王南山，張學良，蘭國生，溫淑花，陳永會，劉麗琴，牛作證

(太原科技大學 機械工程學院,太原 030024)

由零件、組件、部件之間相互聯(lián)接的粗糙接觸表面即為結(jié)合面,機器或機械結(jié)構(gòu)大量存在著各種各樣的結(jié)合面。結(jié)合面屬于“柔性結(jié)合”,其既存儲能量又消耗能量,表現(xiàn)出既有彈性又有阻尼,即存在接觸剛度和接觸阻尼[1]。結(jié)合面的接觸剛度常常是機械結(jié)構(gòu)整體剛度的重要組成部分,有時甚至成為整體剛度的薄弱環(huán)節(jié)；對于行業(yè)重要設(shè)備機床而言,其結(jié)合面的接觸剛度約占機床總剛度的60%～80%,對不同的機床,這個比例的具體值也不盡相同[1-2]。

粗糙表面形貌對結(jié)合面接觸剛度有重要的影響,而結(jié)合面的接觸剛度在機械結(jié)構(gòu)靜動態(tài)特性中(占顯著地位[3]。接觸界面的存在導(dǎo)致組合結(jié)構(gòu)局部剛度降低,直接影響結(jié)構(gòu)的機械性能。為準確進行組合結(jié)構(gòu)的動力分析,必須獲得粗糙表面的接觸剛度[4]。接觸剛度的確定是許多工程結(jié)構(gòu)在振動分析中常遇到的問題,如拉桿轉(zhuǎn)子各葉輪輪盤間的接觸剛度[5],機床導(dǎo)軌與工作臺之間的接觸剛度等[6]。在對裝配體進行模態(tài)分析時,裝配體接觸面間的法向接觸剛度對計算結(jié)果具有很大影響[7]。

文獻[1,3-11]對粗糙表面的接觸剛度的進行了相應(yīng)的研究,但主要基于彈性和塑性變形機制下進行的。文獻[12-18]對粗糙表面的接觸機制進行了相關(guān)研究,并且均指出把結(jié)合面的接觸機制考慮為單一的完全彈性或完全塑性變形以及同時考慮彈性和塑性變形的情況時均存在著一定的缺陷,結(jié)合面的接觸需要經(jīng)歷彈性、彈塑性、塑性變形的三種變形機制,但并未給出臨界點處接觸參數(shù)連續(xù)的彈塑性分形接觸剛度模型。本文基于接觸分形理論及其修正模型,改善接觸臨界點處接觸參數(shù)不連續(xù)情況,建立了計及微接觸面積分布的域擴展因子影響的結(jié)合面法向接觸剛度彈塑性分形模型。數(shù)值仿真揭示了彈塑性過渡變形機制及相關(guān)參數(shù)對結(jié)合面法向接觸剛度的影響。

1 結(jié)合面接觸理論建模

1.1 接觸變形機制

結(jié)合面是由兩個粗糙表面接觸形成,兩粗糙表面的接觸實質(zhì)為分布于兩接觸表面上的微凸體間的相互作用；通常將兩粗糙表面的接觸簡化為一粗糙表面和一剛性平面的接觸,對于粗糙表面的單個微凸體,將其等效為半球體,其等效曲率半徑為R,如圖1(a)所示。當在法向預(yù)加載荷p作用下,接觸區(qū)域半徑為r,法向變形為δ,如圖1(b)所示。

1.1.1 完全彈性變形機制

當微凸體的變形在彈性范圍內(nèi)時,即根據(jù)赫茲接觸理論,單個微凸體法向接觸載荷[9,18-19]

(1)

1.1.2 完全塑性變形機制

當微凸體法向變形量進入完全塑性變形范圍,即δ≥76.4δc時[20](δc為微凸體由完全彈性變形進入彈塑性過渡變形階段的臨界變形量),微凸體將處于完全塑性變形機制,此時接觸載荷可表示為[18]

pp=2HπRδ

(2)

而從完全彈性變形進入彈塑性過渡變形階段的的臨界變形量δc為[13,18]:

(3)

式中：H為軟材料的硬度(H=2.8Y,Y為軟材料的屈服強度),K為硬度系數(shù),其值與軟材料的泊松比有關(guān)，K=0.454+0.41ν。

1.1.3 彈塑性過渡變形機制

當微凸體的變形量位于δc≤δ≤76.4δc范圍時,即處于彈塑性過渡變形階段；此階段的接觸載荷為[20]

(4)

1.2 彈塑性接觸參數(shù)的分形模型

實際工程表面并非理想的平面,其上總是分布著無數(shù)的微凸體,所有微凸體相互作用的接觸面積之和為結(jié)合面的真實接觸面積,真實接觸面積往往遠小于名義接觸面積。為了能夠更準確地表達結(jié)合面最大微接觸點的實際接觸面積al與粗糙表面的真實接觸面積Ar之比al/Ar,Wang等[21]在MB分形模型基礎(chǔ)上引入了微接觸點大小分布域擴展因子ψ,給出了微接觸截面積為a′的接觸點大小的分布函數(shù)為

(5)

圖2 當量粗糙表面1與理想剛性表面2的接觸

根據(jù)文獻[10-11、21]微凸體頂端的變形量δ、微凸體的曲率半徑R分別可表示為:

(6)

(7)

