張屹尚，劉永壽，趙 彬，翟紅波

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系 飛行器可靠性工程研究所，西安 710129)

可靠性靈敏度反映設(shè)計(jì)參數(shù)改變對(duì)可靠度影響程度。工程中可用于確定結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解搜索方向。隨機(jī)荷載作用的機(jī)械、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)需同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)隨機(jī)性與激勵(lì)隨機(jī)性復(fù)合隨機(jī)，其動(dòng)力可靠性靈敏度求解難度較大[1]。喬紅威等[2]采用基于加權(quán)非線性響應(yīng)面法的Monte-Carlo可靠性靈敏度分析方法求解動(dòng)力可靠性靈敏度。唐帆等[3]基于攝動(dòng)法分析多源激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)靈敏度。Valdebenito等[4]據(jù)Bootstrap方法求解隨機(jī)激勵(lì)下線性系統(tǒng)可靠性靈敏度。以上主要研究隨機(jī)激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)的局部靈敏度，即某個(gè)輸入變量取名義值(一般為均值)時(shí)動(dòng)力可靠度的偏導(dǎo)數(shù)，因而考慮某變量靈敏度時(shí)無(wú)法考慮其它變量變異性所致影響，具有一定局限性。

基本變量的重要性測(cè)度(Importance Measure, IM)又稱全局靈敏度分析, 研究輸入變量不確定性對(duì)模型輸出響應(yīng)不確定性(數(shù)值或其他)的貢獻(xiàn)程度，可依次確定其實(shí)驗(yàn)或研究的優(yōu)先級(jí)別,能綜合考慮輸入變量在值域內(nèi)取值時(shí)對(duì)輸出響應(yīng)的平均影響，因而廣受重視[5-7]。為有效定量度量隨機(jī)激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)輸入變量對(duì)動(dòng)力可靠度影響大小，對(duì)輸入變量進(jìn)行全局靈敏度分析。已有的重要性測(cè)度可分為非參數(shù)方法重要度[8]、基于方差方法重要度[9]及矩獨(dú)立方法重要度[10]。Cui等[11]提出矩獨(dú)立基本變量對(duì)系統(tǒng)失效概率的重要性測(cè)度，并分析其性質(zhì)。

本文用分布信息損失少的矩獨(dú)立重要性測(cè)度指標(biāo)(Moment-Independent Importance Measure)，結(jié)合隨機(jī)激勵(lì)下首超可靠性分析方法提出度量輸入變量對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度概率影響的矩獨(dú)立重要性測(cè)度。其結(jié)果可定量反映隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)下動(dòng)力可靠性影響程度, 提高結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。針對(duì)可靠性矩獨(dú)立重要性測(cè)度Monte-Carlo法求解效率，采用高效模型估計(jì)法-態(tài)相關(guān)參數(shù)法(SDP)計(jì)算動(dòng)力測(cè)度指標(biāo)[12-13]，用算例說(shuō)明方法的合理性及正確性。并以Monte-Carlo數(shù)值模擬法結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，檢驗(yàn)SDP方法計(jì)算重要性測(cè)度精度及效率。

1 隨機(jī)變量對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度

1.1 基于首超準(zhǔn)則的動(dòng)力可靠性分析

基于首次超越破壞準(zhǔn)則的動(dòng)力可靠性一般指結(jié)構(gòu)控制點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)(如位移、應(yīng)力等) 首次超越安全界限值的可靠性，簡(jiǎn)稱結(jié)構(gòu)首超動(dòng)力可靠性。首超破壞可靠性主要有單側(cè)界限、雙側(cè)界限兩種。其中雙側(cè)界限定義為若結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)y(τ)絕對(duì)值在時(shí)間[0,t]內(nèi)不超過(guò)安全界限值b的概率，即

R(t)=Pr{-b≤y(τ)≤b,0<τ

(1)

動(dòng)力首超破壞分析基礎(chǔ)為響應(yīng)y(τ)與安全界限的交叉次數(shù)。采用基于交叉次數(shù)為Markov過(guò)程的雙側(cè)首超動(dòng)力可靠度計(jì)算公式[14]為

(2)

譜矩ak計(jì)算式為

(3)

