胡俊亮，顏全勝，鄭恒斌，崔楠楠，余曉琳

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣州 510640)

由于橋梁結(jié)構(gòu)發(fā)展的復(fù)雜化，導(dǎo)致較難直觀判斷構(gòu)件受力狀況。有限元分析方法雖能滿足大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析需要，但亦較難直接建立與試驗結(jié)果匹配的有限元模型。Mottershead等[1]認(rèn)為有限元模型不精確、與試驗結(jié)果不相匹配原因為：① 常出現(xiàn)于結(jié)構(gòu)有強(qiáng)烈非線性行為時的模型結(jié)構(gòu)誤差；② 不合適的邊界條件及在簡化模型時不精確假設(shè)等的模型參數(shù)誤差；③ 發(fā)生于對復(fù)雜結(jié)構(gòu)離散化處理時，有限元模型所得階數(shù)不能完全反映結(jié)構(gòu)真實狀況，僅為實際結(jié)構(gòu)階數(shù)一部分的模型階次誤差。因此，注意力轉(zhuǎn)移至基于試驗結(jié)果的有限元模型修正研究。通常由現(xiàn)場試驗與有限元模型分析獲得結(jié)構(gòu)固有特性。雖現(xiàn)場試驗因環(huán)境噪聲干擾，測量儀器誤差及試驗誤操作等會致結(jié)果存在一定誤差，但仍可認(rèn)為現(xiàn)場試驗所得結(jié)構(gòu)特性能在一定程度上反映結(jié)構(gòu)的真實狀況。因此，現(xiàn)場測試結(jié)果與有限元模型分析結(jié)果不匹配時，需對有限元模型進(jìn)行修正以期能反映結(jié)構(gòu)的真實狀況。

1 有限元模型修正方法

有限元模型修正方法可分為兩類，即矩陣型模型修正方與參數(shù)型模型修正法。整體結(jié)構(gòu)矩陣型修正方法[2]以有限元模型質(zhì)量矩陣M及剛度矩陣K加權(quán)范數(shù)最小化為目標(biāo)函數(shù)，以振型正交性、M、K對稱性為約束條件，采用有約束的最小化求解方法進(jìn)行模型修正。該修正方法采用由振動試驗所得結(jié)構(gòu)特征向量與振型矩陣(擴(kuò)階后振型矩陣)。因此，模型修正精度直接與擴(kuò)階后振型精度相關(guān)。通過整體結(jié)構(gòu)矩陣修正所得結(jié)構(gòu)矩陣會將原有帶狀、稀疏特性改變成滿秩矩陣，甚至有些元素變負(fù)值，導(dǎo)致所得結(jié)構(gòu)矩陣物理意義不明顯，甚至產(chǎn)生虛假模態(tài)。因此，諸多研究據(jù)存在問題提出解決方法。Kabe[3]引入元素相關(guān)性概念，提出保持原模型帶狀、稀疏特性方法；向錦伍等[4]提出通過求解結(jié)構(gòu)矩陣的誤差矩陣，定位誤差較大單元進(jìn)行特定修改，保持原結(jié)構(gòu)矩陣特性；但此方法缺點為經(jīng)修正的結(jié)構(gòu)矩陣無法反饋到現(xiàn)有通用有限元計算軟件中，適用性受到一定限制。參數(shù)型有限元模型修正方法選特定參數(shù)進(jìn)行模型修正，使修正后有限元分析與試驗結(jié)果誤差最小，物理意義明確。因此，參數(shù)型模型修正方法獲得廣泛發(fā)展。所選修正參數(shù)為彈性模量、材料密度、截面面積等。

