柳錦春，于潤清，唐德利

(1.解放軍理工大學(xué) 國防工程學(xué)院，南京 210007;2.爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點實驗室，南京 210007)

裂紋的開裂直接導(dǎo)致玻璃的破碎，文獻(xiàn)[1]采用蒙特卡洛法并結(jié)合有限元分析，建立一種修正的單層玻璃板動態(tài)裂紋破壞模型。本文結(jié)合試驗確定該修正模型中的未知量，即裂紋分布密度、最大裂紋長度和裂紋長度的分布，最后用此模型計算了爆炸荷載下玻璃板的破壞時間。

1 確定改進(jìn)模型中的未知量

1.1 網(wǎng)格和材料參數(shù)的確定

選用ABAQUS進(jìn)行玻璃板的動力分析，在模擬前有必要確定網(wǎng)格尺寸和材料參數(shù)。取彈性模量E=73 GPa，泊松比v=0.25，密度ρ=2 450 kg/m3，板的尺寸為1 m×1 m×0.004 m，邊界條件為四邊簡支，荷載為均布荷載2.2 kPa，為準(zhǔn)確模擬準(zhǔn)靜態(tài)加載[2]，荷載步選用光滑緩慢加載步，加載時間設(shè)為2 s，經(jīng)過網(wǎng)格尺寸分析取網(wǎng)格為50 mm，分別用幾何線性和幾何非線性進(jìn)行計算，并將計算結(jié)果與其他文獻(xiàn)[3,4]的計算結(jié)果作對比，見表1。

表1 應(yīng)力和撓度的對比

由表1可以看出，運用ABAQUS軟件及上述參數(shù)可以很好地模擬玻璃的變形(本文如無特殊說明玻璃板的材料參數(shù)均為1.1節(jié)確定的參數(shù))。此外，從表中還可以看出，運用幾何非線性計算的結(jié)果要小于用幾何線性計算的結(jié)果，由于玻璃薄板在動荷載作用下幾何非線性特征明顯[5]，因此本文選用幾何非線性進(jìn)行計算。

1.2 時間增量步Δt的確定

裂紋長度隨時間變化而增大，可表示為[1]

(1)

式中:aj、aj-1分別是第j時刻、j-1時刻的裂紋長度，σj、σj-1分別是j時刻、j-1時刻的裂紋法向拉應(yīng)力，Δt為時間增量，v0和n均為材料參數(shù)，KIC是應(yīng)力強(qiáng)度因子，Y是裂紋的形狀參數(shù)。

由式(1)可知，Δt的值直接影響計算結(jié)果。取Δt分別為0.02 s，0.05 s，0.1 s，板的尺寸、材料參數(shù)、荷載形式和邊界條件與1.1節(jié)相同，玻璃板內(nèi)的裂紋分布取對數(shù)正態(tài)分布(參數(shù)見表2)，裂紋密度與裂紋最大長度見表3，樣本取100，計算破壞時間t的累計概率(CPD)，如圖1所示。觀察圖1，比較三組數(shù)據(jù)，綜合考慮計算精度和計算效率，可取Δt=0.05 s。

圖1 不同增量步破壞時間的對比

1.3 裂紋長度分布函數(shù)的參數(shù)取值

設(shè)定最大裂紋長度amax，將任意裂紋長度aj除以最大裂紋長度，得長度歸一化系數(shù)rj。對rj取不同的分布即可代表裂紋不同的長度分布。Nurhuda采用的概率密度函數(shù)[6]使rj在某一區(qū)間過于集中，如圖2所示，在取對數(shù)正態(tài)分布時長度在較小值區(qū)間過于集中。為更好的覆蓋整個取值范圍，本文采用圖3所示的概率密度函數(shù)，詳細(xì)參數(shù)見表2。

圖2 Nurhuda 采用的概率密度函數(shù)

圖3 本文采用的概率密度函數(shù)

