孫靖雅，華宏星，肖 鋒，劉興天，黃修長(zhǎng)

(1.上海交通大學(xué) 振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所,上海 200240;2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

隔振裝置廣泛用于船舶、橋梁、航天、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域[1-6]，以減少振動(dòng)、沖擊對(duì)設(shè)備使用精度及疲勞壽命的不利影響。為抑制隔振裝置響應(yīng)，最常用為阻尼技術(shù)。傳統(tǒng)粘滯阻尼加入可抑制共振峰，但同時(shí)也會(huì)降低高頻區(qū)隔振性能。因此，能同時(shí)改善共振區(qū)、高頻隔振區(qū)隔振特性的非線性阻尼一直為熱門(mén)研究領(lǐng)域。Ruzicka[7]采用等效阻尼法研究任意速度指數(shù)的阻尼對(duì)單自由度隔振系統(tǒng)影響，認(rèn)為共振峰處取相同等效阻尼系數(shù)時(shí)，速度指數(shù)大于1的阻尼有利于力激勵(lì)隔振；速度指數(shù)小于1的阻尼則有利于基礎(chǔ)位移激勵(lì)隔振。Guo等[8-12]采用不同方法亦獲得相同結(jié)論。對(duì)力激勵(lì)隔振，增大阻尼速度指數(shù)改善隔振效果亦會(huì)有不利影響。速度指數(shù)大于1時(shí)，激勵(lì)力幅值增大將導(dǎo)致等效阻尼系數(shù)隨之增大，會(huì)致高頻隔振效果下降，且速度指數(shù)大于2的阻尼一般需采用主動(dòng)控制方能實(shí)現(xiàn)。而遲滯阻尼(結(jié)構(gòu)阻尼)對(duì)隔振系統(tǒng)具有較好隔振效果，與粘滯阻尼相比，該類阻尼不僅能抑制共振峰，同時(shí)在高頻區(qū)的隔振性能也有所改善。但遲滯阻尼與材料的損耗因子有關(guān)[7]，且高損耗因子較難實(shí)現(xiàn)。Tang等[13-14]采用粘滯阻尼，通過(guò)改變阻尼器安裝方式，實(shí)現(xiàn)位移相關(guān)的幾何非線性阻尼。利用等效阻尼系數(shù)方法對(duì)粘滯阻尼作用下隔振效果研究結(jié)果表明，振動(dòng)幅度較大時(shí)呈現(xiàn)為強(qiáng)阻尼；振動(dòng)幅度較小時(shí)表現(xiàn)為弱阻尼。該類阻尼具有較好的隔振效果，不僅能抑制共振峰，也具良好高頻隔振性能。Raj等[4]研究在汽車懸架中應(yīng)用的間隙隨活塞行程變化阻尼器，提出阻尼系數(shù)隨位移變化的阻尼隔振效果更好。Jia等[1]設(shè)計(jì)的新穎阻尼系數(shù)隨位移變化阻尼器，在船舶管路減振中得以應(yīng)用。文獻(xiàn)[1-4]僅闡述該類阻尼器機(jī)理及優(yōu)點(diǎn)，未從理論上分析該類阻尼器對(duì)隔振系統(tǒng)影響。本文采用平均法研究摩擦阻尼在幾何非線性條件下產(chǎn)生的非線性阻尼對(duì)隔振系統(tǒng)影響。該方法亦可分析任意速度指數(shù)的非線性阻尼對(duì)隔振系統(tǒng)影響。本文分析的摩擦阻尼引起的非線性阻尼，在小振幅條件下可簡(jiǎn)化為遲滯阻尼。與材料阻尼損耗因子引起的遲滯阻尼不同，利用摩擦阻尼產(chǎn)生的遲滯阻尼，其阻尼系數(shù)大小可調(diào)節(jié)，并可實(shí)現(xiàn)材料內(nèi)阻尼達(dá)不到的強(qiáng)阻尼效果。該阻尼可用于改善粘性阻尼隔振裝置的隔振性能。

