許 斌，辛璐璐，賀 佳

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院,長沙 410082; 2. 湖南大學(xué) 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室,長沙 410082；3.香港理工大學(xué) 土木與環(huán)境工程系，香港九龍)

工程結(jié)構(gòu)在地震等強(qiáng)動力荷載作用下?lián)p傷識別及性能評估是災(zāi)后救援、恢復(fù)重建中關(guān)鍵。結(jié)構(gòu)損傷識別方法大多基于結(jié)構(gòu)振動測量及特征值或特征向量抽取，通過對結(jié)構(gòu)剛度識別描述結(jié)構(gòu)損傷[1-3]?，F(xiàn)有研究表明，基于振動測量的結(jié)構(gòu)參數(shù)、損傷識別方法存在對結(jié)構(gòu)小損傷不敏感、特征值受環(huán)境因素影響等諸多問題。傳統(tǒng)基于模態(tài)分析的識別理論基本假設(shè)結(jié)構(gòu)處于線彈性階段，此對損傷緩慢變化的結(jié)構(gòu)可以使用，但對在地震等強(qiáng)動力荷載下結(jié)構(gòu)損傷識別因構(gòu)件進(jìn)入非線性狀態(tài)該方法不再適用。

非線性動力系統(tǒng)識別中非線性恢復(fù)力作為系統(tǒng)非線性特性及強(qiáng)弱程度指標(biāo)頗受關(guān)注。較通過識別剛度描述結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下?lián)p傷，結(jié)構(gòu)構(gòu)件的非線性恢復(fù)力不僅可直觀刻畫其在振動中進(jìn)入非線性過程，且可通過非線性恢復(fù)力定量描述構(gòu)件耗能，為損傷評估提供新的手段。但實際土木工程結(jié)構(gòu)在地震作用下，不同構(gòu)件恢復(fù)力模型較難事先用理想的參數(shù)化模型準(zhǔn)確描述。因此，研究動力荷載作用下能有效識別結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力行為方法具有重要意義。

對非線性動力系統(tǒng)識別，由于結(jié)構(gòu)非線性行為個體差異大，研究遠(yuǎn)未達(dá)到像線性系統(tǒng)的完善程度。Masri等[4]提出的恢復(fù)力曲面法(Restoring Force Surface Method)廣受關(guān)注[5-7]。Mohammad等[8]提出的完全基于激勵、響應(yīng)的直接參數(shù)識別法，已實現(xiàn)非線性系統(tǒng)質(zhì)量、剛度、阻尼等參數(shù)的有效識別。許斌等[9-11]基于等價線性思想對多自由系統(tǒng)非線性恢復(fù)力進(jìn)行識別，并基于冪級數(shù)多項式模型表征系統(tǒng)恢復(fù)力，實現(xiàn)非參數(shù)化結(jié)構(gòu)非線性行為識別。該方法無需獲知非線性恢復(fù)力參數(shù)化模型，通過在多自由度系統(tǒng)中引入具有非線性恢復(fù)力特性的形狀記憶合金阻尼器(MR)進(jìn)行識別，通過數(shù)值模擬及實驗數(shù)據(jù)對識別結(jié)構(gòu)中MR非線性恢復(fù)力的可行性進(jìn)行驗證。He等[12]研究部分輸入未知時基于冪多項式的結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力及外荷載識別方法。樊建修[13]通過算例探討Taylor多項式、有理分式、切比雪夫多項式等常用最佳逼近表達(dá)式，算例結(jié)果表明，與其它逼近式相比，切比雪夫多項式具有精度高、誤差分布均勻等優(yōu)點。

