安 海,蔣運(yùn)華,安偉光

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

超空泡減阻技術(shù)的應(yīng)用可以使水下運(yùn)動(dòng)體的摩擦阻力大大降低,為水下高速運(yùn)動(dòng)提供不可或缺的條件。而保證超空泡減阻的一個(gè)重要條件就是空泡的穩(wěn)定性,穩(wěn)定的空泡流可以使航行體阻力大大減小,不穩(wěn)定的空泡則會(huì)對(duì)航行體造成損害?？张莘€(wěn)定性的問(wèn)題直接關(guān)系到水下高速運(yùn)動(dòng)體的受力狀態(tài)與運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。因此,研究空泡的穩(wěn)定性具有重要的意義。

目前,針對(duì)超空泡的穩(wěn)定性已經(jīng)開展了許多相關(guān)的研究工作。Serebryakov[1]基于細(xì)長(zhǎng)體理論和誘導(dǎo)模型,提出一種水下高速運(yùn)動(dòng)體軸對(duì)稱超空泡流實(shí)用的計(jì)算方法。Semenenko[2]通過(guò)動(dòng)量定理得到了由重力效應(yīng)引起的自然空泡軸線變形的計(jì)算公式。Buyvol[3]得出了重力效應(yīng)對(duì)空泡截面變形影響的判別準(zhǔn)則。張學(xué)偉等[4-7]對(duì)自然超空泡進(jìn)行了數(shù)值仿真的研究,得出流場(chǎng)壓力、模型速度、模型后體和空化器阻力系數(shù)都會(huì)對(duì)通氣超空泡形態(tài)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段對(duì)超空泡形態(tài)及穩(wěn)定性進(jìn)行研究,得出了重力對(duì)空泡形態(tài)的影響,以及空泡失穩(wěn)的3種方式。蔣運(yùn)華、安偉光等[8]依據(jù)空泡不同閉合形式的氣體泄漏規(guī)則和通氣系統(tǒng),建立了空泡內(nèi)氣體的平衡方程,給出用于計(jì)算運(yùn)動(dòng)體姿態(tài)的動(dòng)力學(xué)方程,分析了局部空泡及超空泡航行狀態(tài)的受力特性。張紀(jì)華等[9]用仿真的方法研究了內(nèi)壓擾動(dòng)對(duì)非定?？张菪螒B(tài)的影響。馮雪梅等[10]研究了軸對(duì)稱模型上的通氣空泡和自然空泡的振蕩特性。上述文獻(xiàn)的研究方法都是通過(guò)Logvinovich獨(dú)立擴(kuò)張?jiān)韀11]建立分析模型,再進(jìn)行研究。本文從Logvinovich獨(dú)立擴(kuò)張?jiān)沓霭l(fā),建立描述空泡流動(dòng)的微分方程,通過(guò)線性化處理得到關(guān)于空泡內(nèi)壓的微振方程,由空泡體積與空泡內(nèi)壓力的函數(shù)關(guān)系可知,空泡形態(tài)的穩(wěn)定與壓力相關(guān),壓力振動(dòng)的發(fā)散將導(dǎo)致空泡形態(tài)的不穩(wěn)定。

1 軸對(duì)稱空泡的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 空泡流的狀態(tài)和參數(shù)假定

圖1 航行體空化器觀察平面

1.2 空泡截面的擴(kuò)張方程

根據(jù)Logvinovich獨(dú)立原理,可有

式中:ρ為液體密度,假設(shè)它不隨時(shí)間而改變;k=k(σ),即k是關(guān)于空化數(shù)σ的函數(shù),在本文中假設(shè)k為常數(shù);Δp(x,t)=p∞-pc(x,t)。p∞為物體前方未擾動(dòng)處液流靜壓,pc(x,t)為空泡內(nèi)壓力。

由于空化器經(jīng)過(guò)任意平面時(shí)為t1時(shí)刻,于是對(duì)式(1)積分可得:

1.3 空泡內(nèi)部氣體方程

空泡內(nèi)氣體的體積表達(dá)式為

(4)

空泡內(nèi)部氣體質(zhì)量的變化方程為

整理得:

式中:n是一個(gè)和熱力學(xué)過(guò)程有關(guān)的系數(shù),在絕熱情況下可取n=1,于是可以得到:

