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        Simpson不等式的改進(jìn)研究

        2014-09-04 09:21:10葉寶存
        關(guān)鍵詞:數(shù)值積分階數(shù)寧德

        葉寶存

        (寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 福建福安 355000)

        Simpson不等式的改進(jìn)研究

        葉寶存

        (寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 福建福安 355000)

        Simpson算法是定積分的近似計(jì)算方法.在數(shù)學(xué)問(wèn)題中,有些定積分是不能牛頓萊布尼茨公式解決的,進(jìn)而出現(xiàn)了求解近似值即數(shù)值解的方法.Simpson不等式就是求解近似值的過(guò)程中而產(chǎn)生的不等式.Simpson不等式在數(shù)值積分中的作用具有不可替代的地位,很多的數(shù)學(xué)界先輩對(duì)Simpson的誤差限優(yōu)化做出了積極研究和探討.本文基于Simpson不等式的相關(guān)定理,對(duì)其最佳誤差估計(jì)做出論證.

        Simpson不等式,分段連續(xù),導(dǎo)數(shù),積分

        在數(shù)值積分計(jì)算中,Simpson公式占有極其重要的地位.Simpson不等式起源一個(gè)著名的命題:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]區(qū)間內(nèi),有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù),則有以下結(jié)果:

        (1)

        (2)

        其中(2)式就是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域著名的Simpson公式.

        1 Simpson公式中的積分余項(xiàng)定理證明

        依據(jù)高等數(shù)學(xué)中取值變量的漸近性質(zhì),關(guān)于ξ有以下命題:

        證明:設(shè)定命題的極限為b從右邊向左無(wú)限趨近于a(按照普遍性數(shù)學(xué)思維,b>a)情形,根據(jù)題設(shè)條件將 在區(qū)間內(nèi)的積分表示為含有Peano余項(xiàng)的泰勒公式為:

        f(4)(ξ)=f(4)(a)+

        由命題(1)的已知條件,b→a+,ξ∈(a,b),ξ→a+,f(5)(a)≠0因此上式消去近似相等peano余項(xiàng)可得:

        (3)

        即為:

        (4)

        由(4)式可以得出,該式的倒數(shù)精確度是5次代數(shù)精度,而(2)式代數(shù)精度為3次.這就構(gòu)成了Simpson不等式改進(jìn)的理論基礎(chǔ).

        2 Simpson不等式的最佳誤差限改進(jìn)

        (5)

        其中ξ∈|x0,x|,則有:

        (6)

        (7)

        (8)

        (9)

        將(9)式代入(6)式中,可得:

        可得出結(jié)論為:

        (10)

        由(10)式,可知改進(jìn)的Simpson不等式,其收斂階數(shù)大于等于6.

        3 結(jié)束語(yǔ)

        Simpson不等式在數(shù)值積分計(jì)算中取近似值具有收斂速度快的特性,但Simspon公式在倒數(shù)精度較高的計(jì)算中會(huì)力不從心,本文通過(guò)泰勒定理,將Simpson不等式的代數(shù)精度提高,擴(kuò)大了Simpson不等式的應(yīng)用范圍,并提高了公式的收斂階數(shù),這在復(fù)雜函數(shù)的高精度計(jì)算中具有重大的理論意義.

        (責(zé)任編輯李平)

        2014-5-13

        葉寶存, 134860350248@qq.com。

        O 172

        A

        1674-9545(2014)03-0064-(03)

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