李楚玲，許紹元

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東 潮州 521041)

連續(xù)函數(shù)的Altman型不動(dòng)點(diǎn)定理*

李楚玲，許紹元

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東 潮州 521041)

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得到閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)基本不動(dòng)點(diǎn)定理，從而推出連續(xù)函數(shù)的Altman型不動(dòng)點(diǎn)定理.

連續(xù)函數(shù)；不動(dòng)點(diǎn)定理；根的存在性定理

連續(xù)函數(shù)是微積分學(xué)的最基本也是最重要的研究對(duì)象.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理(包括最大最小值定理、介值性定理)以及微分中值定理(包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理)，它們構(gòu)成了微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，也是研究函數(shù)的有力工具，在微積分學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用.

近年來(lái)，人們對(duì)Altman型不動(dòng)點(diǎn)定理的研究產(chǎn)生濃厚的興趣.文獻(xiàn)[1-11]研究了Banach空間中幾類(lèi)非線性算子，借助Leray-Schauder拓?fù)涠壤碚摚玫饺舾葾ltman型不動(dòng)點(diǎn)定理.筆者就連續(xù)函數(shù)的Altman型不動(dòng)點(diǎn)存在的問(wèn)題作進(jìn)一步討論.在此，并不需要深?yuàn)W的拓?fù)涠壤碚?，只需要運(yùn)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理，就可以得到閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一系列新的Altman型不動(dòng)點(diǎn)定理.

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的定義.

定義1[12]設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，即f:[a,b]→R，若存在一點(diǎn)c，使得f(c)=c，則稱(chēng)c是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的不動(dòng)點(diǎn).

圖1 根的存在性定理的幾何意義

下面給出閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理.

定理1[12]若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)x0∈(a,b)，使得f(x0)=0，即方程f(x)=0在(a,b)上至少有1個(gè)根.

圖1描述了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理的幾何意義.

首先利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理，建立閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)基本不動(dòng)點(diǎn)定理，然后在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，得到閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的若干不動(dòng)點(diǎn)定理.

2 主要結(jié)果及證明

首先，給出閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)基本不動(dòng)點(diǎn)定理.

引理1 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，a<0

f(x)≠λx,

(1)

則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

證明由(1)式,當(dāng)x=a時(shí),f(a)≠λa,?λ≥1成立,故f(a)>a,否則f(a)≤a,于是存在λ≥1，使得f(a)=λa，這與f(x)≠λx矛盾.所以f(a)>a，即f(a)-a>0.

當(dāng)x=b時(shí),f(b)≠λb,?λ≥1,b>0成立,故f(b)

圖2 Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的幾何意義

設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-x,x∈[a,b]，因f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，故g(x)也是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且有g(shù)(a)=f(a)-a>0，g(b)=f(b)-b<0，有g(shù)(a)g(b)<0.由根的存在性定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，有g(shù)(ξ)=0，即f(ξ)-ξ=0，故f(ξ)=ξ.所以f(x)在(a,b)上必有不動(dòng)點(diǎn).

圖2表示引理1的幾何意義.它說(shuō)明連續(xù)函數(shù)f(x)的圖像必經(jīng)過(guò)直線y=x，即與直線y=x至少有1個(gè)交點(diǎn).

由引理1可以得到一系列連續(xù)函數(shù)的Altman型不動(dòng)點(diǎn)定理.

定理2 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<0

|f(x)-x|α|x|β≥|f(x)|α|f(x)+x|β-|f(x)|α|x|β?x∈{a,b}

(2)

成立，則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

證明下證f(x)滿(mǎn)足引理1中條件(1).用反證法.若不然，則存在x0∈{a,b}，μ0≥1,使得f(x0)=μ0x0，容易看出μ0>1.考察函數(shù)f(t)=(t-1)α-tα(t+1)β+tα,?t≥1.因f′(t)=α(t-1)α-1-αtα-1(t+1)β+αtα-1-βtα(t+1)β-1<0，故f(t)在[1,∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞減，又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)1成立，注意到|x0|≠0，μ0>1,因此有

|f(x0)+x0|α|x0|β=|x0|β|μ0x0-x0|α=(μ0-1)α|x0|α+β<

|f(x0)|α|x0|β.

這與(2)式矛盾，故由引理1可知定理2結(jié)論成立.證畢.

在定理2的條件中分別取α=β，α=1，立即得到下面2個(gè)推論：

推論1 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<01使得(|f(x)-x||x|)α≥(|f(x)||f(x)+x|)α-(|f(x)||x|)α(?x∈{a,b} )成立，則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

推論2 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<01使得|f(x)-x||x|β≥|f(x)||f(x)+x|β-|f(x)||x|β(?x∈{a,b})成立，則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

定理3 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<01,β≥0使得

|f(x)+x|α+β≤|f(x)|β|f(x)-x|α+|x|α+β?x∈{a,b}

(3)

成立，則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

證明下證f(x)滿(mǎn)足引理1中條件(1).用反證法.若不然，則存在x0∈{a,b}，μ0≥1，使得f(x0)=μ0x0，容易看出μ0>1.考察函數(shù)f(t)=(t+1)α+β-tβ(t-1)α-1,?t≥1.因f′(t)=α((t+1)α+β-1-(t-1)α-1tβ)+β((t+1)α+β-1-tβ-1(t-1)α)>0，故f(t)在[1,∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)>f(1)，即(t+1)α+β>tβ(t-1)α+1對(duì)于?t>1成立,注意到|x0|≠0，μ0>1，因此有

|f(x0)+x0|α+β= |μ0x0+x0|α+β=(μ0+1)α+β|x0|α+β>(μ0β(μ0-1)α+1)|x0|α+β=

|u0x0|β|μ0x0-x0|α+|x0|α+β=

|f(x0)|β|f(x0)-x0|α+|x0|α+β.