與上述研究不同，本文提出基于二重切比雪夫多項式模型的多自由度結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力識別方法，在結(jié)構(gòu)質(zhì)量信息及非線性參數(shù)化模型完全未知情況下實現(xiàn)多自由度系統(tǒng)非線性恢復(fù)力識別。介紹結(jié)構(gòu)各自由度及部分自由度受外激勵兩種情況下識別方法的具體實現(xiàn)步驟；通過在線性結(jié)構(gòu)數(shù)值模型中引入具有理想雙旗形非線性恢復(fù)力模型的形狀記憶合金(Shape Memory Alloy, SMA)阻尼器模擬非線性恢復(fù)力，對該非線性多自由度系統(tǒng)恢復(fù)力進(jìn)行識別，探討不同激勵方式下該方法的可行性、抗噪性，并將識別結(jié)果與基于冪級數(shù)多項式方法進(jìn)行對比，結(jié)果表明，本文方法識別精度更高；對安裝SMA阻尼器的多層框架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行動力實驗，用實測激勵及動力響應(yīng)時間序列識別SMA阻尼器恢復(fù)力，并與試驗值對比。結(jié)果表明，基于二重切比雪夫多項式模型的非線性恢復(fù)力識別方法能有效識別出動力荷載作用下多自由度系統(tǒng)非線性恢復(fù)力及結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布。該方法可用于結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動力荷載作用下?lián)p傷發(fā)生、發(fā)展過程的監(jiān)測及耗能定量評估。

1 基于二重切比雪夫多項式的多自由度體系非線性恢復(fù)力時域識別方法

1.1 完整激勵下非線性恢復(fù)力識別方法

多自由度非線性系統(tǒng)在外激勵P(t)作用下的動力平衡方程可表示為

(1)

用二重切比雪夫多項式模型描述的非線性恢復(fù)力表達(dá)式為

(2)

(3)

(4)

(5)

對n個自由度的非線性體系，基于二重切比雪夫多項式模型將式(1)離散為n個方程的線性方程組為

(6)

切比雪夫多項式第一項T0(*)=1，二重切比雪夫多項式模型(式(2))每兩個相鄰自由度間恢復(fù)力切比雪夫表達(dá)式中總有數(shù)字1項，式(6)中第i個自由度的平衡方程中會出現(xiàn)兩個數(shù)字1項，因此，不能直接利用最小二乘算法對多項式模型中系數(shù)進(jìn)行識別。由于第n個自由度的方程中只有1個層間恢復(fù)力模型，即只有數(shù)字1項，故利用最小二乘優(yōu)化算法識別該體系第n個自由度各系數(shù)，再用相鄰兩自由度間恢復(fù)力大小相等方向相反關(guān)系對其它自由度的非線性恢復(fù)力進(jìn)行識別：

(7)

(8)

基于式(8)等號右端恢復(fù)力識別結(jié)果及第n-1自由度的激勵及響應(yīng)時程，利用最小二乘算法可識別該自由度的恢復(fù)力及對應(yīng)質(zhì)量。依此類推，式(6)中各系數(shù)均能得到識別，進(jìn)而可得基于二重切比雪夫多項式模型的體系非線性恢復(fù)力。

1.2 非完整激勵下非線性恢復(fù)力識別方法

實際工程損傷識別中，尤其大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)，較難對結(jié)構(gòu)全部自由度進(jìn)行激勵。因此須研究非完整激勵的損傷識別方法。在非完整激勵條件下，設(shè)第n個自由度未作用外激勵，則

(9)

以兩自由度體系為例，設(shè)外激勵僅作用第1個自由度上，平衡方程為

(10)

據(jù)式(7)、(9)可知

(11)

第1個自由度平衡方程可表示為

(12)

基于結(jié)構(gòu)外激勵及響應(yīng)信息可識別式(12)中結(jié)構(gòu)質(zhì)量及二重切比雪夫多項式各系數(shù)。識別體系非線性恢復(fù)力模型各系數(shù)表達(dá)式為。

(13)