參數(shù)型修正方法包括頻響函數(shù)法[5-8]、模擬退火算法[9-11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[12-14]、遺傳算法[15-17]、基于商業(yè)軟件Ansys二次開發(fā)技術(shù)的優(yōu)化理論方法[18-20]及統(tǒng)計方法[21-27]等。頻響函數(shù)法無需模態(tài)分析，可避免將模態(tài)參數(shù)識別誤差帶入模型修正；而其缺點在于需結(jié)構(gòu)完整頻響函數(shù)值，因此又引入模型擴(kuò)展者縮聚所致誤差。模擬退火算法計算過程簡單、魯棒性強(qiáng)，能以較大概率求得全局最優(yōu)解。但其收斂速度緩慢，算法性能與初始值密切相關(guān)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法以其強(qiáng)大的非線性映射能力、容錯能力及魯棒性在有限元模型修正領(lǐng)域廣泛應(yīng)用；但其要求訓(xùn)練樣本足夠多，網(wǎng)絡(luò)類型選取及隱含層數(shù)、節(jié)點數(shù)量、初始值確定無理論依據(jù)等缺陷其應(yīng)用亦受到限制。遺傳算法為高效并行的全局尋優(yōu)算法，但同模擬退火算法亦存在收斂速度緩慢的缺點?；谏虡I(yè)軟件二次開發(fā)技術(shù)的優(yōu)化理論方法能解決其它模型修正方法難以考慮的結(jié)構(gòu)非線性影響及預(yù)應(yīng)力效應(yīng)問題，但亦存在計算效率較低、不能保證收斂到全局最優(yōu)解的缺陷。統(tǒng)計方法考慮統(tǒng)計量的不確定性與統(tǒng)計分布特征，利用譜密度估計統(tǒng)計特性，獲得用多變量高斯分布精確近似模態(tài)參數(shù)概率密度函數(shù)，計算高斯分布均值與方差可獲得模態(tài)參數(shù)的最優(yōu)估計及與之聯(lián)系的不確定度，將不確定度用于有限元模型修正。文獻(xiàn)[26]用兩實際結(jié)構(gòu)模型修正過程說明基于貝葉斯證據(jù)統(tǒng)計方法的有效性，認(rèn)為影響模型修正參數(shù)選擇的兩重要因素為有限元模型逼近測量數(shù)據(jù)方法及每個模型對測試數(shù)據(jù)信息量提取的多寡，對模型修正精度有直接影響。

Kriging法為數(shù)學(xué)、地質(zhì)學(xué)廣泛使用、基于隨機(jī)過程的統(tǒng)計預(yù)測法，其據(jù)區(qū)域內(nèi)若干信息樣品的某種特征數(shù)據(jù)對該區(qū)域同類特征未知數(shù)作線性無偏、最小方差估計，具有平滑效應(yīng)及估計方差最小的統(tǒng)計特征[28]。Kriging法由南非地質(zhì)學(xué)者Krige于1951年提出，用于確定礦產(chǎn)儲量分布。Sacks等[29]第一次將Kriging方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計。Romero等[30-31]將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠度問題。鑒于Kriging模型優(yōu)越的模擬性能，本文將其用于有限元模型修正，并與遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對比，由實例驗證該方法精度與高效性。

2 Kriging模型

Kriging作為線性回歸分析的改進(jìn)技術(shù)，包含線性回歸與非參數(shù)部分，其中非參數(shù)部分為高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，因而 Kriging模型一般由兩部分組成，即多項式與隨機(jī)分布，即

(1)

fT(x)β=β1f1(x)+β2f2(x)+…βmfm(x)=

[f1(x)…fm(x)]β

(2)

式中：β為回歸系數(shù)；f(x)為變量x多項式函數(shù)；m為fi(x)數(shù)目。

在設(shè)計空間中f(x)提供模擬的全局近似，而Z(x)提供模擬的局部近似。Z(x)為均值為零協(xié)方差非零的高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，服從正態(tài)分布N(0,σ2)，Z(x)協(xié)方差矩陣為

(3)

式中：R(θ,xi,xj)為樣本點中任意兩樣本點xi，xj空間相關(guān)函數(shù)，對模擬精度起決定性作用；θ為相關(guān)函數(shù)參數(shù)；n為試驗點數(shù)。

Y={y1(x),y2(x),…,yn(x)}

(4)

據(jù)輸出函數(shù)，未知參數(shù)β，σ2可估計為

(5)

(6)

式中：F為含每個試驗點f(x)估值向量；R為每個試驗點相關(guān)函數(shù)矩陣:

(7)

(8)

本文用遺傳算法求解最優(yōu)θ。獲得θ后，響應(yīng)最佳線性無偏預(yù)測可寫為

(9)

(10)

式中：rT(x)為每個試驗點與待測點間相關(guān)函數(shù)向量，表示為

rT(x)={R(x,x1),…,R(x,xn)}

(11)

(12)

相關(guān)函數(shù)模型核函數(shù)選擇取決于使用者，本文亦采用計算效果較好的高斯函數(shù)作為相關(guān)模型核函數(shù)

