陳海龍，汪 偉

(軍械工程學(xué)院 一系，石家莊 050003)

振動(dòng)測(cè)試對(duì)產(chǎn)品的可靠性、工作環(huán)境及機(jī)械故障診斷等均具重要參考意義，車輛、艦船、飛機(jī)等運(yùn)動(dòng)體的振動(dòng)狀態(tài)測(cè)試備受關(guān)注。但測(cè)量任意振動(dòng)下六自由度運(yùn)動(dòng)參數(shù)時(shí)絕對(duì)式位移傳感器存在體積大、質(zhì)量大、安裝困難、動(dòng)態(tài)范圍小等缺陷難以實(shí)際應(yīng)用。普通單自由度多點(diǎn)測(cè)量存在安裝繁瑣、布線復(fù)雜、多傳感器間相對(duì)位置測(cè)量及同步測(cè)試?yán)щy等問題[1]。借鑒無陀螺捷聯(lián)慣性導(dǎo)航技術(shù)，將傳感器陣列測(cè)試技術(shù)用于振動(dòng)環(huán)境可有效對(duì)高頻率多自由度線振動(dòng)與角振動(dòng)耦合效果進(jìn)行絕對(duì)測(cè)量，且成本低、反應(yīng)快、可靠性高等在工程上發(fā)展前景廣闊[2]。振動(dòng)信號(hào)處理時(shí)，為獲得振動(dòng)速度、位移信號(hào)需對(duì)加速度信號(hào)積分，而數(shù)值積分存在積分誤差隨時(shí)間增長(zhǎng)迅速增大問題。減小數(shù)值積分中積分誤差途徑有兩種，即提高傳感器精度、改進(jìn)數(shù)值積分算法及分離積分信號(hào)中積分誤差。分離誤差方法常用有最小二乘回歸法、傅里葉級(jí)數(shù)逼近法、小波及小波包分解法等；但均存在模型階數(shù)、基函數(shù)不易選取或誤差分離精度難提高等問題。為此，本文分析積分誤差來源，提出基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)的誤差分離方法消除積分誤差。該方法為自適應(yīng)分解，無需選定模型階數(shù)、基函數(shù)，且信噪比較高[3]。

1 三軸加速度傳感器陣列方案

1.1 陣列構(gòu)型

本文所用四個(gè)三軸加速度傳感器組成陣列方案[4]見圖1。建立載體坐標(biāo)系O-XbYbZb，安裝四個(gè)三軸加速度傳感器時(shí)分別使傳感器一個(gè)敏感軸重合于坐標(biāo)軸，另兩軸垂直于該坐標(biāo)軸。傳感器A1，A2，A3，A4安裝位置至坐標(biāo)系原點(diǎn)O的距離分別為L(zhǎng)1，L2，L3，L4。

1.2 振動(dòng)參數(shù)求解

設(shè)A為加速度傳感器12個(gè)敏感軸所測(cè)加速度信號(hào)，R為載體坐標(biāo)系3坐標(biāo)軸方向線加速度，ω為繞載體坐標(biāo)系3坐標(biāo)軸角速度，θ為傳感器敏感方向；L1=L2=L3=L4=l，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，任意加速度計(jì)輸出為

(1)

圖1 三軸加速度傳感器陣列方案

表1為傳感器安裝位置及傳感器敏感方向。

表1 加速度計(jì)安裝位置及方向

運(yùn)動(dòng)載體六自由度運(yùn)動(dòng)參數(shù)可由繞載體坐標(biāo)系3坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)及沿3軸方向平動(dòng)描述。將L,θ代入式(1)并完全展開可得關(guān)于載體坐標(biāo)系角速度、角加速度及線加速度等變量與12個(gè)傳感器敏感方向輸出加速度關(guān)系。

線加速度項(xiàng)為

(3)

式中：gx,gy,gz為3軸加速度傳感器3方向所受重力加速度。

角加速度項(xiàng)為

(4)

角速度平方項(xiàng)為

(5)

角速度乘積項(xiàng)為

(6)

