鐘 洲, 姜 毅

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

艦載導(dǎo)彈是現(xiàn)代海軍的主要武器裝備，為了保證火力強(qiáng)度，通常會(huì)在一艘艦船上不同位置配置多個(gè)共架發(fā)射系統(tǒng)。由于海戰(zhàn)的特殊性，海浪的搖擺運(yùn)動(dòng)也會(huì)對(duì)導(dǎo)彈的發(fā)射精度產(chǎn)生影響[1]，表現(xiàn)在不同發(fā)射位置的導(dǎo)彈具有數(shù)值上較大差異的出筒姿態(tài)。因此，為了滿足制導(dǎo)系統(tǒng)要求，對(duì)艦載導(dǎo)彈發(fā)射彈位影響的研究具有非常重要的意義。

本文利用Lagrange方程和修正的Craig-Bampton法建立了艦載導(dǎo)彈剛?cè)狁詈习l(fā)射動(dòng)力學(xué)模型；通過(guò)參數(shù)化腳本語(yǔ)言(.cmd)[2]和C++編譯程序，進(jìn)行了參數(shù)化動(dòng)力學(xué)仿真，獲得了大量的導(dǎo)彈出筒姿態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)。同時(shí)，基于快速傅里葉變換法[3]對(duì)惡劣發(fā)射彈位導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析，研究了發(fā)射精度的影響因素，并進(jìn)一步分析了發(fā)射彈位對(duì)發(fā)射精度的影響，為艦載武器的設(shè)計(jì)和發(fā)射提供了參考依據(jù)。

1 快速傅里葉變換法

1.1 信號(hào)的頻域處理方法

通常，我們利用試驗(yàn)或仿真得到的數(shù)據(jù)是時(shí)域信號(hào)，其反映的是不同時(shí)刻的響應(yīng)情況。本文為了從艦艇運(yùn)動(dòng)方面來(lái)分析彈位對(duì)導(dǎo)彈發(fā)射精度的影響，需要進(jìn)行時(shí)域信號(hào)的頻域處理，顯露出時(shí)域信號(hào)里隱藏的信息。目前，傅里葉變換是進(jìn)行頻域分析的重要手段，用于計(jì)算機(jī)處理的方法是離散傅里葉變換。

設(shè)有N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)，則其離散傅里葉變換(DFT)為

(1)

式中:k=0,1,2,…,N-1

逆變換(IDFT)為

(2)

1.2 FFT算法

假設(shè)DFT的抽樣點(diǎn)數(shù)N=2m，那么對(duì)于偶數(shù)序號(hào)的基2算法為

(3)

對(duì)于奇數(shù)序號(hào)的基4算法為

(4)

(5)

式(3)～式(5)組成了分裂基算法中的L型算法結(jié)構(gòu)。該算法是快速傅里葉變換算法中公認(rèn)最好的，具有最少的乘法和加法次數(shù)。

2 艦載發(fā)射動(dòng)力學(xué)建模

2.1 修正的Craig-Bampton

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中傳統(tǒng)的Craig-Bampton(簡(jiǎn)稱C-B)方法是基于彈性體沒(méi)有大范圍剛體運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，分析的是線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。子結(jié)構(gòu)裝配時(shí)，嵌入到C-B約束模態(tài)中包含六個(gè)剛體自由度，并且約束模態(tài)的本質(zhì)是靜力縮聚情況下計(jì)算出的模態(tài)，其模態(tài)和頻率不能相互對(duì)應(yīng)。而在多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中，已經(jīng)定義了構(gòu)件的剛體位移，同時(shí)構(gòu)件在慣性坐標(biāo)系中有大范圍運(yùn)動(dòng)，屬于非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，因此必須對(duì)傳統(tǒng)Craig-Bampton子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行適當(dāng)修正，使其能滿足多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算的需要。

易知，在C-B模態(tài)坐標(biāo)下，子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

式中:Mi,Ci,Ki、Ri分別為C-B模態(tài)基下的子結(jié)構(gòu)質(zhì)量，阻尼，剛度和外力矩陣。

求解式(6)所對(duì)應(yīng)無(wú)阻尼振動(dòng)方程的特征值和特征向量：

(7)