(13)

3 算例

3.1 算例1

用Kriging模型方法對文獻(xiàn)[17]中平面桁架進(jìn)行有限元模型修正工作。結(jié)構(gòu)形式見圖1，各桿件均為內(nèi)徑5.4 cm、外徑8.5 cm圓鋼管。設(shè)初始彈性模量E= 2.1E11 Pa，初始密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比0.3。

圖1 桁架平面圖(單位cm)

桁架模型優(yōu)化結(jié)果[17]與本文Kriging模型方法模型優(yōu)化結(jié)果見表1。以材料彈性模量與密度為設(shè)計參數(shù)。設(shè)結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)為X～N(μ,σ)的正態(tài)分布，μ為各設(shè)計參數(shù)初值，σ=μα為變量標(biāo)準(zhǔn)差，α為設(shè)計參數(shù)變異系數(shù)，本例兩設(shè)計參數(shù)變異系數(shù)均取5%。將100組設(shè)計變量代入Ansys有限元模型，獲得100組有限元分析結(jié)果。用前2階頻率為訓(xùn)練樣本，訓(xùn)練樣本數(shù)為100。獲得模型優(yōu)化結(jié)果(表1)及優(yōu)化后設(shè)計參數(shù)為彈性模量E=1.92E 11 Pa，密度ρ=8 024.1 kg/m3。由表1看出，Kriging模型對前3階頻率優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于遺傳算法[17]，且前6階優(yōu)化結(jié)果誤差均在2%以內(nèi)。Kriging模型優(yōu)化方法計算精度較高。

表1 桁架模型優(yōu)化結(jié)果對比 (單位:Hz)

3.2 算例2

本文對一座大跨度鋼管混凝土連續(xù)梁拱組合體系橋-杜坑特大橋進(jìn)行有限元模型修正。該橋跨徑58.4 m+ 128 m+58.4 m，橋型見圖2。主梁為預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)。拱肋為鋼管砼結(jié)構(gòu)，采用等高度啞鈴形截面，截面高度2.8 m，拱肋弦桿及綴板內(nèi)填充微膨脹混凝土。拱肋計算跨徑l=128.0 m，設(shè)計矢高f=25.6 m。全橋共14對吊桿，每根吊桿為雙吊索形式，吊桿統(tǒng)一直徑為Φ=85 mm。

圖2 杜坑特大橋立面布置圖(單位:cm)

圖3 現(xiàn)場測試測點布置圖

對該橋施工完成后、通車前進(jìn)行模態(tài)測試。對主梁與拱肋分別進(jìn)行測試。為獲得主梁豎向、橫向模態(tài)特性，在主跨上下游每根吊桿處布置豎向測點，全橋共28個測點，進(jìn)行7組測試；橫向測點只布置在下游吊桿處，計7個測點，分3組測試。拱肋模態(tài)測試測點布置在上下游橫撐位置，每處測點均布置橫向、豎向傳感器，測試分7組進(jìn)行，各16測點。測點布置見圖3?，F(xiàn)場拱肋實際布點見圖4。用大型通用有限元軟件Ansys建立該橋空間桿系模型見圖5。主梁用可模擬變截面Beam44單元；拱肋用適于聯(lián)合截面的Beam189進(jìn)行模擬；吊桿為只受拉Link10單元；拱肋橫撐與主拱及吊桿與主梁以剛臂單元連接。模型修正參數(shù)設(shè)為：拱肋混凝土彈模Ec1，密度ρc1；拱肋鋼管彈模Es1，密度ρs1；吊桿彈模Es2，密度ρs2；主梁混凝土彈模Ec2，密度ρc2；風(fēng)撐剛臂彈模Eg1，吊桿剛臂彈模Eg2及二期恒載F。

