馬國亮，陳立群,2

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200072；2.上海大學(xué) 力學(xué)系,上海 200444)

軸向運動梁(弦)是很多軸向運動系統(tǒng)的簡化模型,如傳送帶(繩、索),輸液管道,航空航天飛行器等,在工業(yè)技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用背景,因此,軸向運動梁有重要的理論研究價值。最早,國外Mote,Simpson和?z等[1-4]相繼研究了軸向運動梁(弦)在固定邊界、簡支邊界下的固有頻率和模態(tài)函數(shù),并用實驗證實了前三階固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)。近些年來,國內(nèi)外研究者逐漸關(guān)注并研究軸向運動梁的受迫振動、穩(wěn)定性等問題。例如馮志華等[5]研究了內(nèi)共振條件下直線運動梁的動力穩(wěn)定性,Chen等[6]研究了軸向運動黏彈性梁在脈動速度下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),Lee等[7]研究了軸向運動黏彈性梁受軸向拉力的動力學(xué)問題,Ding等[8]采用伽遼金法求解了軸向高速運動梁的固有頻率,Liu等[9]研究了軸向運動黏彈性梁在隨機無序周期激勵下的動態(tài)響應(yīng)。結(jié)合實際工程問題中軸向運動物體的研究應(yīng)用,Williams等[10]按靜止梁模型來近似處理高速運動的飛行器,王亮等[11-12]以運動梁為模型研究飛行器,求解了固有頻率和臨界速度。而軸向運動自由梁的受迫振動尤其是受隨機激勵的橫向振動問題鮮有研究。

本文以運動飛行器為研究背景,應(yīng)用Euler梁模型建立軸向運動梁的動力學(xué)方程。首先,數(shù)值求解自由邊界下梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)隨速度的變化。然后,通過解耦變換得到廣義坐標(biāo)與復(fù)模態(tài)函數(shù)組合形式的解。最后對時域響應(yīng)的結(jié)果做統(tǒng)計分析得到頻域上隨機響應(yīng)譜。

1 理論分析

1.1 固有頻率和模態(tài)

勻質(zhì)細長梁(長細比>5),有縱向?qū)ΨQ平面,即主平面。在梁的主平面上取坐標(biāo)Oxy,原點O位于梁的左端截面的形心,x軸與梁平衡時的軸線重合,梁上任一點的橫向振動位移y(x,t)均沿y軸方向(圖1)。梁的長度l,抗彎剛度EI,密度ρ,截面積S,當(dāng)推力P等于阻力F時,勻速運動v0,推力和阻力等效為軸力,橫向干擾力f(x,t)。根據(jù)漢密爾頓(Hamilton)原理[12]寫出橫向受迫振動方程

圖1 軸向運動梁

(1)

若沒有推力和阻力,即無軸力勻速運動時：

(2)

在沒有激勵情況下求固有頻率和模態(tài)函數(shù),無量綱化后進行復(fù)模態(tài)分析,分離變量得到關(guān)于固有頻率ωn的復(fù)數(shù)方程,并設(shè)其本征值為iβj,滿足4次代數(shù)方程：

(3a)

(3b)

式中c,μ的無量綱替換式分別為

(4)

然后,設(shè)自由振動的模態(tài)函數(shù)一般形式為

(5)

式中:Ci為常系數(shù),邊界條件為兩端自由時,模態(tài)函數(shù)2、3階導(dǎo)數(shù)在端點處為0,構(gòu)成方程組,有非0解,須令系數(shù)行列式為0,整理得到系統(tǒng)的頻率方程

β1[(eiβ1-eiβ2)(eiβ3-eiβ4)β2-(eiβ1-eiβ3)×

(eiβ2-eiβ4)β3+(eiβ2-eiβ3)(eiβ1-eiβ4)β4]+

β2((eiβ2-eiβ3)(eiβ1-eiβ4)β3-(eiβ1-eiβ3)×

(eiβ2-eiβ4)β4]}

(6)