表2 不同分布參數(shù)取值

1.4 確定裂紋長度分布、裂紋密度和裂紋最大長度

Gavanski等[4]研究了浮法玻璃板的破壞時間，通過試驗統(tǒng)計了破壞時間的累計概率，Nurhuda等[6]對浮法玻璃板的破壞應(yīng)力做了試驗研究，統(tǒng)計了破壞應(yīng)力的累計率，本節(jié)參照這兩個試驗進(jìn)行參數(shù)確定和模型的驗證。具體做法如下：

(1) 確定每種裂紋長度分布對應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長度。Gavanski等[4]統(tǒng)計了三種加載形式(如圖4所示)下玻璃板破壞時間的累計概率，選用其中一個加載速率的試驗結(jié)果，用四種不同的裂紋長度分布進(jìn)行模擬，得到四種裂紋長度分布對應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長度。

(2) 對比破壞應(yīng)力。仍用(1)中具體確定四組參數(shù)，對Nurhuda的一組試驗中的其中一個進(jìn)行模擬，對比模擬結(jié)果與試驗值，判斷參數(shù)的優(yōu)劣。

圖4 不同的荷載形式

1.4.1 確定四種裂紋長度分布對應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長度

取加載速率為6.5 kPa/s(圖4中的荷載3)，玻璃板尺寸為1 m×1 m×0.006 m，對四種長度分布函數(shù)，確定出對應(yīng)的最佳裂紋密度和裂紋最大長度。

由于Gavanski等[4]對不同的荷載形式只取了20個試件，因此在模擬計算時每組的試件數(shù)取為20，共模擬15組。選取不同的裂紋密度值和最大長度值，取模擬結(jié)果的平均值與實驗結(jié)果最近似的參數(shù)為最佳參數(shù)。

以對數(shù)正態(tài)分布為例，對每組玻璃板進(jìn)行模擬，統(tǒng)計出累計概率，如圖5。然后計算出15組玻璃板的模擬結(jié)果，如圖6所示。最后求出15組模擬結(jié)果的平均值，見圖7。

由式(2)計算平均值與實驗值的距離[8]，取距離最小的參數(shù)為最優(yōu)參數(shù)。

(2)

其中:t1k為破壞時間的試驗值，t2k為破壞時間的模擬值。

圖5 對數(shù)正態(tài)分布1組模擬結(jié)果(荷載3)

用同樣的方法確定出其他長度分布所對應(yīng)的最佳裂紋分布密度和最大長度，計算結(jié)果見表3。

表3 裂紋尺寸分布的統(tǒng)計參數(shù)

1.4.2 對比破壞應(yīng)力，確定參數(shù)

取Nurhuda的一組試驗[6]中的一個工況計算玻璃板破壞應(yīng)力的累計概率。加載速率取為10 kPa/s，玻璃尺寸分別為2 m×0.67 m×0.008 m，玻璃板為四邊簡支，計算結(jié)果如圖8。

圖8 模擬結(jié)果與試驗結(jié)果的對比

圖8表明，采用對數(shù)正態(tài)分布計算的破壞應(yīng)力與試驗結(jié)果更加接近。

由此確定玻璃板內(nèi)裂紋長度大致符合對數(shù)正態(tài)分布。

2 與其他模型的對比

在確定參數(shù)后，將該改進(jìn)模型與其他模型相比較，并與試驗值進(jìn)行對比，以確定模型的優(yōu)劣性。由于同時給出破壞時間和破壞應(yīng)力的實驗數(shù)據(jù)較少，因此在計算破壞時間時與Evans的模型[4]和Simu&Reed的模型[4]進(jìn)行對比，在計算破壞應(yīng)力時與Nurhuda模型[6]和Beason的玻璃破壞模型[7]進(jìn)行對比。

取Gavanski等[4]的試驗，針對荷載1、荷載2(圖4)計算玻璃板的破壞時間，并與Evans的模型和Simu&Reed的模型進(jìn)行對比，如圖9、圖10。由圖9可知，在6.5 kPa/s的鋸齒形荷載下，改進(jìn)模型結(jié)果與試驗值吻合較好，Simu&Reed模型結(jié)果偏差小一點，但當(dāng)累計概率(CPD)越來越大時偏差也越來越大，而Evans模型結(jié)果始終與試驗值偏差均較大。由圖10可知，在0.25 kPa/s的直線型荷載下，當(dāng)累計概率(CPD)小于0.7時，改進(jìn)模型與Simu&Reed的模型結(jié)果與試驗值吻合均較好，而Evans的模型與試驗值偏差較大，當(dāng)累計概率(CPD)大于0.7時，只有改進(jìn)模型與試驗值吻合較好，而其他兩種模型與試驗值吻合都較差，尤其是Evans模型偏差較大。