圖4 測點現(xiàn)場布置圖

圖5 結(jié)構(gòu)有限元模型

用多參考點穩(wěn)定圖算法(M-NExT/ERA)[32]對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別，獲得結(jié)構(gòu)振型及頻率，并與未修正有限元分析結(jié)果對比，見表2。按設(shè)計圖紙結(jié)構(gòu)參數(shù)建立有限元模型，獲得未修正結(jié)果各階頻率與振型。計算結(jié)果與實測結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)場實測前17階結(jié)構(gòu)模態(tài)并非有限元分析模型前17階模態(tài)，而取有限元前25階結(jié)果與實測結(jié)果進(jìn)行振型與頻率匹配方可獲得17階與實測模態(tài)相匹配的頻率與振型(表2)。分析實測與有限元結(jié)果發(fā)現(xiàn)，未修正有限元模型17階頻率中有11階誤差超過10%，有限元模型與實際結(jié)構(gòu)存在較大差異。表2中粗體為誤差超10%頻率。為說明修正模型與測試振型的關(guān)聯(lián)度，計算測試振型與分析振型的MAC值。篇幅所限，僅給出拱肋1階對稱橫彎、主梁1階反對稱橫彎、主梁+拱肋1階反對稱豎彎與拱肋1階扭轉(zhuǎn)振型MAC值見表3。由表3看出，除拱肋1階反對稱豎彎外，其它振型MAC值均在0.95以上，說明分析振型與測試振型關(guān)聯(lián)度較高，分析模態(tài)與測試模態(tài)匹配合理。

表2 實測結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比 (單位: Hz)

表3 各模型修正方法振型MAC值

3.2.1 有限元模型修正過程

Kriging模型為基于小樣本統(tǒng)計學(xué)習(xí)與預(yù)測的學(xué)習(xí)理論，被視為最優(yōu)線性無偏估計，可在不影響結(jié)果精度前提下減少計算分析次數(shù)，提高計算效率。設(shè)結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)為X～N(μ,σ)的正態(tài)分布，μ為各參數(shù)設(shè)計值，σ=μα為變量標(biāo)準(zhǔn)差，α為參數(shù)變異系數(shù)。取100組設(shè)計變量代入Ansys有限元模型，獲得100組有限元分析結(jié)果。分別取拱肋橫向振型對應(yīng)頻率、主梁拱肋豎向振型對應(yīng)頻率、主梁橫向振型對應(yīng)頻率及拱肋扭轉(zhuǎn)振型對應(yīng)頻率前2、3階頻率為訓(xùn)練樣本，訓(xùn)練樣本數(shù)100。以所得4組修正設(shè)計參數(shù)為基礎(chǔ)，按修正結(jié)果精度賦予相應(yīng)權(quán)值進(jìn)行再次修正得最終修正結(jié)果。權(quán)值系數(shù)取和為1的隨機(jī)數(shù)，并照精度順序分配。修正后頻率結(jié)果見表2，設(shè)計參數(shù)見表4。

用GA算法時，設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)為X～U(M(1-α)，M(1+α))的均勻分布，M為各參數(shù)設(shè)計值，α為各設(shè)計參數(shù)變異系數(shù)。建立Ansys與Matlab接口，GA算法在指定變量范圍內(nèi)生成設(shè)計參數(shù)，代入Ansys有限元模型計算獲得結(jié)構(gòu)頻率與振型 (分析計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)設(shè)計參數(shù)變化時結(jié)構(gòu)振型階次隨之改變，需按Modal Assurance Criterion(MAC)方法[33]進(jìn)行振型匹配以獲得對應(yīng)頻率)。將實測頻率與分析頻率誤差2范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，并映射為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)。經(jīng)40次迭代計算可得較理想結(jié)果。修正后頻率結(jié)果見表2，修正后設(shè)計參數(shù)見表4。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化初始權(quán)值與閾值矩陣對網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練影響較大，故用GA算法對初始權(quán)值與閾值矩陣進(jìn)行優(yōu)化以改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量。分析流程同Kriging模型，取300組設(shè)計變量，代入Ansys有限元模型，得300組有限元分析結(jié)果。一般情況下，訓(xùn)練樣本數(shù)為連接權(quán)數(shù)的2～10倍為佳；為減少網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間，分別取拱肋橫向振型對應(yīng)頻率、主梁拱肋豎向振型對應(yīng)頻率、主梁橫向振型對應(yīng)頻率及拱肋扭轉(zhuǎn)振型對應(yīng)頻率前2、 3階頻率作為網(wǎng)絡(luò)輸入，設(shè)計參數(shù)為網(wǎng)絡(luò)輸出，以降低對訓(xùn)練樣本總量要求。訓(xùn)練樣本取270，測試樣本取30。以所得4組修正設(shè)計參數(shù)為基礎(chǔ)，按修正結(jié)果精度賦予相應(yīng)權(quán)值進(jìn)行二次修正，獲得最終修正結(jié)果。權(quán)值系數(shù)取和為1的隨機(jī)數(shù)，并按精度順序分配。修正后頻率結(jié)果見表2，修正后設(shè)計參數(shù)見表4。