頻率方程結(jié)合式(3a)或(3b)可以數(shù)值求解有、無軸力時的固有頻率ωn和本征值iβj,代入式(5)得到具體形式的模態(tài)函數(shù)：

(7)

1.2 振動響應(yīng)

本文中橫向干擾力為作用于端點的隨機激勵,若研究對象為飛行器則表示其推力的橫向分量。梁橫向受迫振動的動力學(xué)方程有、無軸力狀態(tài)分別寫作無量綱形式：

ytt+2cyxt+(μ2+c2)yxx+yxxxx=f

(8)

ytt+2cyxt+c2yxx+μ2yxxxx=f

(9)

化簡為統(tǒng)一的狀態(tài)空間方程,并利用正交性條件[3]解耦得到廣義坐標(biāo)ξn的微分方程組：

(10a)

(10b)

解此方程組,代入初始速度和位移等于0的條件,并利用積分卷積的性質(zhì)得到:

(11a)

(11b)

那么橫向振動的解為廣義坐標(biāo)實虛部與模態(tài)函數(shù)實虛部的組合。

(12)

式中模態(tài)函數(shù)均為簡正模態(tài)函數(shù),模態(tài)函數(shù)乘以常數(shù)α化為簡正模態(tài)函數(shù),α由模態(tài)函數(shù)的正交性條件可以數(shù)值求解。

(13a)

(13b)

如有軸力時,正交性條件寫作：

(14)

1.3 數(shù)學(xué)統(tǒng)計分析

隨機響應(yīng)與激勵的關(guān)系用數(shù)學(xué)統(tǒng)計的概念建立,輸出量的相關(guān)函數(shù)給出隨機過程在時差域內(nèi)的統(tǒng)計特性,計算不同點的響應(yīng)y(xp,t),y(xq,t)之間的互相關(guān)函數(shù)Ry(xp，xq，τ)即數(shù)學(xué)期望E：

Ry(xp，xq，τ)=E[y(xp，t)y(xq，t+τ)]=

(15)

上式中相關(guān)函數(shù)為四項和的形式,每一項均表示為模態(tài)函數(shù)和廣義坐標(biāo)實部、虛部相關(guān)函數(shù)積的形式,首先來計算廣義坐標(biāo)實部相乘的自相關(guān)函數(shù)即它的數(shù)學(xué)期望E：

ωnωm·E[f(t-λ1)f(t+τ-λ2]dλ1dλ2

(16)

式中:x0為激勵的加載位置,可以是單點激勵,也可以是多點激勵,Sf為激勵譜。激勵f的數(shù)學(xué)期望E即它的相關(guān)函數(shù)Rf,根據(jù)相關(guān)函數(shù)和功率譜的傅里葉變換(Fourier transform)關(guān)系:

(17)

(18)

得到廣義坐標(biāo)實部積的功率譜：

(19)

式中:S[ωn]、C[ωn]分別為sin(ωnt)、cos(ωnt)的傅里葉變換,上劃線表示其復(fù)共軛。以此類推分別得到廣義坐標(biāo)虛部相乘、實部虛部交叉積的功率譜SξI ξI(ω),SξR ξI(ω)，SξI ξR(ω)：

(20)

(21)

如果隨機激勵只是作用于單點x0,則SξR ξI(ω)和SξI ξR(ω)是相同的,對某點xp的響應(yīng)y(xp)的功率譜Sy(xp)最終寫作4部分響應(yīng)譜和的形式：

(22)

也可以求得橫向隨機響應(yīng)的均方值：

(23)

2 數(shù)值算例

2.1 固有頻率和模態(tài)函數(shù)