(8)

因此，子結(jié)構(gòu)的物理自由度可以表示為

(9)

利用上述正交轉(zhuǎn)換修正后，使得對(duì)界面坐標(biāo)依次固定時(shí)產(chǎn)生的模態(tài)，被無(wú)約束的模態(tài)近似代替；約束模態(tài)被邊界特征向量所取代。因此，可以除去零頻率對(duì)應(yīng)的六個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)模態(tài)，并且所有模態(tài)和頻率能相互對(duì)應(yīng)。

2.2 多體系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程

如果物體坐標(biāo)系的位置,使用它在慣性參考系中的笛卡爾坐標(biāo)X=(x,y,z)T和反映剛體方位的歐拉角ψ=(ψ,θ,φ)T來(lái)表示，并且模態(tài)坐標(biāo)用式q=(q1,…,qM)T表示(M為模態(tài)坐標(biāo)數(shù))，那么柔性體的廣義坐標(biāo)可以表示為ξ=(X,ψ,q)T。

運(yùn)用拉格朗日方程可以建立柔性體的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(10)

式中:K和D分別為模態(tài)剛度矩陣和模態(tài)阻尼矩陣；Kξ和Dξ分別為物體內(nèi)部由于彈性變形和阻尼引起的廣義力；fg為廣義重力；λ對(duì)應(yīng)于約束的拉格朗日乘子；Q為對(duì)應(yīng)于外力的廣義力。

將柔性體的計(jì)算結(jié)果和多剛體理論方法相結(jié)合可以進(jìn)一步得到多體系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程。通過(guò)文獻(xiàn)[5-6]可以推導(dǎo)出使用拉格朗日乘子得到的第i個(gè)柔體或剛體的方程形式為：

(11)

式中:K為動(dòng)能的表達(dá)式，Qi為廣義力，包括單元彈性變形和外加載荷(包括單元間載荷)引起的廣義力。將式(11)與約束方程C(q,t)=0聯(lián)立，即構(gòu)成剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)方程。

2.3 艦載導(dǎo)彈剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型

根據(jù)艦載發(fā)射動(dòng)力學(xué)知識(shí)及武器系統(tǒng)的子部件功能關(guān)系，對(duì)整個(gè)艦船模型進(jìn)行合理處理，簡(jiǎn)化后的模型主要分為艦體和垂直發(fā)射裝置。其中，垂直發(fā)射裝置主要由彈庫(kù)、發(fā)射筒、導(dǎo)彈和導(dǎo)軌組成：導(dǎo)彈和導(dǎo)軌間隙裝配，利用閉鎖機(jī)構(gòu)定位；導(dǎo)軌通過(guò)螺栓固定于發(fā)射筒中；彈庫(kù)垂直內(nèi)置于艦體中，其上下端部與艦體焊接。

艦載導(dǎo)彈垂直發(fā)射時(shí)的力學(xué)環(huán)境非常復(fù)雜，為了描述武器系統(tǒng)發(fā)射時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，特作如下假設(shè)：除了導(dǎo)軌和導(dǎo)彈，其他結(jié)構(gòu)件均視為剛體，不考慮其柔性；忽略螺栓固定和焊接處的柔性效應(yīng)；不考慮發(fā)射過(guò)程中導(dǎo)彈的變質(zhì)量特性；實(shí)際中導(dǎo)彈與艦體質(zhì)量相差懸殊，忽略導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)對(duì)艦體產(chǎn)生的影響。

由實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)可知，導(dǎo)彈在內(nèi)彈道過(guò)程中，其本身的柔性效應(yīng)和導(dǎo)軌的變形會(huì)對(duì)出筒姿態(tài)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，因此需要利用相關(guān)技術(shù)手段對(duì)導(dǎo)彈(包括彈體和定向鈕)和導(dǎo)軌進(jìn)行柔性體建模：Adams/Flex是采用修正的Craig-Bampton法來(lái)描述彈性體的變形，同時(shí)它給Adams和Ansys提供了雙向數(shù)據(jù)交換接口。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)件，可以先利用有限元軟件Ansys對(duì)構(gòu)件實(shí)體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，定義好附著點(diǎn)(施加力與約束副的外部節(jié)點(diǎn))和構(gòu)件實(shí)際連接處節(jié)點(diǎn)的關(guān)系，然后通過(guò)Adams connection命令得到模態(tài)中性文件(MNF)，再將模態(tài)中性文件導(dǎo)入Adams便能生成所需的柔性體，提高仿真的精確度。本文最后生成的柔性體共有64個(gè)附著點(diǎn)和802 324個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)。圖1為使用Ansys軟件生成的柔性體中導(dǎo)軌的有限元模型，其材料特性密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3。

