靳紅玲，陳建軍，趙 寬，曹鴻鈞

(西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071)

隨含柔性構(gòu)件的機(jī)械裝置向高速、輕質(zhì)、高精度方向發(fā)展，柔性體大范圍剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形耦合作用不可忽視。Kane等[1]認(rèn)為懸臂梁作高速旋轉(zhuǎn)時(shí)橫向振動(dòng)較穩(wěn)定，與零次近似模型發(fā)散結(jié)論相反，并首次提出動(dòng)力剛化概念。文獻(xiàn)[2-7]對(duì)動(dòng)力剛化進(jìn)行研究，提出以計(jì)入橫向彎曲引起縱向縮短的二階耦合變形量為主要方法的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模法。此動(dòng)力學(xué)方程在結(jié)構(gòu)上均較零次耦合模型增加由二階耦合變形量引入關(guān)于廣義坐標(biāo)的一階或高階量，若保留一階量忽略更高階量，模型即為一次近似耦合模型。理論分析及實(shí)驗(yàn)已證明一次近似耦合模型在小變形下的合理性及正確性。

傳統(tǒng)柔體動(dòng)力學(xué)研究中認(rèn)為研究對(duì)象所有物理參數(shù)均為確定的、或可精確測(cè)量的；但實(shí)際中因設(shè)計(jì)公差、制造誤差及環(huán)境溫度等多種隨機(jī)因素的存在，使基于確定性參數(shù)的動(dòng)力學(xué)建模及分析結(jié)果不能真實(shí)描述實(shí)際柔體的動(dòng)力學(xué)行為。因此，研究不確定性參數(shù)柔體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題具有重要理論與實(shí)際工程意義。關(guān)于不確定性參數(shù)的柔體動(dòng)力學(xué)研究鮮有報(bào)道。文獻(xiàn)[8]對(duì)計(jì)及參數(shù)不確定性柔性空間曲線梁的動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行研究，并利用蒙特卡洛模擬法(Monte Carlo simulation, MCS)求解；但該法需樣本量大、效率較低。多項(xiàng)式混沌(Polynomial Chaos，PC)方法用于具有不確定性參數(shù)的流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)及車輛動(dòng)力學(xué)等分析中[9-11]，該方法與MCS法相比，在保證計(jì)算精度前提下可減少模擬次數(shù)、提高計(jì)算效率。

本文在一次近似耦合模型[4]基礎(chǔ)上利用多項(xiàng)式混沌結(jié)合高效回歸法，對(duì)含隨機(jī)參數(shù)空間柔性梁的動(dòng)力響應(yīng)求解問(wèn)題進(jìn)行研究，并以空間自旋柔性梁為對(duì)象，分析其各參數(shù)隨機(jī)性對(duì)動(dòng)力響應(yīng)影響。

1 多項(xiàng)式混沌

考慮在概率空間充分光滑模型

Y=u(x)

(1)

式中：u(x)為通常不能顯式表示、但可通過(guò)數(shù)值模擬等方法輸出的響應(yīng)量。

為求解Y的統(tǒng)計(jì)特性，較有效方法為尋找代理模型以減少計(jì)算時(shí)間。PC即為理想模型[12]：

(2)

式中：n為隨機(jī)變量個(gè)數(shù)；y=[y0,y1,…,yn,y11,…,ynn,…]為待定系數(shù)矢量；ξ=(ξ1,…,ξn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量矢量，Γd(ξi1,…,ξid)為d階Hermite多項(xiàng)式：

Γd(ξi1,…,ξid)=

(3)

數(shù)值計(jì)算只能取有限項(xiàng)近似表示輸出響應(yīng)量。精度達(dá)p階的PC可簡(jiǎn)化為

(4)

式中：N為多項(xiàng)式混沌展開(kāi)式所含待定系數(shù)個(gè)數(shù)：

(5)

