孟令帥，孫景工，牛 福，任旭東，祁建成

(軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院 衛(wèi)生裝備研究所，天津 300161)

作為一種非線性隔振系統(tǒng)，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)一般通過線性正剛度彈簧并聯(lián)負(fù)剛度機構(gòu)實現(xiàn)。通過正負(fù)剛度并聯(lián)，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)同時具有較高的靜態(tài)剛度和較低的動態(tài)剛度，在隔離低頻和超低頻振動時有很好的隔振性能，一直以來尤其是近年來成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點。Alabuzhev等[1]首先較為全面地闡述了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的理論，并提出了許多設(shè)計方法。Platus[2]采用了在軸向載荷作用下互相鉸接的兩根桿作為負(fù)剛度機構(gòu)，之后張建卓等[3]采用相似的軸向載荷作用下的歐拉壓桿作為負(fù)剛度機構(gòu)，并實驗驗證了其用于精密儀器隔振的可行性。Carrella等[4-6]系統(tǒng)地研究了對稱斜彈簧并聯(lián)垂直彈簧機構(gòu)的靜力學(xué)特性和在平衡位置附近的隔振性能。Thanh等[7]研究了水平彈簧通過連桿并聯(lián)垂直彈簧來獲得靜力平衡位置的準(zhǔn)零剛度，并實驗驗證了其用于汽車座椅隔振的優(yōu)異表現(xiàn)。路純紅等[8]采用了一種新型連桿彈簧機構(gòu)作為負(fù)剛度機構(gòu)，增加了系統(tǒng)的靜態(tài)承載能力。劉興天等[9]研究了采用滑動梁作為負(fù)剛度機構(gòu)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，進一步擴展了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的實現(xiàn)方法。

本文基于正負(fù)剛度并聯(lián)隔振原理，采用碟形彈簧作為負(fù)剛度機構(gòu)與線性正剛度彈簧并聯(lián)，提出了一種新型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)。通過靜力學(xué)特性研究，分析了系統(tǒng)在靜力平衡位置附近的準(zhǔn)零剛度特性；通過動力學(xué)特性研究，建立了系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵下的非線性動力學(xué)方程，應(yīng)用平均法得到系統(tǒng)的力傳遞率和位移傳遞率；并與其等效線性系統(tǒng)進行了比較，分析了系統(tǒng)參數(shù)和激勵幅值對該系統(tǒng)力傳遞率和位移傳遞率的影響。

1 靜力學(xué)特性研究

1.1 碟形彈簧

如圖1所示的碟形彈簧彈性模量為E，泊松比為μ，a，b分別為碟形彈簧的外半徑和內(nèi)半徑，e1，e2分別為支點到軸線的距離，h為碟形彈簧的內(nèi)錐高，δ為碟形彈簧的厚度。在軸向力fd的作用下，其力位移關(guān)系可表示為[10-11]

(1)

圖1 碟形彈簧的結(jié)構(gòu)示意圖

(2)

(3)

1.2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)

將碟形彈簧與剛度為kv的線性正剛度彈簧并聯(lián)，構(gòu)造出一種新型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。在軸向力f的作用下，不考慮質(zhì)量m，該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力位移關(guān)系可表示為

(4)

(5)

圖2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

(6)

圖3 不同剛度比條件下的曲線

(7)

(8)

圖4 不同系統(tǒng)參數(shù)條件下的無量綱剛度位移曲線

2 動力學(xué)特性研究

2.1 動力學(xué)建模

如圖2所示，當(dāng)系統(tǒng)承載質(zhì)量為m的被隔振物體后，剛好在碟形彈簧處于壓平狀態(tài)，即u=0時，達到靜力平衡，且系統(tǒng)在平衡位置的剛度為零。由式(5)和式(8)得

(9)

此時，對被隔振物體施加簡諧力激勵f=f0cos(ωt)或?qū)┘雍喼C位移激勵z=z0cos(ωt)，根據(jù)牛頓第二定律分別得到系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程為

(10a)

(10b)

其中：y=u-z，f1=mg+kvu3/[δ2(α2-2Γ)]，f2=mg+kvy3/[δ2(α2-2Γ)]。

將式(9)帶入式(10)，系統(tǒng)的無量綱運動方程化為

(11a)

(11b)

式(11)可統(tǒng)一化為

(12)

(13a)

(13b)

式(13)右邊可以用外界激勵一個周期內(nèi)的平均值代替，得到

(14a)

(14b)

對式(14)的右邊積分，并令左邊等于零，得到

(15a)

(15b)

兩式平方和得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函數(shù)為

(16)

上式是關(guān)于Ω2的二次項方程，對于系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵條件下，解得

(17)

(18)

當(dāng)系統(tǒng)在簡諧力激勵作用下，傳遞到基座上的無量綱作用力為

(19)