至此，兩自由度結(jié)構(gòu)基于二重切比雪夫多項式模型的非線性恢復(fù)力及結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布均已得以識別。由于系統(tǒng)總非線性恢復(fù)力在實際工程中難以測量，故本文通過引入具有非線性恢復(fù)力特性的SMA模擬非線性恢復(fù)力。實驗中由SMA提供的非線性恢復(fù)力由力傳感器測量獲得。為進(jìn)行識別結(jié)果比較，在識別的非線性體系總非線性恢復(fù)力中扣除體系本身線彈性恢復(fù)力及粘性阻尼力獲得SMA提供的非線性恢復(fù)力。通過與試驗結(jié)果比較，驗證識別結(jié)果的可靠性。此時非線性構(gòu)件恢復(fù)力為

fnon=Rnon[v,s,gnon]-Rlin[v,s,glin]

(14)

式中：fnon為非線性構(gòu)件提供的恢復(fù)力；Rnon[v,s,gnon]，Rlin[v,s,glin]為系統(tǒng)中總非線性恢復(fù)力、總線性恢復(fù)力；v，s為相對速度、相對位移；gnon，glin為總非線性恢復(fù)力、總線性恢復(fù)的模型系數(shù)。

2 SMA非線性恢復(fù)力識別的數(shù)值模擬驗證

圖1 計算模型

具有2個集中質(zhì)量的兩自由度體系見圖1，每個質(zhì)點有1個水平自由度，結(jié)構(gòu)第一層安裝SMA阻尼器模擬結(jié)構(gòu)非線性特性，各層質(zhì)量mi=15 kg，線性結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)ci=100 N·s/m，層間剛度ki=1.2×105N/m，(i=1, 2)。

SMA具有獨特的形狀記憶效應(yīng)、超彈性性能、高阻尼及耐久性耐腐蝕性能好、允許大變形且變形可恢復(fù)等優(yōu)點在建筑結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[14-15]。SMA具有典型的非線性特性，其本構(gòu)關(guān)系已有不少計算模型[16-17]。本文所用SMA阻尼器雙旗形模型見圖2。表達(dá)式[18]為

(15)

式中：sgn(*)為符號函數(shù)；k1=1.0×105N/m為oab，cd段斜率(阻尼器剛度系數(shù))；k2=3.0×104N/m為bd，ac段斜率；Sb=0.006 m；Sa=0.5Sb；Sd由動力計算中層間位移最大值決定。

為更好模擬結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力，本文在二重切比雪夫多項式模型(式(2))中取k=q=3。

圖2 SMA阻尼器雙旗形模型

2.1 完整激勵下非線性恢復(fù)力識別法數(shù)值驗證

2.1.1 無噪聲影響

不考慮噪聲影響，設(shè)兩組隨機(jī)激勵分別作用于結(jié)構(gòu)兩自由度上，荷載作用時間及步長分別取2 s，0.002 s，利用Newmark-?法計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)。結(jié)構(gòu)激勵及各層動力響應(yīng)時程見圖3。

圖3 隨機(jī)激勵及結(jié)構(gòu)響應(yīng)

據(jù)各層速度、位移響應(yīng)計算層間相對速度及位移，再據(jù)式(4)、(5)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理，利用最小二乘優(yōu)化算法可識別出結(jié)構(gòu)第二自由度對應(yīng)的質(zhì)量、模型各系數(shù)，結(jié)果為

(16)

(17)

(18)

SMA阻尼器提供的恢復(fù)力可在識別的體系總非線性恢復(fù)力中減去線性結(jié)構(gòu)自身彈性恢復(fù)力及結(jié)構(gòu)阻尼作用后獲得。各自由度SMA阻尼器提供的非線性恢復(fù)力見圖4。由圖4看出，SMA阻尼器恢復(fù)力僅體現(xiàn)在第一層，而第二層SMA阻尼器恢復(fù)力趨于零，說明該層無SMA阻尼器，與算例吻合；而SMA阻尼器恢復(fù)力值(即理論模型值)與真實值吻合亦較好。表明本文所提基于二重切比雪夫多項式的非線性恢復(fù)力識別方法能準(zhǔn)確識別結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力。