由式(3)看出，據(jù)加速度傳感器加速度輸出可得傳感器陣列繞載體坐標(biāo)系角加速度項(xiàng)、線加速度項(xiàng)；由角加速度積分所得角速度代入姿態(tài)更新方程可得傳感器任意時(shí)刻姿態(tài)。再由姿態(tài)信息及線加速度計(jì)算獲得位置信息，進(jìn)而獲得每時(shí)刻陣列位置及姿態(tài)信息，即可獲得被測(cè)物振動(dòng)信息。計(jì)算流程見圖2。

圖2 載體位置姿態(tài)計(jì)算流程

2 數(shù)值積分分析及EMD積分誤差分離方法

2.1 數(shù)值積分分析

振動(dòng)測(cè)試中所得加速度為按采樣間隔Δt的一組離散值，(a(n-1),a(n))之間加速度值無法獲知。工程中一般采用平均加速度法，即取兩點(diǎn)間速度平均值作為t時(shí)刻加速度值，稱梯形加速度積分法。將時(shí)間函數(shù)f(t)作泰勒級(jí)數(shù)展開時(shí)f(k)(t)為k階微分系數(shù)，即

(8)

將速度v(t)按泰勒級(jí)數(shù)展開為

v(n)=v(n-1)+(Δt)a(n-1)+

(9)

(n-1)Δt～(n)Δt時(shí)刻加速度為

(10)

四階以上微分系數(shù)為0，代入式(9)得速度積分式為

(11)

同樣積分方法得位移積分式為

(12)

用加速度傳感器所得加速度信號(hào)ac包含加速度真值az(n)及測(cè)試誤差值aw(n)，即

ac(n)=az(n)+aw(n)

(13)

數(shù)值積分所得速度信號(hào)vc(n)可寫為

vc(n)=vz(n)+vw(n)

(14)

式中：vz(n)為速度真值；vw(n)為誤差值。

將式(13)、(14)代入式(11)得：

(15)

由式(12)看出，(n-1)Δt時(shí)刻積分速度計(jì)算誤差會(huì)帶入下一時(shí)刻積分速度中不斷累積增大。

2.2 數(shù)值積分所致誤差分析

測(cè)試加速度及解算所得角加速度信息中一般含隨機(jī)噪聲及儀器本身漂移誤差。零均值隨機(jī)噪聲對(duì)積分結(jié)果影響較小，信號(hào)中含常值偏移量，即

∫(a+C1)dt=v+C1t+C2

(16)

∫(v+C1t+C2)dt=S+C1at2+C2t+C3

(17)

式中：C1t+C2為速度曲線中引入的斜直線誤差信號(hào)；C1at2+C2t+C3為位移曲線中引入的二次曲線誤差信號(hào)。

2.3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

作為信號(hào)處理的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)方法由黃鍔博士提出，為據(jù)數(shù)據(jù)自身時(shí)間尺度特征進(jìn)行信號(hào)分解，無須預(yù)先設(shè)定任何基函數(shù)。此與建立在先驗(yàn)性諧波基函數(shù)及小波基函數(shù)的傅里葉分解與小波分解具有本質(zhì)差別。EMD方法理論上可用于任何類型信號(hào)分解[5]。由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的固有模態(tài)分量(IMF)滿足的約束條件為：① 整個(gè)數(shù)據(jù)序列中極值點(diǎn)數(shù)量與過零點(diǎn)數(shù)量相等或至多相差1個(gè)；② 信號(hào)上任一點(diǎn)由局部極大值點(diǎn)確定的包絡(luò)線及由局部極小值點(diǎn)確定的包絡(luò)線均值為0，即信號(hào)關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱。

利用兩連續(xù)處理結(jié)果間標(biāo)準(zhǔn)差SD判斷②是否滿足，SD值取0.2～0.3為宜，既可保證IMF線性及穩(wěn)定性，亦可使IMF具有相應(yīng)的物理意義[6]。分解流程見圖3。

圖3 EMD分解流程

2.4 積分誤差分離

a(t)=Aejωt

(18)

式中：a(t)為加速度信號(hào)在頻率ω的傅里葉分量；A為對(duì)應(yīng)a(t)的系數(shù)。

初速度、初位移分量均為0時(shí)，對(duì)加速度分量分別進(jìn)行一、二次積分，得速度、位移信號(hào)分量為

(19)

