范文亮，魏剛毅，李正良，2

(1.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶 400045)

疲勞失效是航空工程、機械工程、船舶工程、交通運輸工程和土木工程等諸多領(lǐng)域的普遍物理現(xiàn)象，由此造成的災(zāi)害性事故屢見不鮮。如飛機、核壓力容器和橋梁等都存在嚴重的疲勞破壞風(fēng)險[1]。眾所周知，降低結(jié)構(gòu)或構(gòu)件疲勞失效危險的有效措施就是對其進行疲勞損傷分析，進而實現(xiàn)抗疲勞設(shè)計。

常規(guī)疲勞分析中，通常需要對所關(guān)注部位的應(yīng)力時間歷程進行統(tǒng)計，將此統(tǒng)計結(jié)果與疲勞累積損傷相結(jié)合即可獲得結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的損傷狀態(tài)估計，由此可以進一步進行結(jié)構(gòu)剩余壽命評估。其中，對應(yīng)力時間歷程進行統(tǒng)計進行統(tǒng)計的過程就稱為計數(shù)，與之對應(yīng)的方法即為計數(shù)法，是疲勞分析中非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)之一。

計數(shù)法種類繁多，主要包括水平跨越計數(shù)法(Level-Crossing Counting)、峰值計數(shù)法(Peak Counting)、單變程計數(shù)法(Simple-Range Counting)和雨流類計數(shù)方法(Rainflow Counting and Related Methods)等[2]。自1968年Matsuiski和Endo提出雨流計數(shù)法[3]以來，雨流類計數(shù)方法獲得了廣泛的關(guān)注，提出了三峰谷值法[4-6]和四峰谷值法[7-8]兩大類方法，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展了很多改進措施[9-14]，目前已成為了應(yīng)用最為廣泛的計數(shù)法。仔細考察上述各類雨流計數(shù)法不難發(fā)現(xiàn)，盡管早期雨流計數(shù)法的各類缺陷逐漸被新近方法所改進，但是它們均存在一個共同的特點：欲獲得某一時間歷程的計數(shù)結(jié)果，必須從該歷程的起始點開始運算。

隨著可持續(xù)發(fā)展理念和精細化設(shè)計思路的重要性日益凸顯，工程結(jié)構(gòu)的全壽命周期設(shè)計近十年來引起了廣泛的興趣。顯然，結(jié)構(gòu)性能的時變變化規(guī)律和特性是全壽命周期設(shè)計的基礎(chǔ)。對應(yīng)于遭遇疲勞破壞風(fēng)險的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的時變疲勞損傷分析就至關(guān)重要。換言之，需要了解結(jié)構(gòu)疲勞損傷隨著時間歷程的變化。若采用傳統(tǒng)的計數(shù)方法，任一時刻疲勞損傷的計算都需要從疲勞荷載剛作用于結(jié)構(gòu)時開始計數(shù)，從而導(dǎo)致了很多不必要的重復(fù)運算，降低了計算效率。當(dāng)需要由構(gòu)件的疲勞損傷評估整體結(jié)構(gòu)的疲勞損傷時，效率的下降就更為明顯，對于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)尤甚。

為了滿足全壽命周期分析和設(shè)計的需要，借鑒動力分析中的增量方法思路，本文力圖發(fā)展一種可以充分利用已有歷程計數(shù)結(jié)果，再結(jié)合增量時程計數(shù)，從而實現(xiàn)任意時刻計數(shù)的時變計數(shù)法，并對其有效性和高效性進行驗證。

1 時變計數(shù)法模型及實現(xiàn)

顯而易見，對于一般的時間歷程，若將其分為兩段，且采用雨流計數(shù)法對整體和兩分段分別計數(shù)，那么整體計數(shù)結(jié)果與兩分段計數(shù)結(jié)果之和并不一定相等。以圖1所示應(yīng)力歷程簡單說明之。將該歷程在圖中虛線處分段，表1分別給出了圖1(a)的計數(shù)結(jié)果和圖1(b)中兩段時程計數(shù)結(jié)果之和，兩者存在顯著差異。

表1 不分段與分段累加計數(shù)結(jié)果的比較

圖1 歷程不分段和分段兩種情況

1.1 時變計數(shù)法模型

為解決上述問題，文中給出了時變計數(shù)法模型。詳細過程如下：

(1) 可根據(jù)分析要求對時程進行分段。

(4) 將第一段殘波Rt1的后三個點接入第二分段ΔSt2的首部，形成新的第二分段ΔSt2’。若Rt1的點數(shù)不足三個，就Rt1將整體接入ΔSt2。

1.2 時變計數(shù)法的實現(xiàn)

