牛娟寧,黎奇升
(吉首大學,湖南 吉首 416000)
上連續(xù)完備模格的半單性*
牛娟寧,黎奇升
(吉首大學,湖南 吉首 416000)
對于上連續(xù)完備模格L,證明了L是局部原子格等價于1是原子的并,也等價于1是獨立原子的并,并進一步給出了1可分解為有限個原子并的若干等價條件.
完備格;半單性;獨立子集;緊生成;上連續(xù)
命題1 設(shè)L是上連續(xù)的完備模格,S?L{0},則S是獨立的當且僅當S是弱獨立的.
證明必要性是顯然的,下證充分性.
引理1 設(shè)L為完備模格,S?L{0},則S是弱獨立的當且僅當S的任意子集是弱獨立的.
命題2 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格,?≠S?L{0},則S包含極大弱獨立子集.
命題4 設(shè)L為完備模格,D為L的弱獨立子集,則對任意彼此不同的元素ai,bj∈D(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),有
(1)
證明施數(shù)學歸納法于n.
定義2 設(shè)L為完備格,若1為原子的并,則稱L為半單格.
引理3[3]設(shè)L為上連續(xù)的完備格,則L的原子是緊的.
引理4[3]設(shè)L為模格,a,b∈L,則區(qū)間格[a∧b,a]與區(qū)間格[b,∨b]同構(gòu).
在命題5中令a=0即可得推論2.
推論3 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格,若L為半單格,則L是可補的.
作為直接推論,立得如下結(jié)果:
推論4[3]設(shè)L為上連續(xù)的完備模格,若L為局部原子格,則L是可補的.
定理1 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格,則有:(ⅰ)L是半單的當且僅當L是局部原子格;(ⅱ)若L是半單的,則L是緊生成的.
證明(ⅰ)充分性是顯然的,下證必要性.
(ⅱ)因L是上連續(xù)的,由引理3知每一個原子是緊的,據(jù)(ⅰ)知L是緊生成的.
以下例子說明推論2去掉條件“上連續(xù)”后不再成立,定理1去掉“上連續(xù)”與“模格”2個條件中的一個后不再成立.
例1 設(shè)N為正整數(shù)集,令L=N∪{∞}.對?m,n∈L,定義m≤n當且僅當n=∞,或m,n∈N并且m整除n,則有:(ⅰ)≤是L上的偏序關(guān)系;(ⅱ)L關(guān)于該偏序關(guān)系作成模格且最大元為∞,最小元為整數(shù)1;(ⅲ)L不是上連續(xù)的格;(ⅳ)n是L的原子當且僅當n是素數(shù);(ⅴ)L是半單的但不是局部原子格;(ⅵ)L不是可補的.
例2 設(shè)L={1,2,4,3,12},對?m,n∈L,m≤n當且僅當m整除n,則有:(ⅰ)≤是L上的偏序關(guān)系;(ⅱ)L關(guān)于該偏序關(guān)系作成上連續(xù)的格;(ⅲ)L不是模格;(ⅳ)L是半單的但不是局部原子格.
命題6 設(shè)L為可補的完備模格,0≠a∈L,若a是緊元素的并,則存在原子c0≤a.