鑒于目前研究衛(wèi)星隔振常用單自由度隔振系統(tǒng)模型，模型基礎(chǔ)通常考慮為固定不動(dòng)[15-16]，未考慮基礎(chǔ)質(zhì)量對(duì)隔振性能影響。故本文建立可考慮基礎(chǔ)質(zhì)量對(duì)隔振系統(tǒng)影響的二自由度無(wú)約束模型，采用平均法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解獲得頻率-幅值方程，繼而獲得激勵(lì)下響應(yīng)幅值。用導(dǎo)出的力傳遞率、力位移傳遞率分析粘滯阻尼及遲滯阻尼單獨(dú)作用下隔振特性，考慮兩種阻尼聯(lián)合作用下隔振效果。采用數(shù)值方法求解運(yùn)動(dòng)方程，并與理論結(jié)果比較。

1 隔振系統(tǒng)模型

令兩物體水平方向相對(duì)位移z=y-x，摩擦阻尼器兩端相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可表示為

(1)

得阻尼器水平方向阻尼力為

(2)

當(dāng)z/a≤0.2時(shí)，阻尼力可近似簡(jiǎn)化為

(3)

即小振幅時(shí)，垂直方向布置的摩擦阻尼器可在水平方向產(chǎn)生遲滯阻尼。

圖1 隔振系統(tǒng)示意圖

2 數(shù)學(xué)模型及求解

圖1隔振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(4)

用z=y-x消除式(4)中y，x可簡(jiǎn)化為

(5)

式中：μ=mM/(m+M)。

(6)

設(shè)方程(6)解的形式為

u=U(τ)sin[φ(τ)]

(7)

式中：φ(τ)=Ωτ+ψ(τ)。

采用平均法解方程(6)可得幅值-頻率特性方程為(具體見(jiàn)附錄或文獻(xiàn)[5,9])：

(8)

則方程的解為

(9)

3 隔振系統(tǒng)傳遞率

將u=U(τ)sin[φ(τ)]代入式(4)，并設(shè)初始速度、位移均為零，得：

(10)

(11)

對(duì)力傳遞率，一般定義為輸出力與激勵(lì)力傅里葉變化的比值[8,17]，此時(shí)力傳遞率與力-位移傳遞率分別為(見(jiàn)附錄)：

(12)

(13)

4 討論

上兩種傳遞率均以dB表示，即20log10Tff與20log10Tfd。

4.1 兩種阻尼單獨(dú)作用下傳遞率特性

當(dāng)ζ1=0,ζ2≠0時(shí)，隔振系統(tǒng)為傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)。其力傳遞率、力位移傳遞率分別為

(14)

(15)

當(dāng)ζ1≠0,ζ2=0時(shí)，隔振系統(tǒng)為具有結(jié)構(gòu)阻尼的非線性隔振系統(tǒng)：

(16)

(17)

由以上公式看出，影響傳遞率因素主要為質(zhì)量、阻尼及激勵(lì)頻率。由圖2看出，在兩種阻尼單獨(dú)作用下，力傳遞率、力位移傳遞率規(guī)律相似，即在共振區(qū)阻尼增大，共振峰值減小；在高頻隔振區(qū)傳遞率隨阻尼的增大而增大，隔振性能變差。共振峰相同時(shí)，遲滯阻尼作用下高頻隔振區(qū)傳遞率上升較小，而粘滯阻尼作用下則上升較大。