根據(jù)時變計數(shù)法模型的闡述可以發(fā)現(xiàn)，除獲得t1時刻的計數(shù)結(jié)果稍有差異外，其他時刻的計數(shù)結(jié)果的計算過程是完全相同的。因此，時變計數(shù)法的實現(xiàn)亦可分為兩部分：首先是獲得t1時刻的計數(shù)結(jié)果及其中間結(jié)果，然后逐步讀入增量歷程并采用建議方法獲得其他時刻的計數(shù)結(jié)果。時變計數(shù)法的詳細流程圖見圖2。

圖2 時變計數(shù)法的實現(xiàn)流程圖

2 時變計數(shù)法的計算性能分析

為了避免計算機運行狀態(tài)和程序算法結(jié)構(gòu)對各計數(shù)法運算效率的影響，文中將對時變計數(shù)法與Amzallag法所包含的各類操作數(shù)量進行簡單的理論分析，并通過對比說明建議方法的高效性。

無論是建議的時變計數(shù)法和Amzallag法，計算過程均包含如下操作：數(shù)據(jù)檢測和壓縮、對給定時長的時程數(shù)據(jù)進行計數(shù)、殘波復(fù)制和移位處理。假設(shè)上述各操作與對象的時間跨度呈正比，且單位時長的數(shù)據(jù)檢測和壓縮耗時為a，單位時長時程計數(shù)耗時為b，單位時長殘波復(fù)制和移位耗時為c，且假設(shè)單位時長數(shù)據(jù)計數(shù)所剩殘波的比例為d。

若存在一時長為[0,tn]的應(yīng)力時程，需要獲得在時刻t1，t2，…，tn的結(jié)構(gòu)損傷。為此，必須先得到各時刻的計數(shù)結(jié)果?；谏鲜龊唵渭僭O(shè)，考察分別采用時變計數(shù)法和Amzallag法所需的理論計算時間。

不難發(fā)現(xiàn)，采用Amzallag法對單位時長歷程計數(shù)耗時為a+b+c+bd，于是所有n個時刻計數(shù)結(jié)果的耗時為(t1+t2+…+tn)×(a+b+c+bd)。

若采用時變計數(shù)法，則獲得t1時刻的計數(shù)結(jié)果需耗時t1×(a+b+c+bd)；獲得ti時刻的計數(shù)結(jié)果需耗時為(ti-ti-1)×(a+b)+Ai(a+b)+dAi(a+b+c)，其中Ai=di-1t2+di-2(t3-t2) +…+d(ti-ti-1)，總耗時即為各時刻耗時之和。

為便于比較，不妨再假設(shè)各時刻均勻分布，且間隔時長為τ，那么采用Amzallag法所需總耗時為n(n+1)τ/2×[a+(1+d)×b+c]；而采用時變計數(shù)法所需耗時為 [nτ+(1+d)A0]×(a+b)+(dA0+τ)c+dτb，其中A0=(n-1)dτ/(1-d)+[(1-dn-1)(1-2d)dτ]/(1-d)2。通常，d遠小于1，隨著n的增大，dn-1逐漸趨近于0，于是A0≈(n-1)dτ/(1-d)+(1-2d)dτ/(1-d)2。顯然，Amzallag法的總耗時隨n呈非線性增長，而建議方法耗時基本與n呈正比，且d越小，比例系數(shù)越小。因此，隨著n的增大時變計數(shù)法的高效性逐漸顯著。以n=100，d=0.5為例，Amzallag法的總耗時為5 050τ(a+1.5b+c)，時變計數(shù)法的總耗時為137.125τa+137.625τb+13.375τc，不足前者的1/37。若n=10 000，d=0.5，則建議方法耗時不足Amzallag法的1/3 600，高效性較n=100情形更為明顯。

3 時變計數(shù)法模型的算法驗證

文中針對兩類簡單算例，將建議方法與常用的雨流類計數(shù)法展開了詳細的對比分析，以驗證時變計數(shù)法的準(zhǔn)確性。此處，常用雨流類方法選取兩種，分別為Bannantine等提出的三峰谷值法(簡稱為Bannantine法)與Amzallag法。