式中：Syy(ω)為動(dòng)力響應(yīng)y(τ)的自功率譜密度函數(shù)。

考慮結(jié)構(gòu)隨機(jī)性與激勵(lì)隨機(jī)性的復(fù)合動(dòng)力學(xué)可靠性時(shí)，采用無(wú)條件可靠度分析公式考慮復(fù)合隨機(jī)情況下動(dòng)力參數(shù)隨機(jī)性[15-16]。設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)變量向量X反映質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K、阻尼矩陣C的隨機(jī)性，則隨機(jī)結(jié)構(gòu)無(wú)條件動(dòng)力可靠度表達(dá)式為

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx

(4)

式中：R(t)x為在結(jié)構(gòu)參數(shù)x時(shí)的可靠度；fX(x)為X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

1.2 隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度指標(biāo)定義

設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)不確定性基本變量X=[X1,X2,…Xn]及隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度R(t)x。將隨機(jī)振動(dòng)結(jié)構(gòu)的基本輸入變量XI對(duì)動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度指標(biāo)[11]定義為

(5)

式中：XI為單個(gè)基本變量或一組基本變量；Rf(t)為隨機(jī)結(jié)構(gòu)無(wú)條件動(dòng)力可靠度；Rf|XI(t)為XI為某一值時(shí)Rf(t)的條件動(dòng)力可靠度；fXI(xI)為基本輸入變量XI的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

式(5)表征輸入變量XI在隨機(jī)分布域內(nèi)變化對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度影響程度。由于式(5)定義中絕對(duì)值符號(hào)不利于運(yùn)算，本文將其等價(jià)轉(zhuǎn)換為平方運(yùn)算，等價(jià)轉(zhuǎn)換后輸入變量XI的動(dòng)力可靠度重要性測(cè)度記為δXI：

(6)

由式(6)看出，等價(jià)轉(zhuǎn)換后動(dòng)力可靠重要性測(cè)度可有效反映輸入變量對(duì)可靠性模型分布概率影響程度。動(dòng)力可靠性精確表達(dá)式可表示為輸入變量聯(lián)合概率密度函數(shù)在安全域中的積分，其數(shù)學(xué)期望形式為

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx=E[R(t)x]

(7)

式中：E[·]為數(shù)學(xué)期望算子。

相對(duì)無(wú)條件動(dòng)力可靠性概率函數(shù)，給定輸入變量XI時(shí)響應(yīng)量條件動(dòng)力可靠度可表達(dá)為

Rf|XI(t)=E[R(t)x|XI]

(8)

式中：R(t)x|XI為相應(yīng)條件動(dòng)力可靠度響應(yīng)函數(shù)。

將式(7)、(8)分別代入式(6)，利用概率統(tǒng)計(jì)中數(shù)學(xué)期望與方差間關(guān)系，可得動(dòng)力可靠性概率矩獨(dú)立重要性測(cè)度為

δXI=EXI{[E(R(t)x)-E[R(t)x|XI]]2}

(9)

全期望公式為

(10)

式中：V[·]為方差算子。

至此，本文所提δXI能有效反映基本變量不確定性對(duì)輸出動(dòng)力可靠度影響程度，可為有效增加輸出動(dòng)力可靠度提供更多參考信息。

2 動(dòng)力可靠性矩獨(dú)立重要性測(cè)度求解方法

2.1 動(dòng)力可靠性矩獨(dú)立重要性測(cè)度狀態(tài)相關(guān)參數(shù)法(SDP)

狀態(tài)相關(guān)參數(shù)法(State Dependent Parameter，SDP)模型由Young[17]提出，為基于遞歸濾波及平滑估計(jì)的非參數(shù)光滑方法。Ratto等[12]成功將其應(yīng)用于參數(shù)重要性分析中。采用SDP 方法求解響應(yīng)量的條件期望E(Y|Xi)，給定單個(gè)基本輸入變量條件下功能響應(yīng)輸出值Y=g(X)，條件期望E(Y|Xi)(i=1,2,…n)可據(jù)一階函數(shù)高維分解模型(HDMR)求出，具體過(guò)程[13,18]為：據(jù)輸入變量聯(lián)合概率密度函數(shù)采用一定抽樣策略隨機(jī)抽取N個(gè)樣本Xt(t=1,2,…N)，獲得相應(yīng)輸出Yt(t=1,2,…N)，考慮Y=g(X)的一階截?cái)郒DMR[13]可表示為

Yt-g0=g1(X1,t)+g2(X2,t)+

…+gk(Xk,t)+o(XX′)

