劉 健，韓邦成，王英廣

(1. 北京航空航天大學(xué) 慣性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；2. 新型慣性儀表與導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

磁軸承(Magnetic Bearing)因具有無機(jī)械磨損、無需潤(rùn)滑、電磁力可控等優(yōu)點(diǎn)[1]被研究、應(yīng)用，磁懸浮電機(jī)即為應(yīng)用范例。隨磁懸浮技術(shù)的日益成熟，磁懸浮電機(jī)廣泛應(yīng)用于如磁懸浮分子泵、空氣壓縮機(jī)等民用產(chǎn)品中。磁懸浮分子泵及空氣壓縮機(jī)等產(chǎn)品性能要求主要?jiǎng)恿Σ考创艖腋‰姍C(jī)須在高轉(zhuǎn)速下才能提升產(chǎn)品性能指標(biāo)。但隨轉(zhuǎn)速的提高，磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子高速時(shí)失穩(wěn)逐漸凸顯。因此，提高其穩(wěn)定性，確保磁懸浮電機(jī)高速時(shí)穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)為須解決的重要問題。磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子高速時(shí)失穩(wěn)的主要表征為轉(zhuǎn)速同頻分量增大及低頻顫振增加，前者可利用動(dòng)平衡技術(shù)解決。確保磁懸浮轉(zhuǎn)子具有較好動(dòng)平衡即高速時(shí)轉(zhuǎn)速同頻分量較小[2-3]情況下，低頻顫振為關(guān)鍵因素，抑制磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)的低頻顫振，可有效提高穩(wěn)定性。

對(duì)扁平轉(zhuǎn)子因陀螺效應(yīng)引起的低頻顫振，磁懸浮陀螺與磁懸浮飛輪已有研究[4-5]，并提出有效解決方法；磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子細(xì)長(zhǎng)，陀螺效應(yīng)影響可忽略，但磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振仍劇烈，目前對(duì)其研究較少。而用先進(jìn)控制算法提高磁懸浮轉(zhuǎn)子高速的穩(wěn)定性[6-7]，抑制低頻顫振，且先進(jìn)控制算法運(yùn)算復(fù)雜，加之控制器性能限制，此方法不但未能有效抑制低頻顫振，反會(huì)使系統(tǒng)相位滯后更大，加劇不穩(wěn)定。Jugo等[8-9]利用頻域模型對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子高速穩(wěn)定性進(jìn)行研究，認(rèn)為磁軸承非線性力造成磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振的增大，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。但該研究?jī)H限于理論分析，未提出有效解決方案。

本文通過100 kW高速磁懸浮電機(jī)分析、實(shí)驗(yàn)，證明較大控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)可致功放系統(tǒng)相位滯后加劇，高頻輸出電流跟蹤能力減弱，造成磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振增大。該電機(jī)以24 000 r/min轉(zhuǎn)速運(yùn)行時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，消除控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)可有效抑制磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振、提高穩(wěn)定性。

1 控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)影響分析

1.1 控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)建模

圖1 控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)模型

圖1為控制系統(tǒng)內(nèi)部DSP端與FPGA端對(duì)應(yīng)關(guān)系，磁軸承控制系統(tǒng)中DSP計(jì)算的控制量時(shí)刻與FPGA更新控制量時(shí)刻不同步造成控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)。DSP由AD采樣始，至PID算法計(jì)算出控制量，所需時(shí)間Tcal稱運(yùn)算時(shí)間[10]，引入延時(shí)

Gcal(s)=e-sTcal

(1)

在DSP的PID運(yùn)算中，亦運(yùn)行FPGA，但因第一周期FPGA內(nèi)周期值與控制量值均為0，故FPGA端處于空閑狀態(tài)，空閑時(shí)間為Ti，引入延時(shí)：

Gi(s)=e-sTi

(2)

DSP的AD運(yùn)算與FPGA空閑時(shí)段同時(shí)進(jìn)行，因FPGA運(yùn)行時(shí)刻滯后于DSP的AD啟動(dòng)時(shí)刻，對(duì)整個(gè)控制系統(tǒng)而言，此時(shí)段引入的延時(shí)與運(yùn)算延時(shí)相同，均為Tcal。DSP中PID運(yùn)算完成后，啟動(dòng)周期值與控制量傳送，周期值早于控制量值一個(gè)指令傳送，兩者傳送時(shí)間間隔為Ts，引入延時(shí)為