3.2.2 結(jié)果比較與分析

表4為Kriging模型二次修正、GA算法及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法二次修正所得頻率對比與修正后設(shè)計參數(shù)。表5為各模型修正方法誤差范數(shù)比較。

表4 有限元模型設(shè)計參數(shù)修正結(jié)果

由表5看出，Kriging模型方法修正結(jié)果與各訓(xùn)練樣本頻率對應(yīng)的修正模型頻率誤差最小，非對應(yīng)修正模型頻率精度略有不足。Kriging模型方法誤差范數(shù)介于GA算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法之間，但修正后模型誤差均在10%以下，且計算效率最高，耗時最少：對杜坑特大橋模型修正過程而言，Kriging模型方法計算時間約為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的0.7倍，約為GA算法計算時間的0.2倍?；贙riging模型的有限元模型修正能降低對樣本數(shù)量依賴，可在滿足計算精度的同時提高計算效率。GA算法修正后結(jié)果顯示，僅有1階頻率誤差超10%，修正結(jié)果得到較大程度改善，其誤差2范數(shù)最小。僅定義足夠多種群與遺傳代數(shù)，遺傳算法便能獲得更高精度結(jié)果，但耗時會更長。分析BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法修正結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取主梁、拱肋豎向振型對應(yīng)頻率為訓(xùn)練樣本時所得修正模型誤差2范數(shù)最小，而以主拱橫向振型對應(yīng)頻率為訓(xùn)練樣本的修正結(jié)果效果最差。與各訓(xùn)練樣本頻率對應(yīng)的修正模型頻率誤差最小，非對應(yīng)修正模型頻率誤差相對較大。相比GA算法與Kriging模型方法，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法計算精度最低，有3階修正模態(tài)頻率誤差超10%，耗時介于GA算法與Kriging模型方法之間。

3.2.3 模型修正評價

評價模型修正方法及模型修正效果準(zhǔn)則[34]為：

(1) 修正后有限元模型須能以一定精度預(yù)測有效頻率范圍內(nèi)試驗?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)或頻響函數(shù)。有效頻率范圍即參與有限元模型修正的頻率范圍；

(2) 修正后有限元模型須能預(yù)測有效頻率范圍之外的特征頻率及振型；

(3) 修正后有限元模型須能獲得其它除使用荷載工況外的頻響函數(shù)；

(4)修正后有限元模型須能預(yù)測結(jié)果局部修改后模態(tài)數(shù)據(jù)或頻響函數(shù)。局部修改可以是局部增加質(zhì)量或改變邊界條件而不涉及模型重新修正。

分析結(jié)果證明，本文三種方法模型修正結(jié)果均能滿足準(zhǔn)則1、2要求；準(zhǔn)則3、4則需進(jìn)一步實驗及模型分析驗證，此處暫不作討論。

表5 各模型修正方法范數(shù)比較

圖6 模型修正結(jié)果45°線匹配圖

分別將試驗結(jié)果與有限元計算結(jié)果作為橫、縱坐標(biāo)并示出匹配后各階模態(tài)頻率。若計算與試驗結(jié)果吻合較好，則所有點應(yīng)落在45°線上，否則說明模型誤差較大[35]。以此繪頻率匹配圖。未修正、Kriging模型修正、GA方法修正及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正結(jié)果見圖6。分析圖6(a)、(b)，各修正方法所得頻率未全部精確落在45°線上。整體而言，Kriging模型所得45°線匹配圖各頻率點分布更集中，較靠近45°線；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所得頻率點分布較分散。將GA算法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法與Kriging模型方法二次修正所得結(jié)果集中于圖6(c)的45°線匹配圖中發(fā)現(xiàn)，所得曲線基本吻合，說明三種方法模型修正結(jié)果基本一致，亦即各修正模型均能反映結(jié)構(gòu)的真實狀況。

4 結(jié) 論

本文通過所提基于Kriging模型的有限元模型修正方法與GA算法及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法比較，并實例研究連續(xù)梁拱橋模型修正，結(jié)論如下：