圖3為兩種阻尼作用下傳遞率比值曲線，其中ΔT表示粘滯阻尼與遲滯阻尼作用下力傳遞率比值及力位移傳遞率比值。阻尼系數(shù)取ζ=ζ1=ζ2。由圖3看出，采用相同阻尼系數(shù)時(shí)，遲滯阻尼較粘滯阻尼隔振效果更好，不僅能抑制共振，且在高頻隔振區(qū)性能亦可得以改善。高頻區(qū)有遲滯阻尼的隔振系統(tǒng)傳遞率隨頻率下降速率為40 dB每十倍頻程，而粘滯阻尼下降速率為20 dB每十倍頻程。因此，采用遲滯阻尼可獲得較傳統(tǒng)粘滯阻尼更好的隔振性能。質(zhì)量對(duì)傳遞率影響主要體現(xiàn)在隨剛體質(zhì)量m的增大，力傳遞率不斷下降，剛體質(zhì)量趨于無(wú)窮大時(shí)，力傳遞率接近零，此時(shí)無(wú)力傳遞于基礎(chǔ)；隨基礎(chǔ)質(zhì)量M的增大，力傳遞率不斷增大，并趨于傳統(tǒng)單自由度隔振系統(tǒng)力傳遞率特性。需說(shuō)明的是，本文給出的遲滯阻尼影響下力傳遞率公式與文獻(xiàn)[7]稍有區(qū)別，主要差異在于文獻(xiàn)[7]中對(duì)遲滯阻尼進(jìn)行簡(jiǎn)化，其表達(dá)式在高頻區(qū)較精確，在共振區(qū)存在一定誤差。式(16)結(jié)論較之更精確。

圖2 不同阻尼系數(shù)下，力傳遞率Tff和力位移傳遞率Tfd隨頻率的變化曲線(M=m=1)

對(duì)力位移傳遞率，或剛體質(zhì)量或基礎(chǔ)質(zhì)量趨于無(wú)窮大時(shí)，隔振系統(tǒng)力位移傳遞率均近似為零。其與力傳遞率公式有相似之處，但力位移傳遞率受激勵(lì)頻率影響。當(dāng)激勵(lì)頻率增大時(shí)，力位移傳遞率迅速下降，但激勵(lì)頻率ω<1，系統(tǒng)傳遞率會(huì)被放大，即系統(tǒng)在低頻激勵(lì)下位移響應(yīng)可能較大。實(shí)際物理意義可解釋為：激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于共振頻率時(shí)，剛體與基礎(chǔ)可認(rèn)為是牢固結(jié)合整體；剛體偏心質(zhì)量位置改變時(shí)，剛體與基礎(chǔ)位移也會(huì)同時(shí)發(fā)生改變，但整個(gè)隔振系統(tǒng)質(zhì)心保持不變。即剛體與基礎(chǔ)的最大位移有限，取決于偏心質(zhì)量、偏心距乘積的大小。

(18)

求解后可得力傳遞率最大值對(duì)應(yīng)頻率。

當(dāng)ζ1=0,ζ2≠0時(shí)，力傳遞率最大值及對(duì)應(yīng)頻率分別為

(19)

(20)

該結(jié)果可在文獻(xiàn)[7]中得到印證。

當(dāng)ζ1≠0,ζ2=0時(shí)，力傳遞率最大值發(fā)生于Ω=1，最大值為

(21)

可以看出，粘滯阻尼影響下的共振頻率隨阻尼變化而變化，但遲滯阻尼影響下共振頻率不受頻率影響，發(fā)生于Ω=1處。對(duì)力位移傳遞率最大值及對(duì)應(yīng)頻率，由于解析公式表達(dá)較復(fù)雜，且當(dāng)阻尼系數(shù)較大時(shí)，不存在共振峰(圖2(b)、(d))，因此，具體表達(dá)式此處不再給出。

4.2 兩種阻尼共同作用下傳遞率特性

傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)常采用粘滯阻尼抑制共振區(qū)響應(yīng)，但阻尼增大同時(shí)也降低高頻區(qū)隔振性能。與粘滯阻尼相比，遲滯阻尼能同時(shí)改善共振區(qū)、高頻隔振區(qū)隔振性能。因此，在粘滯阻尼的隔振系統(tǒng)中加入遲滯阻尼，系統(tǒng)的隔振性能也可以得到改善。

圖4為不同配置阻尼作用下系統(tǒng)力傳遞率曲線。由圖4看出，ζ1=0,ζ2=0.1阻尼配置情況下，隔振系統(tǒng)在高頻隔振區(qū)隔振性能較好，但在共振區(qū)力傳遞率較大。為抑制共振峰值，增大粘滯阻尼至ζ2=0.3后，共振峰得到一定削減，但高頻隔振區(qū)傳遞特性反而變差。若采用ζ1=0.05,ζ2=0.1或ζ1=0.05,ζ2=0.2配置，雖高頻區(qū)隔振性能有一定降低，但共振區(qū)響應(yīng)卻得到明顯改善。因此，采用遲滯阻尼對(duì)現(xiàn)有隔振系統(tǒng)性能提升為可行途徑。

