郭 躍,劉新學,蔣 鳴

(1.第二炮兵工程大學 初級指揮學院,西安 710025;2.第二炮兵裝備研究院,北京 100089)

彈道導彈在主動段不存在機動變軌等突防措施,而且彈道變化單一[1],因此攔截處于主動段的彈道導彈的作戰(zhàn)效果十分明顯。對主動段彈道導彈的準確跟蹤和定位是攔截主動段彈道導彈的重要一環(huán)[2-3]。申鎮(zhèn)[4]等基于運動方程對單星無源的主動段彈道射向進行了估算,張濤、安瑋[5-7]等給出了基于推力加速度模板的主動段跟蹤算法,但是需要獲得主動段的推力加速度信息。陳映和程臻等[8-9]給出了一種參變量助推彈道導彈時不變運動模型,但也是基于情報數(shù)據(jù)庫為先驗知識,同時還認為導彈主動段的運動模型可以用加加速度模型來近似計算,并采用交互多模型(interacting multiple model,IMM)的不敏卡爾曼濾波(IMM-UKF)算法進行了仿真。Li X R和Jilkov V P給出了全彈道的跟蹤模型和濾波模型,將主動段的跟蹤模型簡化為變加速度模型或重力轉彎模型,但與導彈主動段實際的運動模型相比還存在較大差異[10-12]。本文從彈道導彈主動段的實際運動模型入手,建立了一種基于在線修正的主動段彈道跟蹤模型,該模型可以對導彈參數(shù)進行在線估計,也可用于離線彈道導彈參數(shù)的采集。

1 在線修正主動段彈道模板

設地基雷達坐標系定義與NUE(North-Up- East)坐標系相同,坐標原點經、緯度及當?shù)馗叱虨?φr0,λr0,hr0),則從地基雷達坐標系到地心直角坐標系(earth right angle coordinate system)的轉換矩陣為

(1)

如圖1所示,圖中,Fp為導彈推力,θtra為推力方向與軌跡坐標系x軸的夾角,FR為總空氣動力,θR為總空氣動力與軌跡坐標系x軸的夾角。AT為射面與北向的夾角,θg為導彈在雷達坐標系中的矢徑與其在OradarXradarYradar平面內投影的夾角。在主動段的跟蹤過程中應選擇軌跡坐標系來描述,其原點Otraj為導彈質心,OtrajXtraj軸與導彈速度方向一致,OtrajYtraj位于射擊平面內且垂直于OtrajXtraj,OtrajZtraj符合右手定則。

因此軌跡坐標系到雷達坐標系的轉換矩陣為

1.1 重力模型

設t時刻導彈在雷達坐標系的位置為(xrmyrmzrm)T,則導彈所受引力加速度為[1]

式中:grx,gry,grz分別為重力在雷達坐標系內的各軸的分量;Gm為地心引力常數(shù);rm為導彈在地心直角坐標系內的距離;ω為地球自轉角速度;B0為發(fā)射點大地緯度;φs為導彈在(xrmyrmzrm)T所對應的地心緯度;R0,rx,R0,ry,R0,rz分別為雷達坐標系原點的地心矢徑在雷達坐標系各軸的分量;μ為地球扁率系數(shù);a,e1,αe分別為橢球地球體長半軸,偏心率和地球扁率;(ωrxωryωrz)T為地球自轉角速度在雷達坐標系內的向量表示。

1.2 科氏力和牽連慣性力模型

科氏加速度arc在雷達坐標系的投影為

牽連加速度are在雷達坐標系的投影為

(7)

式中:vrmx,vrmy,vrmz分別為導彈速度在雷達坐標系內各軸向的分量;ωrx,ωry,ωrz分別為地球自轉角速度在雷達坐標系內各軸向的分量。在彈道導彈目標的跟蹤過程中,由科氏力和牽連力引起的位置跟蹤誤差會隨著時間不斷累積,對洲際彈道導彈(ICBM)而言主動段飛行時間在幾百s以上,因此在對主動段飛行的導彈建模時應考慮科氏力和牽連力對導彈加速度的影響。

1.3 空氣動力模型

導彈主動段氣動力的計算由于涉及導彈姿態(tài)、氣動力系數(shù)以及飛行程序角等,因此,在計算導彈氣動力時所建立的六自由度空氣動力模型不僅參數(shù)多、模型復雜,而且估算也很難準確。

1.4 推力模型和導彈質量模型

設i為導彈的級數(shù),一般i小于3級,導彈的實時質量可表示為

(9)

推力FP在主動段對導彈作用力最大,因此可以通過加速度大小的變化準確推算出導彈發(fā)動機是否工作,這樣對導彈當前質量m(tc)的估計就變?yōu)榕c導彈前一時刻的質量m(tc-1)及常數(shù)C有關。

主動段導彈的推力公式為

FP(t)=FP0,i-Se(p0-pH)=FP0,i-ΔFP

(11)