這與(3)式矛盾，故由引理1可知定理3結(jié)論成立.證畢.

推論3 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，其中a<01使得|f(x)+x|α≤|f(x)-x|α+|x|α(?x∈{a,b} )成立，則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

推論4 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，其中a<0

定理4 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<0

|f(x)|α|f(x)+x|β≤|f(x)|β|f(x)-x|α?x∈{a,b}

(4)

成立，則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

證明下證f(x)滿(mǎn)足引理1中的條件(1).用反證法.若不然，則存在x0∈{a,b}，μ0≥1，使得f(x0)=μ0x0，容易看出μ0>1.考察函數(shù)f(t)=tα(t+1)β-tβ(t-1)α，?t>1.因f′(t)=α(tα-1(t+1)β-(t-1)α-1tβ)+β(tα(t+1)β-1-tβ-1(t-1)α)>0，故f(t)在[1,∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)>f(1)=2β>0，即ta(t+1)β>tβ(t-1)α對(duì)?t>1成立，注意到|x0|≠0，μ0>1，因此有

|f(x0)|β|f(x0)-x0|α.

這與(4)式矛盾，故由引理1可知定理4結(jié)論成立.證畢.

在定理4的條件中取α=β=1立即得到下面的推論：

推論6 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<0

定理5 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<0

|f(x)-x|α|x|α+β≥|f(x)|α|f(x)+x|α+β-|x|2α+β?x∈{a,b}

(5)

成立，則f(x)在(a,b)上至少有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

證明下證f(x)滿(mǎn)足引理1中條件(1).用反證法.若不然，則存在x0∈{a,b}，μ0≥1，使得f(x0)=μ0x0，容易看出|x0|≠0，μ0>1.考察函數(shù)f(t)=(t-1)α-tα(t+1)α+β+1，?t≥1.因f′(t)=α((t-1)α-1-tα-1(t+1)α+β-tα(t+1)α+β-1)-β(tα(t+1)α+β-1)<0，故f(t)在[1,∞)上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，又當(dāng)t>1時(shí)有f(t)1成立，注意到|x0|≠0，μ0>1，因此有

|f(x0)-x0|α|x0|α+β=|x0|α+β|μ0x0-x0|α=(μ0-1)α|x0|2α+β<

-|x0|α+β=|f(x0)|α|f(x0)+x0|α+β-|x0|2α+β.

這與(5)式矛盾，故由引理1可知定理5結(jié)論成立.證畢.

在定理5的條件中分別取β=0，α=1與β=0，立即得到下面2個(gè)推論：

推論7 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<0

推論8 設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b] 上的連續(xù)函數(shù)，a<0

注1 證明Altman型不動(dòng)點(diǎn)定理所使用的技巧對(duì)于研究Banach空間中非線性算子的Altman型不動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題同樣是適用的.

[1] AGARWAL R P,MEEHAN M,O’ REGAN D.Fixed Point Theory and Application[M].Cambridge:Cambridge University Press and Beijing World Publishing Corporation,2001.

[2] AGARWAL R P,O’REGAN D.A.Note on the Existence of Multiple Fixed Point for Multivalued Maps with Applications[J].J. Diff. Eqns.,2000,160:389-403.

[3] SIMON A,VOLKMANN P.Existence of Ground States with Exponential Decay for Semi-Linear Elliptic Equations inRn[J].J. Diff. Eqns.,1988,76:374-390.

[4] 梁展東.Altman定理的一個(gè)推廣[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1986,9(1):1-3.

[5] 賈慶菊.Altman定理的一個(gè)注記[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1994,17(3):266-268.

[6] 許紹元.Altman定理的推廣與改進(jìn)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1995,19(2):149-152.

[7] 許紹元.P1-緊映象的Altman定理的一個(gè)推廣[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1996,20(1):89-91.

[8] 許紹元.Banach 空間中壓縮映射的新不動(dòng)點(diǎn)定理[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,28(6):1-4.

[9] 郭大鈞,孫經(jīng)先.拓?fù)涠鹊挠?jì)算及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1988,8(3):469-480.

[10] 許紹元,謝顯華.錐殼中嚴(yán)格集壓縮映射的新不動(dòng)點(diǎn)定理[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,24(4):440-443.

[11] 陳繼乾.P1-緊與半緊1-集壓縮映射的Altman定理[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994,11(2):118-122.

[12] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

AltmanTypeFixedPointTheoremsforContinuousFunctions

LI Chuling，XU Shaoyuan

(Department of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University,Chaozhou 521041，Guangdong China)

By means of the properties of continuous functions on closed intervals,a basic fixed point theorem of continuous functions on closed intervals is obtained.By using this basic result,a class of Altman type fixed point theorems of continuous functions is obtained.

continuous functions;fixed point theorem;the existence theorem for roots

1007-2985(2014)05-0006-04

2014-03-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10961003)；韓山師范學(xué)院理科團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(LT201202)

許紹元(1964—)，男，湖北武漢人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系教授，主要從事非線性泛函分析與分形幾何研究；E-mail xushaoyuan@126.com.

O177.91

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.05.002