以一個均勻圓柱形鋼梁為例,彈性模量為1.96×1011Pa,密度為7.85×103kg/m3,長度為2 m,直徑為0.1 m；軸力為9.6 kN,設(shè)亞音速狀態(tài)10～300 m/s,無量綱參數(shù)為：

c→(0.08v0=0.8～24);μ=5

為了計算方便起見,速度參數(shù)c取1～20,分別計算不同速度時的固有頻率和c等于7.5時的模態(tài)函數(shù),如圖2、3所示,可以根據(jù)時間t與無量綱參數(shù)的轉(zhuǎn)換系數(shù),將無量綱的固有頻率轉(zhuǎn)化為單位為Hz的固有頻率。再取速度參數(shù)c等于7.5和20時中點的模態(tài)函數(shù)值,I代表虛部值,R表示實部值,同時計算靜止?fàn)顟B(tài)下梁的固有頻率,比較運動梁和靜止梁的固有頻率,如表1所示。

無軸力狀態(tài)下,運動梁的固有頻率與有軸力狀態(tài)時的變化規(guī)律一致,如圖4所示,通過轉(zhuǎn)換系數(shù)也可以得到與表1大小接近的頻率,模態(tài)函數(shù)也與有軸力時一致。

圖2 c=1～20時,頻率隨速度變化

圖3 c=7.5時,前四階模態(tài)函數(shù)

表1 模態(tài)函數(shù)和固有頻率

圖4 無軸力時頻率隨速度變化

2.2 響應(yīng)譜

根據(jù)理論分析可以求得軸向運動梁上不同測點xp在激勵作用下的響應(yīng)譜Sy。激勵可以是確定性激勵,也可以是隨機激勵,在本例中假設(shè)激勵為白噪聲隨機激勵,激勵譜Sf大小為1,作用于梁的端點x0處,在不同速度下,端點的模態(tài)函數(shù)值φ(x0)分別用實部和虛部表示。理論上,軸向運動梁有無窮多復(fù)模態(tài),且不同速度下對應(yīng)軸向運動梁的固有特性不同?？紤]到計算量和速度的影響,以有軸力狀態(tài)為例,分別取3階、4階模態(tài)截斷,分別求速度參數(shù)c等于7.5和20時中點(0.5l)的隨機響應(yīng)譜,如圖5所示。

直接進行傅里葉變換得到的是雙邊譜,只取正半軸部分得頻譜范圍為0～1 000 Hz的響應(yīng)譜。由圖5可以看出,中點在不同速度下對應(yīng)的響應(yīng)譜在各階固有頻率處有峰值,在基頻處最大,并隨著固有頻率的減小而減小,具體數(shù)值如表2所示。對比圖5(a)和(b)或者(c)和(d)表明,速度參數(shù)增大響應(yīng)譜的峰值也會增大,對比圖5(a)和(c)或者(b)和(d)表明,增加模態(tài)數(shù)目并不顯著影響響應(yīng)譜的峰值。速度c等于7.5時,第三階固有頻率處峰值偏大,可能是數(shù)值計算誤差所致,但并不影響響應(yīng)譜整體的規(guī)律。

表2 中點響應(yīng)譜的峰值

圖5 中點的響應(yīng)譜

3 結(jié) 論

本文建立軸向運動歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁在橫向載荷下的動力學(xué)方程,數(shù)值求解了其固有頻率和模態(tài)函數(shù),對比了運動梁的固有頻率與靜止梁的差別。然后,應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法分析了隨機激勵與運動梁響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,得到含有復(fù)模態(tài)函數(shù)的響應(yīng)譜形式。通過數(shù)值算例,分別求得不同速度、不同模態(tài)截斷下中點的相應(yīng)譜。結(jié)果表明,軸向運動自由梁的固有頻率隨著速度的增大而減小,基頻處與靜止梁的差別最顯著。在運動梁固有頻率處,響應(yīng)譜有不同的峰值,基頻時最大。增加模態(tài)截斷影響不明顯,說明低階模態(tài)對響應(yīng)起主要作用,這與靜止梁的響應(yīng)譜規(guī)律一致。同時,對同一測點,速度的大小對響應(yīng)譜也有明顯的影響。不過,由于數(shù)值計算誤差難免,結(jié)果有待在實驗上進一步證實其準(zhǔn)確性。

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