圖3 兩種阻尼作用下力傳遞率比值隨頻率變化曲線

5 數(shù)值仿真

圖6為數(shù)值計(jì)算得基礎(chǔ)所受作用力曲線，縱坐標(biāo)為基礎(chǔ)所受力與激勵(lì)力比值Fbase/(m0rω2)，橫坐標(biāo)為掃頻時(shí)間坐標(biāo)。由圖6看出，摩擦阻尼產(chǎn)生的遲滯阻尼與材料內(nèi)阻尼表現(xiàn)出的遲滯阻尼有所不同，主要體現(xiàn)在：運(yùn)動(dòng)方向改變時(shí)，阻尼力會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，且隨振幅的增大而增大。力的階躍幅度與摩擦阻尼大小、振幅等有關(guān)。輸出阻尼力不均勻，會(huì)對(duì)隔振效果產(chǎn)生不利影響。

6 結(jié) 論

(1) 采用兩自由度無(wú)約束隔振系統(tǒng)模型進(jìn)行阻尼影響下的傳遞率特性研究。用平均法及數(shù)值仿真方法求解獲得摩擦阻尼在幾何非線性下產(chǎn)生的遲滯阻尼(結(jié)構(gòu)阻尼)對(duì)系統(tǒng)力傳遞率特性。

(2) 增大剛體、基礎(chǔ)質(zhì)量可降低力傳遞率，提高隔振性能。增加阻尼系數(shù)會(huì)降低共振峰值，亦會(huì)降低高頻隔振效果。采用遲滯阻尼，可明顯降低共振峰值，高頻性能下降較少。激勵(lì)頻率對(duì)基礎(chǔ)力位移傳遞率有顯著影響，激勵(lì)頻率小于1時(shí)，會(huì)對(duì)力位移傳遞率起放大作用；當(dāng)激勵(lì)頻率大于1時(shí)，力位移傳遞率迅速下降。

(3) 數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果吻合良好。摩擦力產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)方向上非線性阻尼力存在跳躍現(xiàn)象，主要與運(yùn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)變時(shí)摩擦力方向改變有關(guān)。實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)考慮可能的不利影響。

(4) 采用摩擦阻尼實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)阻尼可用于改善隔振系統(tǒng)隔振性能，并可提升現(xiàn)有隔振系統(tǒng)性能。

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附錄

1. 式(6)求解過(guò)程：

將式(7)求導(dǎo)得

u′=U(τ)Ωcos(φ(τ))

(8*)

并設(shè)滿足條件

U′sinφ+Uψ′cosφ=0

(9*)

式(8)的導(dǎo)數(shù)為

u′′=ΩU′cosφ-ΩU(Ω+ψ′)sinφ

(10*)

將式(7)、(8*)、(10*)代入式(6)，得

2ζ2UΩcosφ+Usinφ=Ω2sin(Ωτ)

(11*)

用條件(9*)消除式(11*)中ψ′可簡(jiǎn)化為

ΩU′=-[U(1-Ω2)sinφ-Ω2sin(Ωτ)+

(12*)

ΩUψ′=[U(1-Ω2)sinφ-Ω2sin(Ωτ)+

(13*)

對(duì)上式右端在2π周期內(nèi)平均

(14*)

(15*)

上式化簡(jiǎn)為

(16*)

(17*)

穩(wěn)態(tài)解應(yīng)滿足U′=0且ψ′=0，據(jù)式(16*)、(17*)則有

-πΩ2sinψ-8ζ1-2πζ2UΩ=0

(18*)

Uπ(1-Ω2)-πΩ2cosψ=0

(19*)

消除上兩式中ψ，即得式(8)

(8)

2.式(12)具體推導(dǎo)

由式(10)推導(dǎo)出Tff的表達(dá)式為

考慮Uπ(1-Ω2)-πΩ2cosψ=0(見(jiàn)式(8)推導(dǎo))，則有