(1) 模型修正結(jié)果精度依賴于實際測量結(jié)果精度，并與所用模型修正方法關(guān)系較大。

(2) 基于Kriging模型的有限元模型修正只要一定測量頻率信息即可獲得較高精度的修正模型，并能準(zhǔn)確預(yù)測有效頻率范圍外結(jié)構(gòu)模態(tài)特性。實際應(yīng)用中可針對不同類型振型對應(yīng)頻率分別進(jìn)行模型修正，并據(jù)修正結(jié)果進(jìn)行二次修正獲得更高精度修正模型。

(3) Kriging模型修正結(jié)果精度較高，且只需較少訓(xùn)練樣本即可達(dá)到較高精度，耗時較少；GA算法修正模型精度最高，但需對有限元模型迭代求解修正，計算量較大，耗時最多；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算精度較低，且需較多訓(xùn)練樣本，訓(xùn)練樣本不足時模型修正結(jié)果精度低。

(4) 不考慮計算效率前提下，三種模型修正方法能獲得較一致修正結(jié)果，表明三種方法均能用于此類復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型修正，并均具有較高計算精度。

[1] Mottershead J E, Friswell M I.Model updating in structural dynamics: a survey[J].Journal of Sound and Vibration, 1993, 167 (2): 347-375.

[2] Berman A, Flannelly W G.Theory of incomplete models of dynamic structures[J].AIAA, 1971, 9 (8): 1481-1487.

[3] Kabe A M.Stiffness matrix adjustment using mode data[J].AIAA, 1985, 23 (9): 1431-1436.

[4] 向錦武,周傳榮,張阿周.基于建模誤差位置識別的有限元模型修正方法[J].振動工程學(xué)報, 1997, 10 (1): 1-7.

XIANG Jin-wu, ZHOU Chuan-rong, ZHANG A-zhou.Modification of finite element model based on identified error locations[J].Journal of Vibration Engineering,1997,10 (1):1-7.

[5] Foster C D, Mottershead J E.Method for improving finite element models by using experimental data.Application and implications for vibration monitoring[J].International Journal of Mechanical Science, 1990, 32 (3): 191-203.

[6] Ting T.Design sensitivity analysis of structural frequency response[J].AIAA,Journal, 1993, 31(10): 1965-1967.

[7] Kye S W, Lin R M.Frequency selection method for FRF-based model updating[J].Journal of Sound and Vibration, 2004, 278 (1): 285-306.

[8] 李偉明, 洪嘉振.基于頻響函數(shù)的模型修正方法[J].上海交通大學(xué)學(xué)報, 2011, 45 (10): 1455-1459.

LI Wei-ming, HONG Jia-zhen.Research on model updating method based on frequency response functions[J].Journal of Shanghai Jiaotong University, 2011, 45 (10): 1455-1459.

[9] Kirkpatric S, Gelatt C D, Vecchim P.Optimization by simulated annealing[J].Science,1983, 220 (4598): 671-680.

[10] Levin R I, Lieven N A J.Dynamic finite element model updating using simulated annealing and genetic algorithms[J].Mechanical Systems & Signal Processing,1998,12(1):91-120.

[11] Ziaei R S, Ewins D J.Finite element model updating of rotating structures using adaptive simulated annealing[C].// Proceedings of the 2002 International Conference on Noise and Vibration Engineering, 2002: 2281-2284.

[12] Atalla M J, Inman D J.On model updating using neural networks[J].Mechanical Systems & Signal Processing, 1998, 12 (1): 135-161.

[13] Levin R I, Lieven N A J.Dynamic finite element model updating using neural networks[J].Journal of Sound and Vibration, 1998, 210 (5): 593-607.

[14] Levin R I, Lieven N A J, Lowenbrug M H.Measuring and improving neural network generalization for model updating[J].Journal of Sound and Vibration, 2000, 238 (3): 401-424.

[15] Levin R I, Lieven N A J.Dynamic finite element model updating using simulated annealing and genetic algorithms[J].Journal of Sound and Vibration, 1998,12 (1): 91-120.

[16] 段雪平, 朱宏平.基于遺傳算法的結(jié)構(gòu)破損參數(shù)檢測[J].工程力學(xué), 2001 (A3): 422-426.