圖1 導(dǎo)軌有限元模型

由于導(dǎo)彈發(fā)射采用冷發(fā)射方式，發(fā)射過(guò)程中導(dǎo)彈所受主要激勵(lì)為彈射力、閉鎖擋彈器的閉鎖力以及導(dǎo)彈定向鈕與導(dǎo)軌的接觸碰撞力。其中閉鎖力的效果利用Adams中的傳感器sensor激發(fā)，當(dāng)彈射力大于閉鎖力時(shí)開(kāi)始讓導(dǎo)彈解鎖運(yùn)動(dòng)。

模型中的導(dǎo)彈和導(dǎo)軌為柔性體，發(fā)射過(guò)程中定向鈕和導(dǎo)軌的接觸力用Contact(Flex body to flex)工具定義，其本質(zhì)為：接觸碰撞采用等效彈簧阻尼模型，即彈簧接觸力根據(jù)Hertz接觸理論計(jì)算，同時(shí)用阻尼器模擬接觸過(guò)程中的能量損失；間隙處的切向摩擦力采用coulomb摩擦模型計(jì)算。Contact工具中的具體參數(shù)值與接觸材料有關(guān)，定向鈕和導(dǎo)軌的材料分別為鋼和鋁，可根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和軟件提供的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)設(shè)定：接觸剛度為3.8×104N/mm；阻尼系數(shù)為28 N·s/mm；力貢獻(xiàn)指數(shù)為1.5；最大穿透深度0.1 mm；靜摩擦系數(shù)為0.3；動(dòng)摩擦系數(shù)為0.1。

彈射力由提拉桿式彈射裝置提供，采用隨體單向力模擬該載荷，作用點(diǎn)位于提彈梁質(zhì)心，方向近似平行于導(dǎo)軌，載荷大小為：

F(t)=P(t)·S

(12)

式中：P(t)為試驗(yàn)測(cè)得各時(shí)刻燃?xì)鈮簭?qiáng)；S為活塞筒截面積。采用AKISPL函數(shù)擬合，得到彈射力曲線。

海面上的艦艇由于海浪的波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生6自由度的搖蕩運(yùn)動(dòng)，包括3個(gè)沿坐標(biāo)軸方向的往復(fù)平移運(yùn)動(dòng)和3個(gè)繞坐標(biāo)軸的往復(fù)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)對(duì)發(fā)射精度的影響程度大小，一般僅考慮橫搖、縱搖和垂蕩3自由度方向上的運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為是幅值服從瑞利分布的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加[7]。利用Adams中的多自由度點(diǎn)驅(qū)動(dòng)工具(Point Motion)可以用來(lái)模擬艦艇在5級(jí)海況中的運(yùn)動(dòng)：橫搖周期為8 s，幅值為12°；縱搖周期為5 s，幅值為2.5°；垂蕩周期為5 s，幅值為1.9 m。

最后根據(jù)子部件真實(shí)運(yùn)動(dòng)關(guān)系對(duì)各部分連接施加相應(yīng)約束，就搭建完成整個(gè)系統(tǒng)剛?cè)狁詈夏Ｐ?主要部分具體拓?fù)溥B接如圖2示。

圖2 拓?fù)溥B接

為了便于說(shuō)明具體彈位，采用x-y格式進(jìn)行描述(x表示彈庫(kù)編號(hào)，y代表導(dǎo)彈編號(hào))。對(duì)彈庫(kù)以及導(dǎo)彈編號(hào)如圖3所示。

圖3 彈庫(kù)和導(dǎo)彈編號(hào)