為與基于冪級數(shù)多項式識別法比較，相同激勵下基于冪級數(shù)多項式模型的SMA阻尼器非線性恢復(fù)力識別結(jié)果見圖5。比較圖4、圖5看出，本文方法對SMA阻尼器理想雙旗形恢復(fù)力模型識別精度高，尤其在雙旗型模型位移最大點處。兩種識別方法識別值與真實值誤差定量比較見圖6。由圖6看出，基于二重切比雪夫多項式模型的非線性恢復(fù)力識別結(jié)果誤差更小。

圖4 無噪聲影響各層SMA阻尼器恢復(fù)力識別結(jié)果

2.1.2 6%噪聲影響

工程實測中數(shù)據(jù)易受噪聲影響。為驗證該方法對噪聲的敏感程度，在算例響應(yīng)信號中加入隨機(jī)噪聲信號，噪聲水平取6%。識別的結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布為m1=14.90 kg，m2=15.00 kg，與算例值吻合較好。同時獲得結(jié)構(gòu)各層基于二重切比雪夫多項式模型的SMA阻尼器恢復(fù)力識別結(jié)果，體系第二層SMA阻尼器提供的恢復(fù)力趨于零，說明該層未安裝SMA阻尼器，與實際情況完全符合。有噪聲影響下結(jié)構(gòu)第一層SMA阻尼器恢復(fù)力識別值與真實值比較見圖7。由圖7看出，即使受6%噪聲影響，該方法仍能有效識別出結(jié)構(gòu)非線性特性。

2.2 非完整激勵下非線性恢復(fù)力識別法數(shù)值驗證

2.2.1 無噪聲影響

設(shè)僅在圖1數(shù)值模型的第1自由度上作用一組隨機(jī)激勵，即第2自由度上作用力為零，據(jù)Newmark-?法計算出結(jié)構(gòu)響應(yīng)。并據(jù)式(4)、(5)對動力響應(yīng)歸一化處理，由式(11)、(12)識別出第1自由度對應(yīng)的平衡方程的各系數(shù)為

(19)

由式(19)看出，結(jié)構(gòu)質(zhì)量識別值為m1=15.00 kg、m2=15.09 kg，與數(shù)值模型值吻合良好。據(jù)式(2)可得結(jié)構(gòu)第一層基于二重切比雪夫多項式模型的恢復(fù)力表達(dá)式。據(jù)式(13)可進(jìn)一步識別結(jié)構(gòu)第二層總非線性恢復(fù)力表達(dá)式。

圖7 6%噪聲影響下底層SMA阻尼器恢復(fù)力識別結(jié)果

SMA阻尼器提供恢復(fù)力的識別結(jié)果見圖8。由圖8看出，結(jié)構(gòu)第二層SMA阻尼器恢復(fù)力幾乎為零，說明該層無SMA阻尼器，結(jié)構(gòu)第一層SMA阻尼器恢復(fù)力識別值與真實值吻合良好。

2.2.2 6%噪聲影響

設(shè)在結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算值中加入6%隨機(jī)噪聲，識別出體系的質(zhì)量分布(m1=14.98 kg，m2=15.10 kg)及各自由度間非線性恢復(fù)力。SMA阻尼器提供的恢復(fù)力識別結(jié)果中結(jié)構(gòu)第二層識別值仍趨于零，而第一層呈明顯雙旗形特性且與計算值吻合較好，見圖9。由圖9看出，即使在激勵非完整且存在環(huán)境噪聲情況下，該方法仍能較好識別出體系的非線性特性位置并對非線性恢復(fù)力進(jìn)行定量識別。

為更直觀描述本文方法對系統(tǒng)非線性行為的識別效果，不同激勵條件、噪聲水平下SMA阻尼器恢復(fù)力識別值與真實值相對誤差見表1。由表1看出，識別SMA阻尼器恢復(fù)力相對誤差均在1%以內(nèi)，表明該方法的可行性及對測量噪聲的魯棒性。