DUAN Xue-ping, ZHU Hong-ping.Structural damage parameters detection based on genetic algorithm[J].Engineering Mechanics, 2001(A3): 422-426.

[17] 閆桂榮, 段忠東, 歐進(jìn)萍.遺傳算法在結(jié)構(gòu)有限元模型修正中的應(yīng)用[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2007,39 (2):181-186.

YAN Gui-rong,DUAN Zhong-dong, OU Jin-ping.Application of genetic algorithm on structural finite element model updating[J].Journal of Harbin Institute of Technology,2007, 39(2): 181-186.

[18] Brownjohn J M W, Lee J, Cheong B.Dynamic performance of a curved cable-stayed bridge[J].Engineering Structure, 1999, 21 (11): 1015-1027.

[19] 范立礎(chǔ), 袁萬城, 張啟偉.懸索橋結(jié)構(gòu)基于敏感性分析的動力有限元模型修正[J].土木工程學(xué)報, 2000, 33 (1): 9-14.

FAN Li-chu, YUAN Wan-cheng, ZHANG Qi-wei.Sensitivity-based FE model updating of a suspension bridge[J].China Civil Engineering Journal, 2000, 33 (1): 9-14.

[20] 張啟偉.基于環(huán)境振動測量值的懸索橋結(jié)構(gòu)動力模型修正[J].振動工程學(xué)報, 2002, 15 (1): 74-78.

ZHANG Qi-wei.Model updating of a suspension bridge using ambient vibration measurements[J].Journal of Vibration Engineering, 2002, 15 (1): 74-78.

[21] Hua H X, Sol H.On a statistical optimization method used in finite element model updating[J].Journal of Sound and Vibration, 2000, 231 (4): 1071-1078.

[22] Yuen K V, Lambros S, Katafygiotis B.Bayesian time-domain approach for modal updating using ambient data[J].Probabilistic Engineering Mechanics, 2001, 16 (3): 219-391.

[23] Wu J R, Li Q S.Finite element model updating for a high-rise structure based on ambient vibration measurements[J].Engineering Structures, 2004, 26 (7):979-990.

[24] 費慶國,張令彌,李愛群,等.基于統(tǒng)計分析技術(shù)的有限元模型修正研究[J].振動與沖擊, 2005, 24 (3): 23-26.

FEI Qing-guo, ZHANG Ling-mi, LI Ai-quan, et al.Finite element model updating using statistics analysis[J].Journal of Vibration and Shock, 2005, 24 (3): 23-26.

[25] 韓芳, 鐘冬望, 汪君.基于貝葉斯法的復(fù)雜有限元模型修正研究[J].振動與沖擊, 2012, 31 (1): 39-43.

HAN Fang, ZHONG Dong-wang, WANG Jun.Complicated finite element model updating based on Bayesian method[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31 (1): 39-43.

[26] Linda M, Tshilidzi M, Michale I F,et al.Model selection in finite element model updating using the bayesian evidence statistic[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(7): 2399-2412.

[27] Jing D, Li X, Lei C, et al.Development and industrial application of soft sensors with online Bayesian model updating strategy[J].Journal of Process Control, 2013, 23(3): 317-325.

[28] Wackernagel H.Multivariate geo-statistics[M].Heidelberg: Springer-Verlag, 1995.

[29] Sacks J, Schiller S B, Welch W J.Designs for computer experiments[J].Technometrics, 1989, 31 (1): 41-47.

[30] Romero V J, Swiler L P, Giunta A A.Construction of response surfaces based on progressive-lattice-sampling experimental designs with application to uncertainty propagation[J].Structural Safety, 2004, 26 (2): 201-219.

[31] 賈布裕.組合梁斜拉橋的可靠度分析[D].廣州:華南理工大學(xué), 2011.

[32] 葉錫鈞.基于環(huán)境激勵的大型土木結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別研究[D].廣州:華南理工大學(xué), 2012.

[33] Thomas G C, Clark R D．A modal test design strategy for model correlation[C].//Proc 13th International Modal Analysis Conference, New York：Union College, Schenectady, 1995: 927-933．

[34] Link M, Friswell M I.Working group 1: generation of validated structural dynamic models-results of a benchmark study utilizing the GARTEUR SM-AG19 test-bed[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2003, 17 (1): 9-20.

[35] Ewins D J.Model validation: correlation for model updating[J].Sadhana, 2000, 25 (3): 221-234.