(11)

式中：Yt表示(t=1,2,…N)時(shí)刻響應(yīng)量Y的狀態(tài)；g0=E(Y)；gi(Xi,t)=E(Y|Xi,t)-g0(t=1,2,…,N)為樣本標(biāo)號(hào)；o(XX′)為高階誤差。

設(shè)所有高階項(xiàng)近似服從正態(tài)分布的高斯白噪聲，即將截?cái)郒DMR視為隨機(jī)非線性系統(tǒng)[13]。每項(xiàng)gi(Xi,t)均依賴于輸入變量Xi,t，因此可將其視為狀態(tài)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)?？紤]基本變量Xt(t=1,2,…N)對(duì)響應(yīng)量Y的作用，估計(jì)響應(yīng)輸出條件期望E(Y|Xi,t)的態(tài)相關(guān)模型[13]可表示為

Yt=E(Y|Xi,t)+ei,t=

pi,t(X1,t)+ei,tei,t～N(0,σ2)

(12)

式中：et為觀測(cè)干擾，即不能用E(Y|Xi,t)表示的項(xiàng)；pi,t為隨狀態(tài)變量X1變化的SDP狀態(tài)相關(guān)參數(shù)，為基本變量X1的函數(shù)。

據(jù)控制理論相關(guān)內(nèi)容，狀態(tài)空間SDP模型為

(13)

求解SDP模型(13)中狀態(tài)相關(guān)參數(shù)pi,t(i=1,…,k)等價(jià)于求解HDMR中一階項(xiàng)。SDP模型參數(shù)pi,t(i=1,…,k)求解步驟[17]為

(1) 以某種隨機(jī)形式描述pi,t的變化，即采用通用隨機(jī)步(GRW)類如GRW中隨機(jī)步(RW)或積分隨機(jī)步(IRW)過(guò)程。

(3) 在循環(huán)向后擬合過(guò)程(backfitting procedure)中用遞歸Kalman濾波(Kalman Filtering, KF)及相應(yīng)遞歸固定區(qū)間光滑(Fixed Interval Smoothing, FIS)法則估計(jì)各狀態(tài)相關(guān)參數(shù)(式(12))。

按以上求解條件期望SDP方法知，需一組輸入輸出樣本值便可將HDMR中所有一階項(xiàng)(動(dòng)力可靠度的條件期望E(Y|XI)(I=1,2,…,n))一次性求解。該方法不僅適用于連續(xù)函數(shù)，亦適用于非光滑及不連續(xù)函數(shù)[17]。為給定單個(gè)基本輸入變量條件下動(dòng)力可靠度的條件數(shù)學(xué)期望E(R(t)x|XI)求解提供了高效途徑。可將動(dòng)力可靠度函數(shù)R(t)x視為隨機(jī)輸入變量函數(shù)。只需在條件期望求解中將動(dòng)力可靠度函數(shù)R(t)x的值視為相應(yīng)輸出值，用求解功能響應(yīng)量Y條件期望相同思路求得動(dòng)力可靠度條件期望E(R(t)x|XI) ，再據(jù)給定公式求出單個(gè)輸入變量動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度。

2.2 SDP法與MC法比較

高效的Monte-Carlo數(shù)值模擬法[19]可用于求解動(dòng)力可靠性矩獨(dú)立重要性測(cè)度。求解給定單個(gè)基本輸入變量條件下動(dòng)力可靠度條件數(shù)學(xué)期望E(R(t)x|XI)的過(guò)程為：

(1) 據(jù)聯(lián)合分布密度f(wàn)X(x)隨機(jī)抽取N1個(gè)樣本形成矩陣A為

(14)

再隨機(jī)抽取N2個(gè)樣本形成矩陣B為

(15)

式中：n為變量個(gè)數(shù)。

相對(duì)普通的Monte-Carlo法，本文選偏差更小的擬Monte-Carlo法[20]進(jìn)行矩陣A，B樣本抽樣。

(2) 求解條件動(dòng)力可靠度指標(biāo)(R(t)x|Xi)，固定矩陣A中第(k,i)(k≤N1,i≤n)個(gè)元素，且替換矩陣B中第i列，生成新矩陣C

(16)

(17)