1.4 描述空泡系統(tǒng)的微分方程

假設(shè)在整個(gè)流動(dòng)過(guò)程中液體p∞保持不變,即液體總壓力保持不變;假設(shè)任意時(shí)刻空泡內(nèi)的壓力pc處處相等,即空泡內(nèi)的壓力僅是時(shí)間的函數(shù):pc=pc(t),于是可得壓差:

Δp(x,t)=p∞-pc(t)

(8)

由式(4)可以得到:

(9)

(10)

對(duì)式(10)兩邊求導(dǎo),得:

由于空泡長(zhǎng)度L僅與空化器的位移H(t)有關(guān),是空化器位移H(t)的一元函數(shù),于是由全微分的形式不變性可得:

于是

由式(12)、式(13)可得:

對(duì)式(14)兩邊再求導(dǎo)一次,得:

根據(jù)式(1)和式(8)可得:

由式(2)易得:

進(jìn)而可以得到空泡流系統(tǒng)的微分方程:

2 方程的特殊化和線性化處理

2.1 特殊化處理

2.2 線性化處理

取pc0,Q0,L0,τ0為穩(wěn)態(tài)值,δpc,δQ,δL,δτ為脈動(dòng)值,于是

根據(jù)式(19)可得:

略去二階無(wú)窮小量便得:

nQ0(δpc)+(δQ)pc0=0

兩邊同時(shí)除以δt,便有:

將式(21)兩邊再對(duì)時(shí)間求導(dǎo),可得:

其中,

于是有:

(24)

根據(jù)式(18)和式(23),可得:

(25)

再將式(24)代入式(25),整理可得:

將式(26)代入式(22)并整理可得空泡壓力的振動(dòng)方程:

(28)

為了得到一般性的結(jié)論,將式(28)中的參數(shù)換成無(wú)量綱參數(shù)。由振動(dòng)方程的特點(diǎn),可令pc(t)=eλt,pc(t/T)=eλ(t/T),于是有:

將式(30)化簡(jiǎn)便得到振動(dòng)的特征方程:

再令

通過(guò)整理可得:

由于

因此有

下面將要求的是μ和ω的邊界條件。將λ=μ+jω代入式(32)可以得到:

由參考文獻(xiàn)[11]知,在空泡內(nèi)無(wú)后體時(shí)有

3 計(jì)算結(jié)果與比較

圖2 μ和ω隨變化的規(guī)律

于是得:

再由β的定義可知,在通氣超空泡流動(dòng)中一般β>1,于是得空泡內(nèi)無(wú)后體情況下、穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的動(dòng)力學(xué)相似參數(shù)β的取值范圍:

1<β<2.645

綜上所述,可得出如下結(jié)論:

①可以將動(dòng)力學(xué)相似參數(shù)β作為判定超空泡中氣體振蕩穩(wěn)定性的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

②當(dāng)1<β<2.645時(shí),空泡是穩(wěn)定的;當(dāng)β>2.645時(shí),空泡振蕩將會(huì)發(fā)散;β=2.645是空泡穩(wěn)定的一個(gè)臨界值。

圖3 文獻(xiàn)[13]中μ隨變化的規(guī)律

4 結(jié)論

針對(duì)空泡振動(dòng)方程,提出了一種新的求解空泡穩(wěn)定性判定標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)力學(xué)相似參數(shù)β的取值范圍的方法。該方法針對(duì)復(fù)雜超空泡系統(tǒng)的微分方程求解困難的問(wèn)題,對(duì)方程做了特殊化處理,進(jìn)一步采用線性化手段,通過(guò)軟件仿真,得到空泡振動(dòng)頻率特性以及穩(wěn)定性量化條件。提供了一種研究軸對(duì)稱超空泡流穩(wěn)定性的一般性方法,為工程研究提供有益的參考。

該方法主要應(yīng)用于超空泡流動(dòng)在100 m/s左右的情況。對(duì)于超高速射彈,其速度接近水中聲速(1 470 m/s),流體壓縮效應(yīng)會(huì)對(duì)空泡形態(tài)產(chǎn)生影響;另外,對(duì)于人工充氣情況,Fr數(shù)變小,有后體空泡對(duì)空化數(shù)的變化更加敏感,從而增加了穩(wěn)定控制的難度。

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