〈Hi,Hj〉=∫Rnω(ξ)Hi(ξ)Hj(ξ)dξ?δij

(6)

式中：δij為Kronecker張量；ω(ξ)為權(quán)函數(shù)，表達(dá)式為

(7)

研究顯示[13]，混沌展開(kāi)的階數(shù)越高，作為替代模型的PC將越接近原模型，但求解系數(shù)所需方程個(gè)數(shù)會(huì)隨之快速增加，計(jì)算成本顯著增加。通常取2階PC即可獲得對(duì)Y較理想近似，當(dāng)2階PC不能滿足精度要求時(shí)才考慮更高階的混沌展開(kāi)。

英、漢語(yǔ)言富具文化意象。這些意象有時(shí)通用，有時(shí)卻只是英、漢語(yǔ)言各自獨(dú)有。如何翻譯這些富含語(yǔ)言、文化特色的意象，譯者翻譯的主觀能動(dòng)性至關(guān)重要。是盡量保留這些意象，還是轉(zhuǎn)換意象，或者干脆舍棄意象，翻譯的目的決定原文信息在譯文中要不要體現(xiàn)，或者以何種方式體現(xiàn)。試看一例：

2 隨機(jī)參數(shù)柔性梁動(dòng)力學(xué)模型建立

柔性體動(dòng)力學(xué)分析中出現(xiàn)多種描述動(dòng)力學(xué)方程形式。本文采用空間柔性梁彈性動(dòng)力學(xué)微分方程[4]為

(8)

式中：M,C,K,F分別為質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣及力矩陣，表達(dá)式分別為

(9)

(10)

(12)

式中：各參數(shù)具體含義見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

(13)

按式(4)分別對(duì)輸入隨機(jī)變量xj、輸出隨機(jī)變量qi、ui進(jìn)行多項(xiàng)式混沌展開(kāi)：

(14)

(15)

(16)

式中：s為隨機(jī)解維數(shù)。

將式(14)～式(16)代入式(13)，得

(17)

(18)

式中：H=(H0,…,HN-1)；Q為關(guān)于M,C,K,F的函數(shù)關(guān)系式。

用Galerkin法對(duì)式(18)映射得

(19)

(20)

t時(shí)刻待定系數(shù)可通過(guò)線性回歸法獲得

(21)

(22)

yt確定后即可據(jù)此系數(shù)求解響應(yīng)隨機(jī)變量的數(shù)字特征。

q均值即為隨機(jī)多項(xiàng)式展開(kāi)的0次項(xiàng)[7]：

(23)

q方差表達(dá)式為

(24)

歸納以上求解過(guò)程，給出求解隨機(jī)參數(shù)空間柔性梁動(dòng)力響應(yīng)的流程見(jiàn)圖1，m為時(shí)間節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

圖1 柔性梁變形響應(yīng)數(shù)字特征的求解流程圖

圖2 自旋空間梁

3 算 例

圖2為作大范圍運(yùn)動(dòng)的自旋空間柔性梁，長(zhǎng)L=10 m，橫截面為矩形，一端固結(jié)在旋轉(zhuǎn)的剛性圓柱上，并隨圓柱一同作定軸旋轉(zhuǎn)，忽略梁的軸向變形。圖2中O0-x0y0z0為慣性坐標(biāo)系，Ob-xbybzb為浮動(dòng)坐標(biāo)系。將梁橫截面高度y、寬度z、彈性模量E及體密度ρ均視為相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布的隨機(jī)參數(shù)，其均值分別為μy=μ1=0.10 m，μz=μ2=0.07 m，μE=μ3=7×1010N/m2，μρ=μ4=3×103kg/m3。為便于比較各隨機(jī)參數(shù)取值分散性對(duì)梁動(dòng)力響應(yīng)影響，取所有隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)γall相等，且γall=γy=γz=γE=γρ=0.05。