隨機(jī)抽取樣本量N1，N2越大時(shí)擬Monte-Carlo 數(shù)值模擬法求解條件期望越準(zhǔn)確。SDP 方法只需一組模型輸入輸出值，所有給定輸入條件下動(dòng)力可靠度條件期望均可一次性進(jìn)行估計(jì)。本文動(dòng)力可靠度矩獨(dú)立重要性測(cè)度可通過(guò)式(10)求得，SDP方法計(jì)算量不依賴變量維數(shù)。該方法可用任何Monte-Carlo樣本，尤其用低偏差樣本時(shí)，實(shí)現(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單靈活。

3 算例分析

3.1 單自由度振子體系平穩(wěn)位移響應(yīng)可靠性分析

單自由度線性體系受單源平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)時(shí)運(yùn)動(dòng)方程[21]為

(18)

式中：m，k，c為質(zhì)量、剛度、阻尼；ζ=c/(2mk)為系統(tǒng)阻尼，用無(wú)量綱參數(shù)；f(t) 為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，自譜為常值Sff(ω)=S0=1，取ω=[0,10]。

圖1 Monte-Carlo法抽樣次數(shù)與結(jié)果變化曲線

圖2 SDP法抽樣次數(shù)與結(jié)果變化曲線

表1 單自由度線性體系動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度

3.2 十六桿結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性矩獨(dú)立重要性測(cè)度

圖3 十六桿桁架結(jié)構(gòu)

表2 十六桿結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度

設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)E，ρ，a為互不相關(guān)、服從正態(tài)分布的基本隨機(jī)變量，變異系數(shù)v=0.1相同,分析第6節(jié)點(diǎn)y方向位移動(dòng)力可靠性矩獨(dú)立重要性測(cè)度。圖1十六桿結(jié)構(gòu)對(duì)輸出不確定性影響較大的隨機(jī)變量重要性排序?yàn)镋,a,ρ。因此，在十六桿桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可靠性設(shè)計(jì)、優(yōu)化中需注重對(duì)輸出影響較大E,a重要變量信息的收集，最大程度減小結(jié)構(gòu)整體不確定性水平。亦可在十六桿結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可靠性設(shè)計(jì)中優(yōu)先考慮確定重要性程度高的隨機(jī)變量以改善系統(tǒng)可靠性，對(duì)某些重要性程度低的隨機(jī)變量降維以簡(jiǎn)化分析過(guò)程。較t=1000 s，1100 s動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度，本例結(jié)構(gòu)的可靠性重要性測(cè)度值隨時(shí)間的延長(zhǎng)而增大。

分析以上兩算例知，本文SDP法只需求解2 000即可一次性獲得全部輸入變量的條件期望，進(jìn)而進(jìn)行動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度計(jì)算；用Monte-Carlo法計(jì)算全部輸入變量次數(shù)為n×108(n為變量維數(shù))。本文方法調(diào)用功能函數(shù)的次數(shù)大大低于Monte Carlo法, 且兩種方法所得重要性指標(biāo)誤差均在工程允許范圍內(nèi)，表明用SDP方法計(jì)算輸入變量的重要性測(cè)度可行、高效。

4 結(jié) 論

(1) 研究隨機(jī)激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可靠性重要性測(cè)度，有效分析基本輸入變量對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可靠性影響，具有重要現(xiàn)實(shí)意義。

(2) 提出基于基本輸入變量對(duì)動(dòng)力可靠性矩獨(dú)立重要性測(cè)度，給出各基本變量對(duì)可靠性貢獻(xiàn)度，建立矩獨(dú)立重要性測(cè)度求解的態(tài)相關(guān)參數(shù)(SDP)法。

(3) SDP法可避免計(jì)算過(guò)程對(duì)變量維數(shù)的依賴，能提高樣本利用率，減少變量矩獨(dú)立重要性指標(biāo)求解計(jì)算量。并用算例證明該方法的可行性及高效性，可用于大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性重要性測(cè)度分析。

[1] 陳建兵,李杰.復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力可靠度分析[J].工程力學(xué), 2005, 22(3): 52-57.

CHEN Jian-bing,LI Jie. Dynamic reliability assessment of double random vibration systems [J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(3): 52-57.

[2] 喬紅威,呂震宙.隨機(jī)激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性靈敏度分析[J].振動(dòng)工程報(bào), 2008, 21(4):404-408.