3.1 隨機應(yīng)力時程

為簡便，文中構(gòu)造了一類虛擬的隨機應(yīng)力歷程，其構(gòu)造過程如下：首先生成m個服從N(0,1)分布的隨機數(shù)據(jù)點，并將其視為有序數(shù)列，然后將該數(shù)列中的各元素依次交替乘以“-1”和“1”得到新的有序數(shù)列，最后以該有序數(shù)列為縱坐標(biāo)(即應(yīng)力值)、以從0開始的等間隔時刻為橫坐標(biāo)得到隨機應(yīng)力歷程。

對于構(gòu)造的變幅應(yīng)力歷程，可將其分為n段，由時變計數(shù)法給出n個時刻對應(yīng)的計數(shù)結(jié)果，同時亦可由Bannantine法和Amzallag法給出最終時刻的計數(shù)結(jié)果。僅從驗證時變計數(shù)法準(zhǔn)確性的角度出發(fā)，只需給出最終時刻的計數(shù)結(jié)果并將其與常用計數(shù)法比較即可。

為了驗證建議方法的普適性，文中生成了3條隨機應(yīng)力時程。采用上述各計數(shù)法對此3條歷程進行計數(shù)的結(jié)果分別示于圖3～圖5。圖中，x軸為滯回環(huán)的幅值，y軸為其均值，z軸為各幅值-均值對出現(xiàn)的次數(shù)，下同。

圖3 隨機應(yīng)力時程1的計數(shù)結(jié)果(m=25 000)

圖4 隨機應(yīng)力時程2的計數(shù)結(jié)果(m=50 000)

圖5 隨機應(yīng)力時程3的計數(shù)結(jié)果(m=75 000)

不難發(fā)現(xiàn)，對于任意構(gòu)造的3個隨機應(yīng)力時程，時變計數(shù)法的結(jié)果均與常用雨流類計數(shù)法的結(jié)果吻合，有效地驗證了建議模型的準(zhǔn)確性和合理性。此外，由上述3個算例亦可發(fā)現(xiàn)Bannantine法和Amzallag法的計數(shù)結(jié)果也是一致的，進一步驗證了三峰谷值法與四峰谷值法的等效性，與McInnes等[15]的理論分析結(jié)果相互佐證。

值得指出的是，盡管各方法得到的幅值-均值對循環(huán)的出現(xiàn)頻次完全相同，但各方法獲得的幅值-均值對序列的次序不同。

3.2 一般應(yīng)力時程

為了驗證建議方法對更一般時間歷程的適用性，文中截取了某輸電塔關(guān)鍵構(gòu)件在風(fēng)致振動下的應(yīng)力時程為計數(shù)對象。該時程共包含3 004個峰谷點，時間間隔0.25 s，總時長為751 s。采用時變計數(shù)法時，將其分為3段，即1～1 000、1 001～2 000和2 001～3 004這三段。由于Bannantine法和Amzallag法的等效性，此處僅給出Amzallag法和建議方法得到的最終計算結(jié)果，如圖6所示。經(jīng)比較，建議方法的準(zhǔn)確性得到了進一步驗證。

圖6 輸電塔應(yīng)力時程的最終計數(shù)結(jié)果

圖7 輸電塔應(yīng)力時程的時變計數(shù)結(jié)果

此外，在采用時變計數(shù)法獲得最終計數(shù)結(jié)果的過程中可以很方便地給出前兩段增量歷程終點時刻的計數(shù)結(jié)果，如圖7所示。

4 結(jié) 論

為了提高時變疲勞損傷分析的效率，文中借鑒動力分析中增量法的思路，提出了一種可以逐步讀入增量時程進行計數(shù)的時變計數(shù)法。與傳統(tǒng)計數(shù)法相比，該方法不僅可以獲得最終時刻的計數(shù)結(jié)果，而且可以給出各增量時程終點時刻的計算效果。由于不必每次均從零時刻開始計算，時變計數(shù)法顯著地改善了傳統(tǒng)計數(shù)法在時變分析中的效率，且所關(guān)注的時點越多，效率提高就越為明顯。最終，文中通過一個虛擬算例和一個實際工程算例驗證了建議計數(shù)法的準(zhǔn)確性。

此外，文中通過算例的形式驗證了三峰谷值法與四峰谷值法的等效性，與McInnes等的理論分析結(jié)果是相吻合的。

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