圖3 梁端點(diǎn)yb方向隨機(jī)響應(yīng)均值及方差

給定梁軸線與角速度夾角α=45°為常數(shù)，梁端直接固結(jié)于Y0軸，即R=0，剛性圓柱角速度規(guī)律為

式中：Ts為達(dá)到恒定轉(zhuǎn)速前加速時(shí)間，取Ts=15 s；Ωs為t>Ts時(shí)恒定轉(zhuǎn)速，取Ωs=3 rad/s。

本文分別采用二、三階多項(xiàng)式混沌結(jié)合高效回歸法求解該空間柔性梁變形響應(yīng)。據(jù)上述求解步驟，通過(guò)Matlab分別模擬30、70次，獲得響應(yīng)均值及方差，并與模擬154次MCS所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。利用PC與MCS方法所得柔性梁自由端b點(diǎn)變形響應(yīng)量yb,zb的均值、方差隨時(shí)間變化曲線見(jiàn)圖3、圖4。

表1 不同隨機(jī)變量對(duì)柔性梁變形響應(yīng)數(shù)字特征影響

圖6 不同隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)響應(yīng)方差

為考察各隨機(jī)參數(shù)分散性對(duì)彈性梁自由端b點(diǎn)變形響應(yīng)影響，給出隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)分別為γall=0.05，γall=0.1時(shí)四隨機(jī)參數(shù)組合的隨機(jī)模型響應(yīng)均值及由一倍均方差σ所得誤差棒見(jiàn)5圖，PC方法在變異系數(shù)γall,γy,γz,γE,γρ分別為0.05時(shí)隨機(jī)模型響應(yīng)方差見(jiàn)圖6，前20 s內(nèi)不同隨機(jī)參數(shù)組合的隨機(jī)模型自由端b點(diǎn)變形響應(yīng)(均值、方差)絕對(duì)值最大值見(jiàn)表1。

由圖3～圖6及表1看出，本文二、三階多項(xiàng)式混沌法模擬自由端位移響應(yīng)均值、方差結(jié)果高度一致，表明二階方法可收斂；本文方法與MCS方法所得響應(yīng)均值、方差結(jié)果較接近說(shuō)明本文方法的正確性及有效性；所有隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)越小，響應(yīng)均方差越小，但響應(yīng)均值基本保持不變；物理參數(shù)E的分散性對(duì)yb及zb兩方向響應(yīng)的分散性影響較大，而ρ的分散性對(duì)yb、zb兩方向響應(yīng)的分散性影響可忽略，幾何參數(shù)y的分散性僅對(duì)彈性梁yb方向響應(yīng)分散性影響較大，參數(shù)z的分散性僅對(duì)zb方向響應(yīng)分散性影響較大。

4 結(jié) 論

本文首次將基于高效回歸法多項(xiàng)式混沌用于含隨機(jī)參數(shù)空間柔性梁動(dòng)力學(xué)問(wèn)題分析中獲得較好效果，結(jié)論如下：

(1) 基于隨機(jī)響應(yīng)面法的多項(xiàng)式混沌可用于含多個(gè)隨機(jī)參數(shù)的柔性體動(dòng)力響應(yīng)分析，與MCS法相比，在隨機(jī)參數(shù)較多時(shí)只需較少次數(shù)分析即可獲得響應(yīng)的主要數(shù)字特征，計(jì)算效率明顯提高。

(2) 各參數(shù)隨機(jī)性對(duì)柔性體動(dòng)力響應(yīng)影響不可忽略，欲增強(qiáng)柔性體動(dòng)力響應(yīng)的平穩(wěn)性，應(yīng)先降低對(duì)柔性體動(dòng)力響應(yīng)影響較大參數(shù)的分散性。

(3) 通過(guò)MCS驗(yàn)證表明，本文所建含隨機(jī)參數(shù)的空間柔性梁動(dòng)力學(xué)模型合理，且能客觀反映實(shí)際工程中剛?cè)狁詈象w動(dòng)力學(xué)行為。

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