QIAO Hong-wei, Lü Zhen-zhou.Dynamic reliability sensitivity analysis for stochastic structures under random excitations [J]. Journal of Vibration Engineering, 2008,21(4): 404-408.

[3] 唐帆,王錫平,朱文海,等.多源隨機(jī)激勵(lì)系統(tǒng)參數(shù)靈敏度分析[J].振動(dòng)與沖擊, 2012,31(1):82-85.

TANG Fan,WANG Xi-ping,ZHU Wen-hai,et al.Parameter sensitivity analysis for a system with multi-source random excitation[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(1):82-85.

[4] Valdebenito M A, Jensen H A, Schu?ller G I,et al. Reliability sensitivity estimation of linear systems under stochastic excitation[J].Computers and Structures,2012,92/93: 257-268.

[5] Satelli A. Sensitivity analysis for importance assessment [J]. Risk Analysis, 2002, 22(3): 579-590.

[6] Baraldi P, Zio E, Compare M. A method for ranking components importance in the presence of epistemic uncertainties [J]. Journal of Loss Prevention in the Process Industries, 2009,22 (5):582-592.

[7] Aven T, Nokland T E. On the u se of uncertainty importance measures in reliability and risk analysis [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2010, 95(2):127-133.

[8] Saltelli A,Marivoet J.Non-parametric statistics in sensitivity analysis for model output: a comparison of selected techniques [J].Reliability Engineering and System Safety,1990,28(2): 229-253.

[9] Sobol I M.Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their monte carlo estimates [J].Mat Comput Simulation,2001,55(1): 221-280.

[10] Borgonovo E. A new uncertainty importance measure [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2007, 92(6): 771-784.

[11] 崔利杰,呂震宙,趙新攀.矩獨(dú)立的基本變量重要性測(cè)度及其概率密度演化解法[J].中國(guó)科學(xué):技術(shù)科學(xué), 2010, 40(5): 557-564.

CUI Li-jie, Lü Zhen-zhou,ZHAO Xin-pan. Moment-independent importance measure of basic random variable and its probability density evolution solution[J].Sci China Tech Sci, 2010, 40 (5): 557-564.

[12] Ratto M,Pagano A,Young P C. Non-parametric estimation of conditional moments for sensitivity analysis[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2009,94(2): 237-243.

[13] Ratto M,Pagano A,Young P C.State dependent parameter meta-modelling and sensitivity analysis[J]. Comput Phys Commun,2007,177(11): 863-876.

[14] 李桂青,曹洪,李秋勝,等.結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性理論及其應(yīng)用[M].北京:地震出版社,1993.

[15] Chaudhuri A, Chakraborty S. Reliability of linear structures with parameter uncertainty under non-stationary earthquake [J]. Structural Safety, 2006, 28(3): 231-246.

[16] Zhao Y G, Ono T, Idota H. Response uncertainty and time-variant reliability analysis for hysteretic MDF structures[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1999, 28(10): 1187-1213.

[17] Young P.Stochastic, dynamic modelling and signal processing: time variable and state dependent parameter estimation[M]. Cambridge University Press: Cambridge, 2000:74-114.

[18] 阮文斌,呂震宙,李露祎.狀態(tài)模糊情況下矩獨(dú)立重要性測(cè)度及其態(tài)相關(guān)參數(shù)解法[J].西北工業(yè)大報(bào), 2012, 30(5): 675-680.

RUAN Wen-bin，Lü Zhen-zhou，LI Lu-yi. An effective MIIMSDP( Moment-Independent Importance Measure and State Dependent Parameter) solution when failure state is fuzzy[J].Journal of Northwestern Polytechnical University, 2012.30(5):675-680.

[19] Wu Q L, Cournede P H, Mathieu A.An efficient computational method for global sensitivity analysis and its application to tree growth modeling[J].Reliability Engineering and System Safety, 2012,107:35-43.

[20] Sobol I M. Uniformly distributed sequences with additional uniformity properties [J]. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1976, 16(5):236-242.

[21] 喬紅威,呂震宙,關(guān)愛(ài)銳,等.平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析的多項(xiàng)式逼近法[J]. 工程力學(xué), 2009,26(2):60-64.

QIAO Hong-wei, Lü Zhen-zhou, GUAN Ai-rui, et al. Dynamic reliability analysis of stochastic structures under Stationary random excitation using hermite polynomials Approximation[J].Engineering Mechanics, 2009,26(2):60-64.