設(shè)x∈L,且x 命題6的證明蘊含了如下結(jié)論: 推論5 設(shè)L為可補的完備模格,0≠a∈L為緊元素的并,則區(qū)間格[0,a]有極大元. 定理2 設(shè)L是完備模格,則以下幾條等價:(ⅰ)L是上連續(xù)的半單格;(ⅱ)L是上連續(xù)的且1是獨立原子集的并;(ⅲ)L是上連續(xù)的且L是局部原子格;(ⅳ)L是緊生成且可補的;(ⅴ)L是緊生成的局部原子格. 證明據(jù)推論2知(ⅰ)?(ⅱ).據(jù)定理1有(ⅰ)?(ⅲ),且(ⅲ)?(ⅴ)成立.因緊生成的格是上連續(xù)的,據(jù)命題5知,(ⅴ)?(ⅳ)成立. 命題7 設(shè)L為完備模格,a∈L.(ⅰ)若a是緊的,則a是有限生成的;(ⅱ)若L是上連續(xù)的,a是有限生成的,則a是緊的. (ⅱ)見文獻[6]定理2. 命題8 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格.若L是緊致的和可補的,則L是半單的,且1是有限個獨立原子的并. 定理3 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格,則以下幾條等價:(ⅰ)1是有限個原子的并;(ⅱ)1是有限個獨立原子的并;(ⅲ)L是緊致的并且是可補的;(ⅳ)L是可補的且1是有限生成的;(ⅴ)L是緊致的并且不含真的本質(zhì)元;(ⅵ)L不含真的本質(zhì)元且1是有限生成的;(ⅶ)L每一個非零元是有限個原子的并;(ⅷ)L每一個非零元是有限個獨立原子的并. 證明由推論2知(ⅰ)?(ⅱ)成立.由命題7知(ⅲ)?(ⅳ)與(ⅴ)?(ⅵ).(ⅲ)?(ⅴ)顯然成立. (ⅲ)?(ⅰ).格L為緊致上連續(xù)有補的完備模格,根據(jù)命題8知L是半單的,且1是有限個原子的并. 仿定理1(ⅰ)的證明知(ⅱ)?(ⅷ).?0≠a∈L,應(yīng)用推論2于子格[0,a]可知,(ⅶ)?(ⅷ)成立. 由文獻[3],格L稱為Noether的,如果L的任意非空子集有極大元.不難驗證Noether格是上連續(xù)的且每個元素是有限生成的,于是有下面的推論: 推論6 設(shè)L為Noether完備模格,則以下幾條等價:(ⅰ)1是有限個原子的并;(ⅱ)1是有限個獨立原子的并;(ⅲ)L每一個非零元是有限個原子的并;(ⅳ)L每一個非零元是有限個獨立原子的并;(ⅴ)L是可補的;(ⅵ)L不含真的本質(zhì)元. 注2 因格L具有有限長度當且僅當L既是Neother的又是Artin的,故由推論6可立得文獻[4]的主要結(jié)果. [1] ANDERSON F W,FULLER K R.Rings and Categories of Modules[M].Berlin Heidelberg,New York:Springer Verlag,1974. [2] 劉紹學.環(huán)與代數(shù)[M].北京:科學出版社,1982. [3] BO STENST M.Rings of Quotients[M].Berlin Heidelberg,New York:Springer Verlag,1975. [4] 張 霞,陳裕群.模格與半單代數(shù)[J].華南師范大學學報:自然科學版,2004(2):20-25. [5] GRATZER G.General Lattice Theory[M]//Pure and Applied Math. Series.New York:Academic Press,1978. [6] 庹 清,羅慧明.關(guān)于具有0,1元素的格[J].吉首大學學報:自然科學版,1999,20(1):34-36. (責任編輯 向陽潔) SemisimplicityforUpperContinuousandCompleteModularLattices NIU Juanning,LI Qisheng (College of Mathematics and Statics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China) It is proved that for an upper continuous and complete modular latticeL,Lis locally atomic if and only if 1 is a join of atoms,and if and only if 1 is a join of independent atoms.Moreover,some conditions under which 1 can be expressed as a join of finite atoms are given. complete lattice;semi-simplicity;independent set;compactly generated;upper continuous 1007-2985(2014)05-0013-05 2014-04-15 湖南省研究生創(chuàng)新科研基金資助項目(CX2014B434);吉首大學校級課題資助項目(14JDY049) 牛娟寧(1987—),女,陜西寶雞人,吉首大學基礎(chǔ)數(shù)學專業(yè)碩士研究生,主要從事同調(diào)代數(shù)研究;黎奇升(1964-),男,湖南張家界人,吉首大學教授,博士,主要從事同調(diào)代數(shù)與K-理論研究. O153.1 A 10.3969/j.issn.1007-2985.2014.05.004