則系統(tǒng)的力傳遞率為

(20)

當(dāng)系統(tǒng)在簡諧位移激勵作用下，被隔振物體的無量綱位移為

(21)

則系統(tǒng)的位移傳遞率為

(22)

系統(tǒng)的最大傳遞率幅值對應(yīng)于系統(tǒng)的最大響應(yīng)幅值，分別令式(17)和式(18)中的兩式相等，得到系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵下的最大響應(yīng)幅值和其對應(yīng)的頻率為

(23a)

(23b)

(24a)

(24b)

將式(23)和式(24)分別代入式(20)和式(22)可以得到系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵下的最大傳遞率幅值。

當(dāng)系統(tǒng)除去負(fù)剛度結(jié)構(gòu)碟形彈簧時，被隔振物體由線性正剛度彈簧獨自承載。該等效線性系統(tǒng)的靜態(tài)位移增加，但其在相同簡諧力激勵作用下的力傳遞率和相同簡諧位移激勵作用下的位移傳遞率不變，均為

(25)

2.2 系統(tǒng)參數(shù)和激勵幅值對傳遞率的影響

根據(jù)2.1節(jié)中的分析，得到系統(tǒng)參數(shù)和激勵幅值對系統(tǒng)的力傳遞率和位移傳遞率的影響如圖5-7所示。

圖5 非線性項對系統(tǒng)傳遞率的影響

如圖5所示，當(dāng)激勵頻率小于系統(tǒng)最大傳遞率幅值對應(yīng)的頻率時，系統(tǒng)的傳遞率幅值大于線性系統(tǒng)；當(dāng)激勵頻率大于系統(tǒng)最大傳遞率幅值對應(yīng)的頻率時，系統(tǒng)的傳遞率幅值小于其等效線性系統(tǒng)；當(dāng)激勵頻率特別大時，系統(tǒng)和其等效線性系統(tǒng)的傳遞率趨于相等。相較于其等效線性系統(tǒng)，該系統(tǒng)的隔振起始頻率低，隔振頻率范圍大。且非線性項越小，系統(tǒng)的隔振起始頻率越低，隔振頻率范圍越大，系統(tǒng)的最大傳遞率幅值越小，對被隔振物體造成的危害越小，隔振性能越好。結(jié)合圖4，可以通過增大α值和減小C值來獲得更小的非線性項，從而使系統(tǒng)具有更好的隔振性能。

如圖6所示，激勵幅值對系統(tǒng)的力傳遞率和位移傳遞率影響與非線性項對系統(tǒng)的影響基本相同。相較于其等效線性系統(tǒng)傳遞率不受激勵幅值的影響，該系統(tǒng)的激勵幅值越小，系統(tǒng)的隔振起始頻率越低，隔振頻率范圍越大，系統(tǒng)的最大傳遞率幅值越小，對被隔振物體造成的危害越小，隔振性能越好。因此，可以通過適當(dāng)?shù)乜刂萍罘祦慝@取系統(tǒng)更好的隔振性能。

如圖7所示，與等效線性系統(tǒng)基本一致，阻尼比越大，該系統(tǒng)在共振頻率附近的傳遞率幅值越小，在高頻時的傳遞率幅值越大，系統(tǒng)的最大傳遞率幅值越小，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸減小，對被隔振物體造成的危害越小。

除此之外，不同于簡諧力激勵下系統(tǒng)的力傳遞率，該系統(tǒng)在受到簡諧位移激勵時，較大的非線性項和激勵幅值或者較小的阻尼比會導(dǎo)致其出現(xiàn)極大的最大位移傳遞率幅值，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的隔振性能。

綜上所述，為了使該隔振系統(tǒng)能隔離超低頻或低頻振動，并具有很好的隔振性能，可以在適當(dāng)?shù)乜刂萍罘档幕A(chǔ)上，通過增大α值和減小C值來減小系統(tǒng)的非線性項或者增大系統(tǒng)的阻尼比。

3 結(jié) 論

本文通過碟形彈簧與線性彈簧并聯(lián)，設(shè)計了一種新型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，并研究了該系統(tǒng)的靜力學(xué)和動力學(xué)特性。通過靜力學(xué)研究，系統(tǒng)在平衡位置可以實現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，并且可以通過增大α值和減小C值來獲取系統(tǒng)在平衡位置附近的較小剛度和較大的較小剛度范圍；通過動力學(xué)分析，分別研究了不同非線性項、激勵幅值和阻尼比對系統(tǒng)力傳遞率和位移傳遞率的影響，并與其等效線性系統(tǒng)進行了比較。研究表明，在適當(dāng)?shù)乜刂萍罘档幕A(chǔ)上，通過增大α值和減小C值來減小系統(tǒng)的非線性項或者增大系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)在隔離超低頻或低頻振動時具有優(yōu)異的隔振性能。

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