有a、b、c三點(diǎn).在以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.電場(chǎng)方向與三角形所在平面平行.已知a、b和c點(diǎn)的電勢(shì)分別為(2-3)V、(2+3)V和2V.該三角形的外接圓上最低、最高電勢(shì)分別為().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

圖16圖17

解析如圖17所示，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線與等勢(shì)面是平行等間距排列，且電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處垂直，沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)均勻降落，取ab的中點(diǎn)O，O即為三角形的外接圓的圓心，且該點(diǎn)電勢(shì)為2V，故Oc為等勢(shì)面，MN為電場(chǎng)線，方向?yàn)镸N方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N點(diǎn)電勢(shì)為零，且為最小電勢(shì)點(diǎn)，同理UMO=2V，M點(diǎn)電勢(shì)為4V，且為最大電勢(shì)點(diǎn).綜合上面分析可得：本題答案選B.

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)做物理題過(guò)程中，不僅要能夠把所遇到的物理試題做對(duì)做好，而且在做對(duì)做好的同時(shí)，要對(duì)所做過(guò)的物理題進(jìn)行深刻的思索，看一看能不能歸納總結(jié)出一些重要的結(jié)論.總結(jié)出這些規(guī)律性的東西，會(huì)幫助我們認(rèn)清楚物理問(wèn)題的本質(zhì).這樣久而久之，我們學(xué)習(xí)物理就會(huì)興趣盎然，物理就不難學(xué)了，我們?cè)谂龅轿锢韱?wèn)題時(shí)，就會(huì)得心應(yīng)手.

(收稿日期：2013-05-02)