表1 數(shù)值模擬驗證SMA阻尼器恢復(fù)力識別誤差

3 多自由度結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力識別實驗驗證

3.1 實驗?zāi)Ｐ图把b置

圖10 實驗結(jié)構(gòu)模型及裝置

用非線性結(jié)構(gòu)模型實驗驗證本文方法的有效性。設(shè)計制作四層鋼框架模型見圖10，SMA阻尼器安裝于結(jié)構(gòu)第四層模擬結(jié)構(gòu)非線性特性，見圖11。結(jié)構(gòu)模型平面尺寸300 mm×400 mm，層高0.3 m，模型總高1.2 m，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量51.41 kg。結(jié)構(gòu)立柱截面尺寸30 mm×5 mm，樓面板厚10 mm，所有節(jié)點均采用螺栓連接。因結(jié)構(gòu)樓板平面內(nèi)剛度相對較大且模型質(zhì)量集中在樓板上，可將模型簡化為4自由度集中質(zhì)量。SMA阻尼器絲用直徑8 mm的Ti-Ni合金絲,用4個夾具安裝于線性模型第四層，其恢復(fù)力可由與上層樓板連接的鋼板及與下層樓板固定的阻尼器中間支座間力傳感器直接測得。在每層樓板均布置加速度傳感器，用力錘施加沖擊荷載，采樣頻率1024 Hz，用動態(tài)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)記錄結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)，并對加速度信號用截止頻率0.5 Hz的高通濾波處理，結(jié)構(gòu)速度、位移響應(yīng)由加速度時程積分獲得。

圖11 SMA阻尼器

3.2 完整激勵下非線性恢復(fù)力識別法驗證

由于試驗中所測非線性恢復(fù)力僅SMA阻尼器恢復(fù)力，進(jìn)行結(jié)果比較時需將線性結(jié)構(gòu)恢復(fù)力由總非線性恢復(fù)力中扣除，為此先對未安裝SMA阻尼器時的線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力實驗，得線性恢復(fù)力為

(20)

式中：si，vi(i=1,2,3,4)為層間相對位移及相對速度。

安裝SMA阻尼器后用力錘依次激勵非線性結(jié)構(gòu)每一層，其沖擊荷載及加速度響應(yīng)實測值見圖12、圖13，此處速度、位移響應(yīng)由加速度響應(yīng)積分獲得。

圖12 非線性結(jié)構(gòu)外激勵

基于歸一化的結(jié)構(gòu)層間相對速度及位移信息，據(jù)式(6)、(7)識別獲得安裝阻尼器后結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布為m1=12.29 kg，m2=12.32 kg，m3=16.35 kg，m4=14.68 kg?？梢?，由于安裝SMA阻尼器，結(jié)構(gòu)第三、四層質(zhì)量增加，與實際相符。而識別的各層間非線性恢復(fù)力因篇幅所限其表達(dá)式不再列出。據(jù)式(14)可得各層SMA阻尼器提供的恢復(fù)力，結(jié)果見圖14、圖15。由圖14看出，結(jié)構(gòu)第三層非線性恢復(fù)力識別值較小，表明結(jié)構(gòu)第三層無SMA阻尼器，與實際情況相符。第一、二層結(jié)果類似。圖15為結(jié)構(gòu)第四層SMA阻尼器恢復(fù)力識別值與實測值對比，二者在整個時程差值見圖16。由圖16看出，識別值與實驗值吻合較好。為進(jìn)一步驗證SMA阻尼器恢復(fù)力識別效果，計算SMA阻尼器耗能值，識別值與實測值分別為56.21 N·mm，61.10 N·mm。因此，在完整激勵作用下，基于二重切比雪夫多項式模型的多自由度時域識別方法能對結(jié)構(gòu)中非線性特性進(jìn)行定位、定量評估。