式中:FP0,i為第i級的地面額定推力,Se為主動段發(fā)動機橫截面積,p0為地面的大氣壓,pH為高度H的大氣壓。多級火箭各級推力不同,主動段導彈推力的大小可以視為由地面額定推力FP0和由大氣壓強引起的推力變化ΔFP共同決定。

推力加速度矢量表示為

arP=FP(t)/m(t)

(12)

在射面內推力FP(t)可以視為

式中:θP為推力FP(t)與速度方向的夾角,ΔFP為推力的變化量。因此推力FP(t)的估算就變?yōu)閷P0,θP,ΔFP的估算。

1.5 總的加速模板模型

導彈在主動段的加速度方程可以表示為

am=arP+ara+arc+are+gr

(13)

式中的加速度gr,are,arc可以根據(jù)上述模型準確地計算,推力引起的加速度arP,空氣動力引起的加速度ara是預測的難點。

2 基于交互多模型算法的主動段彈道跟蹤

2.1 主動段彈道跟蹤模型

1)加加速度模型(Jerk)[2-3,7]。

陳映等通過研究多種不同類型彈道導彈的加速度隨時間的變化曲線,認為在主動段導彈的加速度近似為線性,而將加加速度近似為常數(shù)。主動段的狀態(tài)向量可以表示為

主動段導彈跟蹤的Jerk模型為

Xr(k+1)=AXr(k)+W(k)

(15)

式中:T為探測周期,A為轉換矩陣,W(k)為噪聲干擾。

2)當前統(tǒng)計模型(CSM)。

導彈在主動段所受重力、科氏力、牽連慣性力可以通過計算獲得,而推力和空氣動力很難有準確的模型進行跟蹤,因此對推力和空氣動力引起的加速度可以視為修正的瑞利馬爾科夫過程。選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量:

Xr=(xryrzrvrxvryvrzarxaryarz)T

(17)

W(t)=(O1×6ωPax(t)ωPay(t)ωPaz(t))T

(21)

2.2 IMM算法的實現(xiàn)

IMM算法是一種動態(tài)多模型算法,通過設計和建立多種彈道導彈模型的主動段跟蹤模型來構造IMM算法是提高導彈跟蹤精度的有效手段[8,11]。本文根據(jù)彈道導彈主動段的運動特點選擇了CS模型和Jerk模型作為跟蹤模型,同時結合不敏卡爾曼濾波(unscented Kalmar filter,UKF)和不敏粒子濾波(unscented particle filter,UPF)算法構建了IMM-UKF-UPF算法。算法流程圖如圖2所示。

圖2 IMM-UKF-UPF算法流程圖

CS和Jerk跟蹤模型同前,UKF和UPF算法的實現(xiàn),限于篇幅,不做贅述。

3 彈道模板參數(shù)的解算和仿真研究

基于彈道模板的算法一方面可以通過對彈道的量測獲得彈道相關參數(shù),另一方面在實際的測量過程中可以為彈道預測提供參考依據(jù)。算法如圖3所示。圖中,Isp為導彈發(fā)動機的比沖。

圖3 基于彈道模板的算法結構圖

對彈道采用四階Runge-Kutta法進行解算。

設k時刻導彈加速度濾波后的矢量為

寫出k和k+1時刻的向量展開式:

以2級洲際導彈TD2為模型進行算法的仿真驗證[12],其在雷達坐標系內各參數(shù)的變化情況如圖4～圖7和表1所示。

圖4 主動段在全彈道中的示意圖

圖5 雷達探測的主動段各參數(shù)隨時間的變化

圖6 解析方法對主動段各力的估算結果分析

圖7 空氣動力系數(shù)的估算情況分析

表1 基于彈道模板的各常值參數(shù)的估算

把估算參數(shù)得出的在線修正的彈道跟蹤模型(ONPT)與交互多模型方法(IMM)分別結合UPF和UKF算法進行濾波,仿真結果如圖8、圖9所示。

圖8 OLPT與IMM算法跟蹤導彈位置均方差比較圖

圖9 OLPT與IMM算法跟蹤導彈速度均方差比較

從仿真結果來看,基于在線修正彈道模板的主動段彈道跟蹤方法能夠對彈道導彈的各常值參數(shù)進行準確的估計,同時對動態(tài)變化的參數(shù)也能進行比較好的跟蹤,但是導彈級間轉換時(如圖6)對推力和發(fā)動機質量流量的跟蹤稍顯滯后。該方法可以用于平時彈道導彈數(shù)據(jù)的采集和分析并構建準確的彈道模板,也可以對導彈進行在線跟蹤。在對導彈進行跟蹤的過程中,基于在線修正的彈道模板(ONPT)方法與交互多模型(IMM)方法相比有著更好的跟蹤精度,顯然導彈模板的參數(shù)越準確跟蹤效果越好。

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