式中：v(t)，y(t)為速度、位移信號(hào)在頻率ω的傅里葉分量。

式(19)表明，積分所得速度、位移信號(hào)頻率成分與加速度信號(hào)頻率成分一致。振動(dòng)信號(hào)加速度頻率成分決定振動(dòng)速度、位移信號(hào)頻率。因經(jīng)積分的加速度信號(hào)混入低頻誤差信號(hào)，通過對(duì)積分的速度、位移數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解獲得各頻率段IMF分量，并對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，判斷IMF分量是否為誤差信號(hào)分量，并分離積分誤差信號(hào)。

3 仿真分析

仿真信號(hào)采樣頻率1 Hz，采集時(shí)間10 s，加速度信號(hào)由10 Hz，17 Hz正弦信號(hào)疊加，并含有0.005 g的常值漂移量及均方差0.001的隨機(jī)誤差。仿真加速度信號(hào)及積分所得速度、位移曲線見圖4。由圖4看出，在含有較小常值漂移情況下隨時(shí)間增大積分誤差迅速增大，嚴(yán)重偏離實(shí)際結(jié)果。

對(duì)積分速度信號(hào)進(jìn)行EMD分解后所得IMF分量及殘余量res見圖5。

圖4 加速度、速度、位移曲線

圖5 積分速度及其EMD分解結(jié)果

對(duì)加速度信號(hào)及積分速度EMD分解所得IMF分量做頻譜分析，見圖6。

圖6 積分速度及IMF分量頻譜

IMF2，IMF3的主要頻率成分與加速度頻率成分一致，將除IMF2，IMF3以外的IMF分量作為速度積分誤差及分離混入的高頻隨機(jī)誤差,分離結(jié)果見圖7。分離積分誤差后的速度誤差除端點(diǎn)外均在10-4數(shù)量級(jí)，滿足精度要求。

圖7 處理后速度及其誤差曲線

4 實(shí)驗(yàn)分析

將傳感器陣列水平置于線振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn)，安裝位置見圖8。信號(hào)采集頻率1 kHz,采集時(shí)間20 s,振動(dòng)臺(tái)角振動(dòng)幅值1 cm，振動(dòng)頻率0～25 Hz。

圖8 傳感器陣列實(shí)驗(yàn)圖片及安裝示意圖

圖9為傳感器陣列測(cè)試的加速度、積分速度及位移曲線。由圖9看出，積分速度、位移曲線誤差增大較快，嚴(yán)重偏離實(shí)際結(jié)果。

圖9 測(cè)試加速度、速度、位移曲線

對(duì)積分速度進(jìn)行EMD分解，獲得9個(gè)IMF分量。進(jìn)行EMD分解時(shí)，為克服EMD端點(diǎn)效應(yīng)所致兩端誤差較大影響，可對(duì)速度數(shù)據(jù)進(jìn)行鏡像延拓[8]處理。分別對(duì)加速度信號(hào)及9個(gè)IMF分量作頻譜分析，頻譜見圖10。由圖10看出，加速度信號(hào)主要頻率集中在5～23 Hz，IMF分量頻譜主要頻率成分逐漸變小。

圖10 加速度及IMF分量頻譜圖

將相關(guān)系數(shù)較小、不在加速度主要頻率范圍內(nèi)的IMF4～I(xiàn)MF8及殘余量res作為新引入的積分誤差，信號(hào)分離后所得速度、位移曲線見圖11，利用EMD分解后分離低頻率段的IMF分量后可得真實(shí)的速度、位移曲線。由圖11看出，經(jīng)積分誤差分離后所得中心點(diǎn)線振動(dòng)速度曲線符合實(shí)際振動(dòng)情況。若已知被測(cè)物振動(dòng)頻率范圍，可將EMD分解所得高于測(cè)試頻率范圍的IMF分量作為高頻誤差信號(hào)分離。因此將EMD分離積分誤差方法用于傳感器陣列測(cè)試可有效提高傳感器陣列測(cè)試精度，解決傳感器陣列長(zhǎng)時(shí)間測(cè)試精度無法保證問題。

