張又林，許宏偉，劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系，河南 鄭州 450015)

Molodtsov 在文獻(xiàn)[1]中提出了軟集的概念，試圖從參數(shù)化的角度為研究不確定性問題提供統(tǒng)一的數(shù)學(xué)框架。由于軟集理論與模糊集理論、粗糙集理論等不確定性理論具有很強(qiáng)的互補(bǔ)性，因此受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注,其中，文獻(xiàn)[2-4]對(duì)軟集的運(yùn)算和相等進(jìn)行了研究，完善了軟集的運(yùn)算體系；文獻(xiàn)[5-8]分別將模糊集、區(qū)間模糊集、Vague集和直覺模糊集與軟集相結(jié)合，提出了模糊軟集、區(qū)間模糊軟集、Vague軟集和直覺模糊軟集；文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步研究了區(qū)間值直覺模糊軟集；文獻(xiàn)[10-11]通過(guò)將軟集和模糊軟集的參數(shù)集由經(jīng)典集推廣到模糊集，定義了具有模糊化參數(shù)的軟集和模糊軟集；文獻(xiàn)[12-17]研究了軟集和模糊軟集在決策中的應(yīng)用。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文通過(guò)將模糊參數(shù)軟集的參數(shù)集由模糊集推廣到區(qū)間值模糊集，定義了區(qū)間值模糊參數(shù)軟集，并研究了區(qū)間值模糊參數(shù)軟集的補(bǔ)、并和交運(yùn)算以及運(yùn)算的性質(zhì)。然后，給出利用區(qū)間值模糊參數(shù)軟集進(jìn)行決策的方法，并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明決策方法的可行性。

1 相關(guān)概念

定義1[1]設(shè)U是一個(gè)集合，P(U)是其冪集，E是一個(gè)參數(shù)集，A?E，U上的一個(gè)軟集定義為有序?qū)?/p>

FA={(x,fA(x))|x∈E,fA(x)∈P(U)}

其中，fA:E→P(U)，并且若x?A時(shí)，fA(x)=Φ。

定義2[10]設(shè)U是一個(gè)集合，P(U)是其冪集，E是一個(gè)參數(shù)集，X表示E上的一個(gè)模糊集，U上的一個(gè)模糊參數(shù)軟集定義為有序?qū)?/p>

μX(x)∈[0,1]}

(2)

其中，fX:E→P(U)，并且滿足若μX(x)=0時(shí)，fX(x)=Φ，而μX:E→[0,1]。

以后用S(U)表示U上所有的軟集,用FPS(U)表示U上所有模糊參數(shù)軟集。

(3)

2 區(qū)間值模糊參數(shù)軟集

以后用IVFPS(U)表示U上所有區(qū)間值模糊參數(shù)軟集。

例1 設(shè)論域?yàn)閁={u1,u2,u3,u4,u5}，參數(shù)集為E={x1,x2,x3,x4}。

例2 設(shè)論域?yàn)閁={u1,u2,u3,u4,u5}，參數(shù)集為E={x1,x2,x3,x4}。

證明：顯然。

證明：易證，略。

證明：易證，略。

證明：易證，略。

例3 設(shè)論域?yàn)閁={u1,u2,u3,u4,u5}，參數(shù)集為E={x1,x2,x3,x4}。

證明：易證，略。

證明：易證，略。

3 決策應(yīng)用

首先，經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考，創(chuàng)建U上的一個(gè)區(qū)間值模糊參數(shù)軟集為

(5)

表1 區(qū)間值模糊參數(shù)軟集的表格形式

(6)

[0.40,0.55]，因此汽車u7為最優(yōu)方案。

通過(guò)對(duì)上述實(shí)例中的決策方法進(jìn)行總結(jié)，我們提出一種利用區(qū)間值模糊參數(shù)軟集進(jìn)行決策的方法。為此，先定義區(qū)間值模糊決策集。

(7)

其隸屬函數(shù)定義為

(8)

(9)

于是，決策方法步驟如下：

[1]Molodtsov D. Soft Set Theory:First Results[J].Computers and Mathematics with Applications,1999,37:19-31.

[2]Maji P K, Biswas R, Roy A R. Soft Set Theory[J].Computers and Mathematics with Applications,2003,45:555-562.

[3]Ali M I, Feng F, Liu X, et al. On some New Operations in Soft Set Theory[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,57:1547-1553.

[4]Qin K, Hong Z. On Soft Equality[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234:1347-1355.

[5]Maji P K, Biswas R, Roy A R. Fuzzy Soft Sets[J].The Journal of Fuzzy Mathematics,2001,9(3):589-602.

[6]Yang X B, Lin T Y, Yang J Y. Combination of Interval-valued Fuzzy Set and Soft Set[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,58:521-527.

[7]Xu W, Ma J, Wang S, et al. Vague Soft Sets and Their Properties[J].Computers and Mathematics with Applications, 2010,59:787-794.

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