圖9 模型對比(荷載1)

取Nurhuda的試驗[6]計算玻璃板破壞應(yīng)力的累計概率。加載速率取為10 kPa/s，玻璃尺寸為2 m×0.4 m×0.008 m，玻璃板為四邊簡支，運用改進(jìn)模型和Nurhuda模型[6]以及Beason模型計算破壞應(yīng)力并與試驗值進(jìn)行對比，如圖11。由圖11可以看出，Beason模型預(yù)測的破壞應(yīng)力過大，而改進(jìn)模型與Nurhuda模型值與試驗值誤差較小。但相對于Nurhuda模型，改進(jìn)模型不僅可以分析預(yù)測玻璃板的破壞應(yīng)力，還可以分析預(yù)測玻璃板的破壞時間，且不受玻璃板形狀和邊界條件的限制。

3 爆炸荷載條件下破壞模型的適用性驗證

葛杰[9]對不同爆炸荷載作用下玻璃板的動力響應(yīng)進(jìn)行了試驗研究，如表4，本節(jié)根據(jù)前文確定的裂紋密度、裂紋長度分布和最大裂紋長度，對表4中的三種工況進(jìn)行模擬。

爆炸荷載的時程曲線可由修正的Friedlander方程確定，

(3)

其中:pmax是沖擊波超壓峰值，td是正壓作用時間，b是波形參數(shù)，均可由Conwep[10]計算得出。

表4 不同工況 [9]

圖12 模擬的破壞時間分布

玻璃材料參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[9]取值，玻璃的彈性模量E=67 GPa，泊松比v=0.25，選取5組樣本，每組900個，根據(jù)改進(jìn)模型，采用前文確定的最優(yōu)的裂紋長度分布和相應(yīng)的裂紋密度、最大裂紋長度，計算爆炸荷載作

用下玻璃板的破壞時間，結(jié)果如圖12所示。對比三種工況可知，隨著比例爆距的減少，破壞時間的主要分布區(qū)間前移，工況1和工況2玻璃板的破壞時間集中在2～4 ms，工況3集中在0～2 ms，這與實驗結(jié)果是基本相符的，說明該破壞模型可以用于單層玻璃板的抗爆分析。

4 結(jié) 論

本文以浮法玻璃為例確定了文獻(xiàn)[1]中修正模型的未知量。首先假定四種不同的裂紋長度分布，分別對其中某一種長度分布選用不同裂紋密度值和裂紋最大長度值，基于所選的裂紋密度和裂紋最大長度對玻璃的破壞時間進(jìn)行模擬，通過計算模擬結(jié)果與試驗結(jié)果的對比確定出四種裂紋長度分布對應(yīng)的最優(yōu)裂紋密度和裂紋最大長度。根據(jù)確定的四種長度分布及最優(yōu)裂紋密度和裂紋最大長度，計算玻璃板的破壞應(yīng)力，將計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比，確定出最優(yōu)的裂紋長度分布，由此，最優(yōu)裂紋長度分布對應(yīng)的一組參數(shù)即為該改進(jìn)模型的參數(shù)。運用確定參數(shù)后的改進(jìn)模型計算了玻璃板的破壞時間和破壞應(yīng)力，分別與Evans的模型、Simu&Reed的模型、Nurhuda模型和Beason模型的計算結(jié)果進(jìn)行對比，對比表明，該改進(jìn)模型可以同時較準(zhǔn)確地計算出玻璃板的破壞應(yīng)力和破壞時間。最后應(yīng)用改進(jìn)模型，采用最優(yōu)的裂紋長度分布和相應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長度對不同爆炸荷載下玻璃板的破壞時間進(jìn)行了模擬，模擬結(jié)果與試驗值吻合較好。

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