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        碟形彈簧內(nèi)錐角的計算

        2023-12-28 16:15:24吳智科
        機械制造 2023年12期

        □ 季 樂 □ 彭 亮 □ 吳智科

        南京三眾彈性技術研究院有限公司 南京 210031

        1 研究背景

        碟形彈簧具有軸向空間緊湊、緩沖能力強的優(yōu)點,在越來越多的領域獲得了應用,在很多地方可以代替螺旋彈簧[1-3]。目前,對碟形彈簧的研究主要集中在力學特性,以及緩沖減振、控制運動的應用上[4-8]。但是,對于碟形彈簧幾何特征中的內(nèi)錐角,精確計算一直未見報道,常見的計算方法均為近似值[9-10]。對此,筆者提出一種計算碟形彈簧內(nèi)錐角的方法。

        2 碟形彈簧幾何尺寸

        給定碟形彈簧的外徑D、內(nèi)徑d、厚度t、高度H0,即可確定碟簧尺寸,如圖1所示。內(nèi)錐角為α。

        圖1 碟形彈簧尺寸

        3 普通碟形彈簧內(nèi)錐角計算

        由圖1可得如下關系:

        (1)

        整理后可得:

        (D-d)/2×sinα-tsin2α=H0cosα-tcos2α

        (2)

        令x=sinα,于是有:

        (3)

        整理后得到:

        (4)

        可見,這是一個一元四次方程,可用牛頓迭代法求解,記:

        y=Ax4+Bx3+Cx2+Ex+F

        (5)

        式中:A、B、C、E、F為對應項的因數(shù)。

        其導函數(shù)為:

        y′=4Ax3+3Bx2+2Cx+E

        (6)

        (7)

        (8)

        一般經(jīng)三次迭代,即可獲得滿意精度,內(nèi)錐角為:

        α=arcsin(x3)

        (9)

        例一:某碟形彈簧的外徑為31.5 mm,內(nèi)徑為16.3 mm,厚度為1.75 mm,高度為2.45 mm,求這一碟形彈簧的內(nèi)錐角。

        初值為:

        進行迭代,見表1。

        表1 例一內(nèi)錐角計算迭代

        則內(nèi)錐角為:

        α=arcsin(x3)=arcsin 0.094 791 72

        =0.094 934 26 rad

        換算成角度制,α為5.439 33°。

        以上計算過程可編輯成Excel表格,省時便捷。

        例二:在AutoCAD軟件中繪制例一所述碟形彈簧的截面。

        由于AutoCAD軟件稍早一些的版本無法自約束尺寸,因此需借助上面計算出的內(nèi)錐角進行繪圖。

        從任一點M引一條角度為5.439 33°的直線MN,往下繪制一條與之平行,且距離為1.75 mm的直線PQ,在上方繪制一條距離點P為2.45 mm的水平線P′N,與直線MN交于點N。繪制直線NQ垂直于直線PQ。刪除多余線段,并制作鏡像,即為所得,如圖2所示。可見,測量的數(shù)據(jù)與碟形彈簧尺寸相同。

        圖2 例一碟形彈簧繪制

        4 帶圓角的計算

        實際生產(chǎn)的碟形彈簧,截面的四個角是圓弧過渡的,圓弧半徑為r,尺寸如圖3所示。

        圖3 帶圓角碟形彈簧尺寸

        考慮截面去除圓角后的中間矩形部分,矩形部分的內(nèi)錐角與原碟形彈簧相同,如圖4所示。由此,只要在式(4)中將D、d、t、H0依次以D-2r、d+2r、t-2r、H0-2r代替即可。

        圖4 中間矩形部分內(nèi)錐角

        5 有支撐面的計算

        有支撐面的碟形彈簧尺寸如圖5所示,b為支撐面寬度,t′為厚度。

        圖5 有支撐面碟形彈簧尺寸

        與無支撐面碟形彈簧類似,由圖5可得如下關系:

        (D/2-d/2-t′sinα-2bcos2α)tanα=

        H0-t′cosα

        (10)

        整理后得:

        (D-d)/2×sinα-t′sin2α-2bsinαcos2α=

        H0cosα-t′cos2α

        (11)

        令x=sinα,可得:

        (D-d)/2×x-t′x2-2bx(1-x2)=

        (12)

        整理得一元六次方程:

        Ax6+Bx5+Cx4+Ex3+Fx2+Gx+H=0

        (13)

        A=4b2

        (14)

        B=-8bt′

        (15)

        C=4t′2+4[(D-d)/2-2b]b

        (16)

        E=4bt′-4[(D-d)/2-2b]t′

        (17)

        (18)

        G=2[(D-d)/2-2b]t′

        (19)

        (20)

        也可用牛頓迭代法計算出帶支撐面碟形彈簧的內(nèi)錐角,記:

        y=Ax6+Bx5+Cx4+Ex3+Fx2+Gx+H

        (21)

        其導函數(shù)為:

        y′=6Ax5+5Bx4+4Cx3+3Ex2+2Fx+G

        (22)

        一般經(jīng)三次迭代,即可獲得滿意精度,內(nèi)錐角為:

        α=arcsin(x3)

        例三:碟形彈簧外徑為250 mm,內(nèi)徑為127 mm,厚度為6.7 mm,高度為14.8 mm,支撐面寬度為1.75 mm,求內(nèi)錐角。

        初值為:

        進行迭代,見表2。

        表2 例三內(nèi)錐角計算迭代

        則內(nèi)錐角為:

        α=arcsin(x3)=arcsin 0.141 543 66

        = 0.142 020 602 rad

        換算成角度制,α為8.137 181°。

        以上計算過程可編輯成Excel表格,省時便捷。

        6 帶圓角有支撐面的計算

        帶圓角有支撐面碟形彈簧的尺寸如圖6所示。

        圖6 帶圓角有支撐面碟形彈簧尺寸

        對此,可將圓角補齊為直角,如圖7所示。

        圖7 圓角補齊

        對內(nèi)外徑進行修正,可得:

        D*=D+2r(sinx0+cosx0-1)

        (23)

        d*=d-2r(sinx0+cosx0-1)

        (24)

        然后在式(16)~式(19)中,用D*、d*代替D、d即可。

        由于D*、d*的計算用的是初值x0,因此最終計算的內(nèi)錐角會有些許誤差。

        7 結束語

        筆者針對普通碟形彈簧、帶圓角碟形彈簧、有支撐面碟形彈簧、帶圓角有支撐面碟形彈簧,分別推導內(nèi)錐角計算式,并給出計算示例與應用,具有參考價值。

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