圖13 加速度響應(yīng)實測值

圖14 第三層SMA阻尼器恢復(fù)力識別值

3.3 非完整激勵下非線性恢復(fù)力識別法實驗驗證

圖17 加速度響應(yīng)實測值

圖18 第三層SMA阻尼器恢復(fù)力識別值

圖19 第四層SMA阻尼器恢復(fù)力識別結(jié)果比較

實驗中僅激勵結(jié)構(gòu)第三層，采集的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)信號見圖17。速度、位移響應(yīng)由實測加速度信號積分獲得。識別過程與數(shù)值模擬驗證。識別出結(jié)構(gòu)第四層至第一層集中質(zhì)量分別為m4=16.08 kg，m3=17.58 kg，m2=12.63 kg，m1=12.26 kg，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量識別值為58.55 kg，反應(yīng)出在線性結(jié)構(gòu)中安裝阻尼器后質(zhì)量變化。結(jié)構(gòu)各層非線性恢復(fù)力表達(dá)式因篇幅限制不再列出。非線性結(jié)構(gòu)各層SMA阻尼器提供的恢復(fù)力可由各層間非線性恢復(fù)力減去線性恢復(fù)力獲得。結(jié)構(gòu)第三、四層阻尼器非線性恢復(fù)力識別結(jié)果見圖18、圖19。 比較圖18、圖19看出，結(jié)構(gòu)第三層非線性恢復(fù)力結(jié)果較小，表明該層無SMA阻尼器，而第四層非線性恢復(fù)力較大，表明該層裝有SMA阻尼器，與實驗相符；通過與SMA阻尼器實測結(jié)果對比知，第四層阻尼器提供的非線性恢復(fù)力識別結(jié)果與實測值仍能較好吻合。據(jù)識別的阻尼器非線性恢復(fù)力確定阻尼器耗能，第四層SMA阻尼器耗能識別值與實測值分別為39.70 N·mm，44.10 N·mm，兩者相對誤差在10%以內(nèi)。該時域識別方法在結(jié)構(gòu)質(zhì)量未知條件下對結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布及非線性特性識別結(jié)果與實測值吻合較好，識別的阻尼器非線性恢復(fù)力可用于結(jié)構(gòu)耗能的定量評估。

4 結(jié) 論

(1) 本文提出的基于二重切比雪夫多項式模型的多自由度結(jié)構(gòu)中SMA非線性恢復(fù)力識別法完全基于結(jié)構(gòu)動力平衡方程，利用優(yōu)化算法對多自由度結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布及非線性恢復(fù)力進(jìn)行有效識別。探討在激勵完整、非完整兩種情況下該識別方法的具體實現(xiàn)過程。

(2) 通過在兩自由度數(shù)值模型中引入具有雙旗形非線性恢復(fù)力模型SMA，考慮測量噪聲影響，分別在外激勵完整、非完整兩種工況對該識別方法有效性及抗噪性進(jìn)行數(shù)值驗證。通過與基于冪多項式模型識別方法結(jié)果比較表明，本文方法識別精度優(yōu)勢明顯。

(3) 將SMA阻尼器安裝在四層鋼框架結(jié)構(gòu)模型中模擬結(jié)構(gòu)非線性行為，通過激勵完整、非完整兩種荷載下動力實驗實測數(shù)據(jù)驗證基于二重切比雪夫多項式模型識別算法的可行性。實驗結(jié)果表明，該方法能在結(jié)構(gòu)質(zhì)量未知條件下對實際結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布及結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力進(jìn)行有效識別。

(4) 本文所提方法能在結(jié)構(gòu)質(zhì)量及非線性模型完全未知前提下有效識別非線性特性及體系非線性恢復(fù)力，為結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下?lián)p傷行為發(fā)生發(fā)展過程監(jiān)測尤其災(zāi)后安全評估提供新方法。非線性恢復(fù)力識別結(jié)果可對結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的耗能進(jìn)行定量評估。

[1] Patil D P, Maiti S K. Detection of multiple cracks using frequency measurements[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2003, 70(12):1553-1572.