Gs(s)=e-sTs

(3)

因此，理論上控制系統(tǒng)總延時(shí)時(shí)間為Tcal+Ts。 引入總延時(shí)：

Gdel(s)=Gcal(s)Gs(s)

(4)

實(shí)際中FPGA接收到DSP傳送的周期值后即開始PWM生成周期，Ts時(shí)段后接收的控制量值并未更新當(dāng)前時(shí)刻，而等本次周期結(jié)束后下周期開始前更新?？刂屏扛聲r(shí)刻滯后于控制量計(jì)算時(shí)刻一個(gè)PWM周期。設(shè)PWM周期時(shí)間為Td，則此段延時(shí)時(shí)間為

Gd(s)=e-sTd

(5)

實(shí)際運(yùn)行時(shí)控制系統(tǒng)總延時(shí)時(shí)間為Tcal+Td?？偪刂葡到y(tǒng)延時(shí)為

Gdel(s)=Gcal(s)Gd(s)

(6)

由于控制量更新時(shí)刻滯后計(jì)算時(shí)刻，實(shí)際控制系統(tǒng)延時(shí)較理論延時(shí)多Td-Ts。相對(duì)50 μs的PWM周期時(shí)間，指令間隔時(shí)間Ts可忽略不計(jì)，故控制系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行時(shí)引入的計(jì)算延時(shí)較理論值多50 μs，此延時(shí)作用于功放環(huán)節(jié)會(huì)使功放電流高速時(shí)相位滯后加劇，功放電流高頻跟蹤能力減弱，磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振劇烈。

1.2 考慮計(jì)算延時(shí)的功放系統(tǒng)建模

圖2 功放系統(tǒng)線性模型

磁軸承功放參數(shù)輸入由磁軸承控制器給出，輸出則為流過磁軸承線圈的電流，一般等效為線性模型，見圖2。由該模型可獲得閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(7)

式中：L，R分別為磁軸承線圈電感、電阻；ka,kf分別為功放開環(huán)放大倍數(shù)、電流反饋系數(shù)。

令s=jω，則式(7)可寫為

(8)

由式(8)，功放相位滯后φamp為

(9)

實(shí)際運(yùn)行時(shí)控制系統(tǒng)存在計(jì)算延時(shí)，其計(jì)算延時(shí)作用于功放環(huán)節(jié)，致實(shí)際功放模型與理論模型稍有差別?？紤]控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)影響的功放環(huán)節(jié)模型見圖3。

圖3 考慮計(jì)算延時(shí)的功放系統(tǒng)模型

其傳遞函數(shù)為

(10)

式中：t為由控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)引入的延時(shí)時(shí)間常數(shù)。

將est泰勒級(jí)數(shù)展開，取前兩項(xiàng)并化簡(jiǎn)得：

(11)

令s=jω，代入式(11)得：

(12)

由式(12)，考慮控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)的功放環(huán)節(jié)相角滯后為

(13)

(14)

將式(14)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(15)

t=0時(shí)，φdel=-arctanA=φamp；t>0時(shí)，式(15)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(16)

因R/L為常數(shù)，且Aω∝ω2，故控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)的存在會(huì)給功放環(huán)節(jié)引入附加的相位滯后，且隨ω的增大而增大，高速時(shí)表現(xiàn)較顯著。而φdel隨控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)t的增大而增大。因此，控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)的存在會(huì)使功放環(huán)節(jié)相位滯后加劇，導(dǎo)致功放系統(tǒng)高頻時(shí)輸出電流的跟蹤能力減弱、磁懸浮轉(zhuǎn)子低頻顫振劇烈。因此，磁軸承功放系統(tǒng)高速時(shí)輸出磁力非線性可致磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低頻特性不穩(wěn)定，易造成磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振[12]。而功放系統(tǒng)輸出磁力非線性主要表征為功放系統(tǒng)高頻時(shí)飽和，輸出電流跟蹤能力減弱，須采取有效措施減小甚至消除控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)。