圖11 EMD分離積分誤差后速度、位移曲線

5 結(jié) 論

(1) 傳感器陣列技術(shù)較適合多維線振動(dòng)、角振動(dòng)同時(shí)存在的復(fù)雜振動(dòng)進(jìn)行測(cè)試。利用4個(gè)三軸加速度傳感器組成的傳感器陣列可減少安裝誤差及難度?；贓MD理論提出的數(shù)據(jù)處理方法通過理論分析與實(shí)例仿真均表明可解決因積分產(chǎn)生的誤差累積問題。

(2) 本文所提基于EMD分離積分誤差的傳感器陣列振動(dòng)位移測(cè)試可完成一定復(fù)雜振動(dòng)測(cè)試。所提數(shù)據(jù)處理方法對(duì)測(cè)試對(duì)象在原點(diǎn)往復(fù)振動(dòng)效果較理想，對(duì)移動(dòng)目標(biāo)位移及姿態(tài)的測(cè)試情況，如何判別分離實(shí)際有效運(yùn)動(dòng)與積分誤差尚需研究。

[1] 陳彥輝,郭旻,何宗穎,等. 炮口振動(dòng)測(cè)試方法及實(shí)踐[J].火炮發(fā)射與控制學(xué)報(bào),2010(1):80-83.

CHEN Yan-hui, GUO Min, HE Zong-ying, et al. Muzzle vibration test method and practice[J]. Gun Launch & Control Journal, 2010(1):80-83.

[2] 焦建超,唐力偉,汪偉,等. 六自由度振動(dòng)測(cè)試新方法[J].新技術(shù)新工藝,2011,9:67-69.

JIAO Jian-chao, TANG Li-wei, WANG Wei, et al. The new programs of six degress of freedom[J]. New Technology & New Process, 2011,9:67-69.

[3] 丁明理,王祁,周慶東. 一種提高角速度解算精度的九加速度計(jì)配置方案[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2007,31(2):210-213.

DING Ming-li, WANG Qi, ZHOU Qing-dong. New nine-accelerometer configuration for improving estimating precision of angular rate[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology,2007,31(2):210-213.

[4] 袁西,陳棟,田湘. 三軸數(shù)字加速度計(jì)ADXL345及其在捷聯(lián)慣導(dǎo)中的應(yīng)用[J]. 電子設(shè)計(jì)工程,2010,18(3):138-140.

YUAN Xi, CHEN Dong, TIAN Xiang. Three axis digital accelerometer ADXL345 and its application in SINS design[J]. International Electronic Elements,2010,18(3): 138-140.

[5] 鐘佑明,秦樹人.希爾伯特-黃變換的統(tǒng)-理論依據(jù)研究[J].振動(dòng)與沖擊,2006,25(3):39-42.

ZHONG You-ming, QIN Shu-ren. Research on the uniform theoretical basis for hilbert-huang transform(HHT)[J]. Journal of Vibration and Shock,2006,25(3):49-42.

[6] 胥保春,袁慎芳.IMF篩選條件分析及新的停止條件[J].振動(dòng)、測(cè)試與診斷,2011,31(3):348-353.

XU Bao-chun, YUAN Shen-fang. IMF stopping criterion of EMD and new stopping criterion[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(3):348-353.

[7] 程軍圣,于德介,楊宇. Hilbert-Huang變換端點(diǎn)效應(yīng)問題的探討[J]. 振動(dòng)與沖擊,2005,24(6):40-42.

CHENG Jun-sheng, YU De-jie, YANG Yu. Disscussion of the end effects in Hilbert-Huang transform[J]. Journal of Vibration and Shock,2005,24(6):40-42.

[8] 郭明威,倪世宏,朱家海,等.振動(dòng)信號(hào)中HHT/EMD端點(diǎn)延拓方法研究[J].振動(dòng)與沖擊,2012,31(8):62-66.

GUO Ming-wei,NI Shi-hong,ZHU Jia-hai,et al. HHT/EMD end extension method in vibration signal analysis[J]. Journal of Vibration and Shock,2012,31(8):62-66.