2.4 參數(shù)化自動(dòng)仿真及結(jié)果分析

為了找出惡劣發(fā)射彈位，需要獲取所有彈位在不同發(fā)射時(shí)刻下的導(dǎo)彈姿態(tài)，由于艦船彈庫(kù)分布的對(duì)稱性，本模型僅研究四個(gè)彈庫(kù)(1,3,5,7)?？紤]到工況眾多(選擇最小運(yùn)動(dòng)周期40 s，采樣點(diǎn)間隔0.25 s，所有工況總和640種)，因此利用參數(shù)化設(shè)計(jì)，通過(guò)編譯C++程序自動(dòng)修改腳本文件的發(fā)射時(shí)間和發(fā)射彈位來(lái)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)仿真，其仿真控制流程如圖4示。

圖4 仿真控制流程圖

仿真完成所有工況后，對(duì)保存的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，列出各個(gè)彈庫(kù)的角速度峰值對(duì)應(yīng)彈位情況如表1所示。

表1 出筒角速度峰值

取5級(jí)海況下1-1和7-8位置對(duì)應(yīng)的各六發(fā)試驗(yàn)彈相應(yīng)數(shù)據(jù)，用以驗(yàn)證原模型仿真結(jié)果。1-1位置對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈俯仰角速度最大為20.5 deg/s，偏航角速度最大為10.4 deg/s，滾轉(zhuǎn)角速度最大為10.1 deg/s；7-8位置對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈俯仰角速度最大為10.3 deg/s，偏航角速度最大為22.5 deg/s，滾轉(zhuǎn)角速度最大為12.7 deg/s。與表1數(shù)值仿真結(jié)果相比，最大值在量級(jí)上基本一致，且誤差在4%～10%之間，主要是由于動(dòng)力學(xué)模型和海浪運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化處理造成。根據(jù)工程應(yīng)用精度要求，文中提出的動(dòng)力學(xué)仿真方法適用于工程計(jì)算和分析，計(jì)算結(jié)果是可信的。

3 發(fā)射彈位影響分析

使用數(shù)學(xué)軟件工具對(duì)表1所列各惡劣彈位動(dòng)力學(xué)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，限于篇幅所限，圖5僅顯示7-8彈位導(dǎo)彈的俯仰，偏航和滾轉(zhuǎn)各姿態(tài)的頻域信號(hào)圖。

其中，俯仰姿態(tài)頻譜圖在頻率為0.2 Hz時(shí)出現(xiàn)主峰值，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他峰值；偏航姿態(tài)頻譜圖則在頻率為0.125 Hz時(shí)出現(xiàn)主峰值；而滾轉(zhuǎn)姿態(tài)頻譜圖則包含多個(gè)大小相近的峰值。

由力學(xué)知識(shí)可知，影響導(dǎo)彈姿態(tài)的主要因素有以下三點(diǎn)：導(dǎo)彈的重力作用，海浪使艦船產(chǎn)生的搖擺運(yùn)動(dòng)和發(fā)射裝置的結(jié)構(gòu)特征引起的導(dǎo)彈滑塊和導(dǎo)軌的相互碰撞力作用。通過(guò)動(dòng)力學(xué)頻譜分析可以方便的看出各因素的影響程度。

圖5 角速度頻譜圖

從頻率值來(lái)看，俯仰和偏航的頻譜分析中的主峰值對(duì)應(yīng)的頻率在數(shù)值上正好等于艦船的縱搖和橫搖頻率大小，這是由于船艉5，7號(hào)彈庫(kù)中導(dǎo)彈的俯仰方向與艦船縱搖的方向相同，偏航方向與艦船的橫搖方向相同，船艏1，3號(hào)彈庫(kù)中導(dǎo)彈的情況則恰好相反。從幅值上看，俯仰和偏航頻譜分析中的直流分量主要是由重力引起的，其它峰值對(duì)應(yīng)的是彈體與導(dǎo)軌的碰撞力，它們的大小相對(duì)于因?yàn)榕灤瑩u擺運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的主峰值小很多。因此高海情下導(dǎo)彈的偏航和俯仰姿態(tài)主要由艦船對(duì)應(yīng)的搖擺運(yùn)動(dòng)引起的，而對(duì)于滾轉(zhuǎn)姿態(tài)來(lái)說(shuō)，其值受到三個(gè)因素的綜合影響。