2 控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)消除方法

針對(duì)現(xiàn)用磁軸承系統(tǒng)，電流采樣通過電流互感器而非采樣電阻，因此不能采用不平衡電阻補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)等硬件方式進(jìn)行延時(shí)補(bǔ)償。本文提出的基于軟件方式的控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)消除方法簡(jiǎn)單易行、效果明顯，具有較強(qiáng)實(shí)用價(jià)值。

常用控制系統(tǒng)中，AD采樣頻率為6.6667 kHz，F(xiàn)PGA產(chǎn)生的PWM頻率為20 kHz。由PWM與AD頻率關(guān)系看出，PWM每隔3個(gè)周期接收到一個(gè)DSP計(jì)算的控制量。FPGA在每個(gè)周期完成后均會(huì)進(jìn)行一次控制量更新(PWM上升沿更新)。AD采樣與PWM間生成關(guān)系見圖4。由圖4(a)看出，系統(tǒng)上電后，DSP運(yùn)行并觸發(fā)FPGA啟動(dòng)，初始FPGA中PWM周期值及占空比值均為0，處于空閑狀態(tài)。而圖4(b)中，AD第一次采樣到FPGA第一次更新周期值時(shí)間約9 μs，而自AD采樣至算出控制量更新值需11 μs，故只能等下周期才能更新該周期控制量值，造成控制量更新時(shí)刻晚控制量計(jì)算時(shí)刻一個(gè)PWM周期，即50 μs。該系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)高速時(shí)會(huì)造成磁懸浮系統(tǒng)相位嚴(yán)重滯后(600 Hz，50 μs延時(shí)相位滯后接近10°)。

圖4 AD采樣時(shí)刻與PWM關(guān)系原理及示波器采集

為消除系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)，采用的解決方案見圖5。由圖5(a)看出，此方案利用FPGA并行性，在FPGA啟動(dòng)時(shí)刻與控制量接收時(shí)刻間插入延時(shí)補(bǔ)償可達(dá)到最小化控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)目的。加入延時(shí)補(bǔ)償時(shí)間為Tcal+Ts，運(yùn)算時(shí)間Tcal與指令間隔Ts可在DSP端精確獲得。為保證實(shí)用性，加入的延時(shí)補(bǔ)償時(shí)間亦可略大于Tcal+Ts。雖仍引入計(jì)算延時(shí)，但延時(shí)時(shí)間較短(小于1 μs)，可使計(jì)算延時(shí)最小化。加入軟件延時(shí)補(bǔ)償算法后，系統(tǒng)運(yùn)行過程為：系統(tǒng)上電后DSP啟動(dòng)運(yùn)行，在第一個(gè)AD采樣啟動(dòng)后通過外圍總線向FPGA發(fā)送運(yùn)行指令及延時(shí)時(shí)間量，當(dāng)延時(shí)達(dá)到要求值時(shí)，F(xiàn)PGA開始生成PWM信號(hào)。此段軟件延時(shí)補(bǔ)償?shù)募尤?，能保證DSP算出的控制量更新值及時(shí)更新，使控制系統(tǒng)計(jì)算時(shí)間延時(shí)得以減小甚至消除，達(dá)到系統(tǒng)運(yùn)行最優(yōu)狀態(tài)。由于AD采樣周期為PWM周期整數(shù)倍，此延時(shí)補(bǔ)償程序只需在第一個(gè)PWM發(fā)生時(shí)執(zhí)行，便可保證其正確性。加入延時(shí)補(bǔ)償算法后，AD采樣沿與PWM產(chǎn)生沿間時(shí)間間隔約12 μs，略大于自AD采樣至算出控制量時(shí)間(約11 μs)，見圖5(b)。