[2] Li S Z,Wu Z S. A non-baseline algorithm for damage location in flexural structures using dynamic distributed macro-strain responses[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2007,36(9):1109-1125.

[3] Teughels A,Roeck G D.Damage detection and parameter identification by finite element model updating[J].Archives of Computational Methods in Engineering,2005,12(2): 123-164.

[4] Masri S F,Caughey T K. A nonparametric identification technique for nonlinear dynamic problems[J].Journal of Applied Mechanics, 1979,46(2):433-447.

[5] Yar M, Hammond J K. Parameter estimation for hysteretic systems[J]. Journal of Sound and Vibration,1987,117(1):161-172.

[6] Worden K. Data processing and experiment design for the restoring force surface method, part I: integration and differentiation of measured time data[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1990, 4(4): 295-319.

[7] Worden K. Data processing and experiment design for the restoring force surface method, part II: choice of excitation signal[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1990, 4(4): 321-344.

[8] Mohammad K S, Worden K, Tomlinson G R. Direct parameter estimation for linear and non-linear structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 1992, 152(3):471-499.

[9] 許斌,賀佳. 基于實測時間序列的非線性系統(tǒng)恢復(fù)力識別[J].中國工程科學(xué),2011,13(9):76-82.

XU Bin, HE Jia. Nonlinear restoring force identification based on measured time series[J]. Engineering Sciences, 2011,13(9):76-82.

[10] 許斌,賀佳, Sami F.Masri. 動力系統(tǒng)非線性行為識別方法與驗證[J].土木工程學(xué)報,2011,44(S1):24-30.

XU Bin, HU Jia, Masri S F. Nonlinear behavior identification approach and its validation for dynamic system[J]. China Civil Engineering Journal,2011,44(S1): 24-30.

[11] Xu Bin, He Jia, Masri S F.Data-based identification of nonlinear restoring force under spatially incomplete excitations with power series polynomial model[J]. Nonlinear Dynamics, 2012,67(3):2063-2080.

[12] He Jia, Xu Bin, Masri S F. Restoring force and dynamic loadings identification for a nonlinear chain-like structure with partially unknown excitations[J]. Nonlinear Dynamics, 2012,69(1/2):231-245.

[13] 樊建修.計算機(jī)常用函數(shù)逼近方法及切比雪夫多項式[J].工業(yè)儀表與自動化裝置,1986(3):11-18.

FAN Jian-xiu. Function approximation methods and chebyshev polynomial[J].Industrial Instrumentation & Automation,1986(3):11-18.

[14] 薛偉辰,鄭喬文,劉振勇,等. 結(jié)構(gòu)振動控制智能材料研究及應(yīng)用進(jìn)展[J].地震工程與工程振動,2006,26(5):213-217.

XUE Wei-chen, ZHENG Qiao-wen, LIU Zhen-yong, et al. Developments of research and application of smart materials in controlling structural vibration[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2006,26(5):213- 217.

[15] 吳波,孫科學(xué),李惠,等. 形狀記憶合金力學(xué)性能的試驗研究[J].地震工程與工程振動,1999,19(2):104-111.

WU Bo, SUN Ke-xue, LI Hui, et al. Experimental research on mechanical properties of shape memory alloy[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration,1999,19(2):104-111.

[16] Liang C, Rogers C A. One-dimensional thermomechanical constitutive relations for shape memory materials[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 1990, 1(2): 207-234.

[17] Auricchio F, Coda A, Reali A, et al. SMA numerical modeling versus experimental results: parameter identification and model prediction capabilities[J]. Journal of Materials Engineering and Performance, 2009, 18(5/6): 649-654.

[18] 李惠,毛晨曦.形狀記憶合金(SMA)被動耗能減震體系的設(shè)計及參數(shù)分析[J].地震工程與工程振動,2001,21(4): 133-139.

LI Hui, MAO Chen-xi. Seismic response of buildings with SMA passive energy dissipation devices: analysis and design[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2001, 21(4): 133-139.