明確了導(dǎo)彈姿態(tài)和艦船搖擺運(yùn)動(dòng)的關(guān)系后就能詳細(xì)的分析發(fā)射彈位對(duì)發(fā)射精度的影響。比較表1中四個(gè)彈庫(kù)里惡劣發(fā)射彈位可知，7-8彈位的角速度模值最大。這是由于相比于5-8彈位，其離橫軸較遠(yuǎn)，因而振動(dòng)幅度更大，發(fā)射環(huán)境更惡劣，造成發(fā)射精度更低；相比于1-1彈位，雖然其離橫軸較近，但是離縱軸較遠(yuǎn)，同時(shí)船體繞縱軸的橫搖運(yùn)動(dòng)幅值12o比繞橫軸的縱搖運(yùn)動(dòng)幅值2.5°高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此發(fā)射精度相比起來(lái)仍然較低。

4 結(jié) 論

(1) 利用Matlab可以穩(wěn)定有效的進(jìn)行快速傅里葉變化，過(guò)程簡(jiǎn)單，適用于工程技術(shù)人員在一般情況下進(jìn)行頻域處理?；诙嗳狍w動(dòng)力學(xué)理論，在虛擬樣機(jī)平臺(tái)上建立的發(fā)射動(dòng)力學(xué)模型是精確和高效的，更接近于真實(shí)的武器系統(tǒng)。

(2) 對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析，可以快速找出現(xiàn)象的本質(zhì)，揭示出內(nèi)在的規(guī)律，為今后類似問(wèn)題的分析提供有價(jià)值的參考。

(3) 高海情下發(fā)射彈位對(duì)發(fā)射精度的影響，與艦船的搖擺運(yùn)動(dòng)有著密切的關(guān)系，主要取決于發(fā)射彈位距艦船橫縱兩軸的距離和艦船搖擺運(yùn)動(dòng)的幅值兩個(gè)方面：距離越遠(yuǎn)則發(fā)射精度越低；如果距離一遠(yuǎn)一近，發(fā)射精度則需要考慮艦船對(duì)應(yīng)搖動(dòng)的幅值大小,進(jìn)行綜合確定。建議艦艇總體設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該使彈庫(kù)分布盡量靠近搖擺中心；同時(shí)，盡量避免發(fā)射彈位離橫縱軸均遠(yuǎn)的導(dǎo)彈。

[1] 段齊駿,邱亞鋒,張福祥. 艦載武器裝備發(fā)射精度與載體運(yùn)動(dòng)關(guān)系研究[J].彈道學(xué)報(bào),2000,12(2):60-64.

DUAN Qi-jun, QIU Ya-feng, ZHANG Fu-xiang. Study about the relationship between ship sway and launching precision of weapons[J]. Journal of Ballistics, 2000,12(2):60-64.

[2] 陳德民,槐創(chuàng)鋒,張克濤. 精通ADAMS虛擬樣機(jī)技術(shù)[M].北京: 化學(xué)工業(yè)出版社,2010.

[3] 劉益成,穆群英,趙培根. FFT算法運(yùn)算次數(shù)的差分方程求解研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,5(3):1-3.

LIU Yi-cheng, MU Qun-ying, ZHAO Pei-gen. The method of solving number of operations for FFT algorithm by differential equation[J]. Journal of Yangtze University(Natural Science Edition), 2008,5(3):1-3.

[4] 高西全,丁玉美,闊永紅. 數(shù)字信號(hào)處理-原理、實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用[M].北京: 電子工業(yè)出版社,2006.

[5] Orlandea N, Chance M A, Calahan D A. A sparsity-oriented approach to the dynamics analysis and design of mechanical system part[J]. Journal of Engineering for Industry, 1977, 99(3): 773-784.

[6] 洪嘉振. 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)-理論、計(jì)算方法和應(yīng)用[M]. 上海: 上海交通大學(xué)出版社,2006.

[7] 姚昌仁,唐國(guó)良,宋廷倫,等. 火箭導(dǎo)彈發(fā)射動(dòng)力學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1996.