式中:G為分形粗糙度參數(shù);γ為大于1的常數(shù),對于服從正態(tài)分布的隨機表面,γ=1.5較符合高頻密度和相位隨機的情況。

由式(3)、式(6)、式(7)可得

(8)

1.2.1 接觸面積

結(jié)合面的真實接觸面積應(yīng)為完全彈性真實接觸面積、完全塑性真實接觸面積、彈塑性真實接觸面之和,即為

(9)

將式(5)代入式(9)有

(10)

1.2.2 接觸載荷

整個結(jié)合面上的法向接觸載荷應(yīng)為完全彈性接觸載荷、塑性接觸載荷、彈塑性接觸載荷之和。

結(jié)合面上完全彈性接觸載荷可表達為

(11)

將式(1)、(5)～(7)代入式(11)可得：

(12)

同理可得：

結(jié)合面上完全塑性接觸載荷為

(13)

結(jié)合面上彈塑性接觸載荷為

(14)

則整個結(jié)合面上的法向接觸載荷可表示為

P=Pp+Pep+Pe

(15)

將式(12)～(14)代入式(15),則當1

(D≠1.5)

(16)

(D=1.5)

(17)

根據(jù)彈性接觸點的實際接觸面積a與截斷面積a′之間的關(guān)系[17]

a′=2a

(18)

可以得出如下關(guān)系

(19)

(20)

將式(19)、(20)分別代入式(16)、(17),并對(16)、(17)進行無量綱化處理,則有

(D≠1.5)

(21)

(D=1.5)

(22)

2 結(jié)合面法向接觸剛度彈塑性分形模型

當結(jié)合面上的微凸體法向變形量δ≥76.4δc時,將處于完全塑性變形范圍,即當接觸機制處于彈性和彈塑性階段時存在法向接觸剛度。

對于單個微凸體,根據(jù)文獻[23]可得：

完全彈性階段的法向接觸剛度

(23)

彈塑性階段的法向接觸剛度

(24)

將式(7)、(8)代入式(24)則有

(25)

則整個結(jié)合面的法向接觸剛度為

(26)

將式(9)、(23)、(25)代入式(26)則有

(27)

將式(27)無量綱化處理

(28)

式中：

至此,建立了臨界接觸參數(shù)連續(xù)條件下的法向剛度彈塑性的分形模型；由(21)、(22)、(28)可以看出,數(shù)學模型表明了無量綱法向接觸剛度、結(jié)合面分形參數(shù)以及結(jié)合面材料特性參數(shù)之間的復(fù)雜非線性關(guān)系。

3 結(jié)合面法向接觸剛度彈塑性分形模型數(shù)值仿真

3.1 數(shù)值仿真

圖3 無量綱法向接觸剛度隨無量綱法向接觸總載荷P*的變化規(guī)律以及分形維數(shù)D對無量綱法向接觸剛度的影響(G*=1.0E-10,φ=1.5)

圖4 分形粗糙度G*對無量綱法向接觸剛度的影響(φ=1.5)

圖5 塑性指數(shù)φ對無量綱法向接觸剛度的影響(G*=1.0E-10)

3.2 仿真結(jié)果分析

(2)結(jié)合圖3(a)、(b)可以看出,當分形維數(shù)D=1.1～1.5時,無量綱法向接觸剛度隨著分形維數(shù)D的增大而增大；而當分形維數(shù)D=1.5～1.9時,無量綱法向接觸剛度隨著分形維數(shù)D的增大而減小,這一點與文獻[3、10]結(jié)果有所差異,主要原因在于彈塑性過渡變形機制的引入。

(3)根據(jù)圖3(a)、(b)無量綱法向接觸剛度隨無量綱法向接觸總載荷的變化情況以及分形維數(shù)對于無量綱法向接觸剛度的影響,分別選取兩代表性的分形維數(shù)取值D=1.3、1.7,并對無量綱分形粗糙度G*和塑性指數(shù)φ對無量綱法向接觸剛度的影響進行了仿真分析。無量綱法向接觸剛度隨著分形粗糙度G*的增大而減小,如圖4(a)、(b)所示；無量綱法向接觸剛度隨著塑性指數(shù)G*的增大而增大,如圖5(a)、(b)所示；這與文獻文獻[3、10]結(jié)果一致。

4 結(jié) 論

(1)建立了臨界接觸參數(shù)連續(xù)條件下計及微接觸面積分布域擴展因子影響的結(jié)合面法向接觸剛度彈塑性分形模型。

(2)數(shù)據(jù)仿真表明彈塑性過渡變形機制對法向接觸剛度影響明顯；且彈塑性過渡變形機制下的法向接觸剛度大于僅考慮彈性和塑性接觸機制下對應(yīng)的法向接觸剛度,這將有助于得到精確的機械結(jié)構(gòu)接觸剛度模型,從而提高動力學分析的準確性,對機械結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)特性進行更為準確的分析。

(3)無量綱法向接觸剛度隨著無量綱法向接觸載荷的增大而增大且因分形維數(shù)取值不同而呈凸弧性的非線性關(guān)系或近似線性關(guān)系,隨著分形維數(shù)增大而增大(分形維數(shù)D=1.1～1.5)或者減小(分形維數(shù)D=1.5～1.9)；隨著分形粗糙度的增大而減小；隨著塑性指數(shù)的增大而增大。

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