圖5 系統(tǒng)延時(shí)補(bǔ)償原理及示波器采集

通過補(bǔ)償算法，消除控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)，不僅能補(bǔ)償功放系統(tǒng)高頻時(shí)相位滯后、提高高頻時(shí)功放輸出電流的跟蹤能力、抑制磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振，且能加大系統(tǒng)高頻時(shí)幅值衰減、提高系統(tǒng)高頻時(shí)的穩(wěn)定域度及磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)的穩(wěn)定性。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證延時(shí)補(bǔ)償算法補(bǔ)償效果，以100 kW電機(jī)為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行掃頻及升速實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，系統(tǒng)參數(shù)見表1，徑向控制參數(shù)見表2。

表1 100 kW磁懸浮電機(jī)高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

表2 100 kW磁懸浮電機(jī)徑向控制參數(shù)

3.1 延時(shí)補(bǔ)償掃頻實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

補(bǔ)償前后磁懸浮轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)幅頻、相頻對(duì)比見圖6。由圖6(a)看出，加入系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)補(bǔ)償算法后，閉環(huán)系統(tǒng)相位得到較好補(bǔ)償，相位滯后得到明顯改善。對(duì)系統(tǒng)相位補(bǔ)償效果在低、高頻均有體現(xiàn)，低頻60 Hz補(bǔ)償相位7°，低頻80 Hz補(bǔ)償相位12°，中頻300 Hz補(bǔ)償相位11°，600 Hz補(bǔ)償相位15°；高頻1000 Hz補(bǔ)償相位23°，相位補(bǔ)償效果較好。由圖6(b)看出，系統(tǒng)延時(shí)補(bǔ)償后，閉環(huán)系統(tǒng)低、高頻時(shí)幅值增益亦明顯衰減，60 Hz時(shí)幅值增益衰減3 dB，800 Hz時(shí)幅值增益衰減2 dB。表明計(jì)算延時(shí)補(bǔ)償后磁懸浮轉(zhuǎn)子低頻顫振減小，高頻穩(wěn)定性提高。

圖6 系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)補(bǔ)償前后相頻、幅頻圖

由圖6及數(shù)據(jù)看出，延時(shí)補(bǔ)償算法對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)作用效果較好，既可抑制磁懸浮轉(zhuǎn)子低頻顫振，又能提高系統(tǒng)高速時(shí)的穩(wěn)定性。

3.2 延時(shí)補(bǔ)償升速實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證延時(shí)補(bǔ)償算法對(duì)磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子低頻顫振的抑制作用，以表1中100 kW電機(jī)為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)、表2控制參數(shù)為實(shí)驗(yàn)條件，進(jìn)行補(bǔ)償前后升速對(duì)比實(shí)驗(yàn)，見圖7。

圖7 100 kW電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

在表2控制參數(shù)調(diào)控下，100 kW電機(jī)穩(wěn)速升至24 000 r/min，補(bǔ)償前后轉(zhuǎn)子低頻增益及位移跳動(dòng)量對(duì)比見圖8。

圖8 磁懸浮電機(jī)補(bǔ)償前后升速對(duì)比

由圖8看出，磁懸浮電機(jī)補(bǔ)償前升速至24 000 r/min時(shí)低頻增益為-30 dB，補(bǔ)償后為-50 dB；徑向BY通道位移跳動(dòng)量補(bǔ)償前57.6 μm，補(bǔ)償后20.8 μm，跳動(dòng)量減小36.8 μm，控制精度提高63.89%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)消除能較好抑制磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子的低頻顫振、減小磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子高速時(shí)的跳動(dòng)量及控制精度。

4 結(jié) 論

(1) 本文針對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子在高速時(shí)低頻顫振加劇、穩(wěn)定性變差等問題，提出的通過消除控制系統(tǒng)延時(shí)補(bǔ)償功放系統(tǒng)相位滯后、提高功放系統(tǒng)高頻時(shí)電流跟蹤能力方法，能抑制磁懸浮轉(zhuǎn)子高速時(shí)低頻顫振、提高磁懸浮轉(zhuǎn)子高頻穩(wěn)定性。

(2) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，加入延時(shí)補(bǔ)償后，100 kW磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子在24 000 r/min時(shí)低頻增益減小20 dB，轉(zhuǎn)子跳動(dòng)量減小36.8 μm，控制精度提高63.89%。充分說明控制系統(tǒng)計(jì)算延時(shí)方法的有效性。

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