王 順，陳 敏，郭 慶，程偉浩

（東北大學冶金學院,遼寧 沈陽 110819）

0 引言

功率超聲因其產生的空化效應可提高化學反應速率而廣泛應用于冶金領域，Rayleigh 建立的空化泡動力學模型為超聲空化的研究提供了理論依據(jù)[1-3]。目前，空化泡在功率超聲作用下的研究主要集中于水溶液模擬體系，以直觀的方式觀察空化泡運動過程中尺寸的變化，并不能定量描述空化泡尺寸的演變行為[4-5]。此外，目前關于空化泡的研究主要集中在常溫下水溶液中，或功率超聲作用下對鋼液中夾雜物去除的影響，缺少功率超聲對鋼液中空化泡尺寸演變的影響的系統(tǒng)研究[5-6]。

由于空化泡不是規(guī)則的球形，且受力情況與能量的交換過程較為復雜，目前存在的方程難以準確描述空化泡尺寸的變化規(guī)律[7-8]?；谶@一問題，筆者利用Matlab 軟件運用四階龍格庫塔算法[9]，在RP 方程的基礎上引入能量粘滯損耗及輻射阻尼項，對功率超聲作用下鋼液中單個空化泡尺寸的演變進行研究，分析聲壓幅值、頻率、空化泡初始平衡半徑和氣體多變指數(shù)等因素對空化泡尺寸的影響，探究穩(wěn)態(tài)空化及瞬態(tài)空化條件下的空化效應，旨在得出功率超聲參數(shù)對鋼液中空化泡尺寸演變行為的影響規(guī)律，為探究功率超聲產生的空化效應對鋼液中流動及傳質行為提供理論依據(jù)。

1 模型建立

1.1 基本假設

功率超聲在鋼液中傳播產生的空化泡發(fā)生膨脹與收縮，為了簡化計算做以下假設[10-11]：

1）鋼液為不可壓縮流體，忽略溫度與密度的變化；

2）空化泡為球形，且僅做徑向運動，運動只與徑向軸有關；

3）空化泡的半徑遠小于距鋼包壁的距離；

4）不考慮重力和浮力對空化泡的影響；

5）不考慮空化泡外液體邊界層的化學反應。

1.2 控制方程

Rayleigh-Plesset 方程：

功率超聲作用下鋼液與蒸氣處于相對平衡狀態(tài)，則：

由于空化泡演變過程中存在能量粘滯損耗及輻射阻尼，則：

功率超聲作用在空化泡壁上的壓力：

功率超聲周期T：

式中，μ為粘滯系數(shù)，Pa·s；R為空化泡瞬時半徑，μm；R0為空化泡初始平衡半徑，μm；νl為液相運動粘度，取值0.006 7 m2/s；σ為表面張力系數(shù)，取值1.4 N/m；P0為靜壓力，取值101 325 Pa；PB（t）為空化泡內壓力，取值6 Pa；P∞（t）為無窮遠處壓力，Pa；PA為超聲波聲壓幅值，Pa；Pv為飽和蒸汽壓，Pa；ρl為液相密度，取值7 000 kg/m3；t為功率超聲作用時間，s；T為功率超聲作用周期，s；k 為氣體多變指數(shù)；ω為功率超聲角頻率，rad/s；f為頻率，kHz。

1.3 計算求解

R-P 方程為非線性二階常微分方程，常規(guī)方法無法求解此方程的數(shù)值解，采用四階龍格庫塔法進行迭代求解[4]。

假設時間步長為h，四階龍格庫塔法計算所涉及的方程如下。

其中：

1.4 研究方案

通過改變聲壓幅值、頻率、空化泡初始平衡半徑及氣體多變指數(shù)考察功率超聲參數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響，以空化泡半徑的大小為指標評價空化效應的強弱。通過方程（7）與方程（8）可以得到空化泡半徑，以R/R0值表述空化泡尺寸的變化規(guī)律。

所涉及的參數(shù)及初始條件取值為：聲壓幅值PA取值范圍是1～100P0；超聲頻率f的取值范圍是20～80 kHz；空化泡初始平衡半徑R0的取值范圍為1～50 μm；氣體多變指數(shù)k的取值范圍為1～1.65。其中，氣體多變指數(shù)定義為：在實際熱力內平衡過程中，如果P乘以v的n次方為一個定值，則稱這個過程為多變過程，以k描述氣體多變指數(shù)。

2 結果與討論

2.1 聲壓幅值對鋼液中空化泡半徑演變過程的影響

在頻率為24 kHz，空化泡初始平衡半徑為10 μm，氣體多變指數(shù)為1.35 條件下，探究聲壓幅值對空化泡半徑演變的影響。利用Matlab 軟件計算得到的空化泡半徑與初始平衡半徑的比值（R/R0）隨聲壓幅值變化的曲線如圖1 和圖2 所示。

圖1 1～2P0 范圍內聲壓幅值對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.1 Influence of sound pressure amplitude on cavitation bubble radius in the liquid steel in the range of 1～2P0

圖2 3～100P0 范圍內聲壓幅值對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.2 Influence of sound pressure amplitude on cavitation bubble radius in the liquid steel in the range of 3～100P0

由圖1（a）可見，聲壓幅值在1～1.5P0范圍內變化時，鋼液中空化泡半徑變化趨勢為正弦曲線，隨著聲壓幅值的增加，空化泡的半徑變化幅度增強。當聲壓幅值為2P0時，在nT/2 周期內，空化泡半徑的演變僅表現(xiàn)為振動幅度明顯增強，但在（n+1）T/2 周期內，空化泡半徑演變的過程中出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，但空化泡未發(fā)生崩潰，為穩(wěn)態(tài)空化。聲壓幅值在1～2P0范圍內，空化泡半徑做周期性振蕩，由于聲壓幅值的增加，空化效應對空化泡的作用增強，表現(xiàn)為負壓區(qū)功率超聲對空化泡的拉伸作用增強，空化泡的半徑增大；在正壓區(qū)功率超聲對空化泡的壓縮作用增強，空化泡的半徑減小?？栈莸姆逯蛋霃诫S聲壓幅值的變化如圖1（b）所示，聲壓幅值由1P0增加至1.5P0時，空化泡的峰值半徑由11.18 μm 增加至12.26 μm。當聲壓幅值由1.5P0增加至2P0時，空化泡的峰值半徑增加至17.03 μm，且斜率增加，表明空化泡的峰值半徑急劇增加，而空化泡半徑的劇烈變化易使空化現(xiàn)象由穩(wěn)態(tài)空化向瞬態(tài)空化轉變。因此有利于穩(wěn)態(tài)空化的聲壓幅值為1.5P0。另外，穩(wěn)態(tài)空化時產生的空化泡振蕩周期較長，持續(xù)上浮，可在鋼液鈣處理過程中有效促進夾雜物上浮[10]。

由圖2（a）可見，聲壓幅值在3～100P0范圍變化時，隨著聲壓幅值的增加，空化泡半徑與初始平衡半徑的比值增加，空化效應增強?？栈菡駝又芷诳s短，空化泡的半徑變化趨勢為非正弦曲線，空化泡經(jīng)歷若干次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰，為瞬態(tài)空化。另外，隨著聲壓幅值的增大，空化泡經(jīng)歷的膨脹與收縮至崩潰次數(shù)逐漸減小，當聲壓幅值為10P0時，空化泡經(jīng)歷3 次膨脹與收縮后發(fā)生崩潰，而當聲壓幅值大于30P0時，空化泡在經(jīng)歷2 次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰?？栈荼罎⑶芭蛎浥c收縮過程的減少亦表明空化效應的增強。由圖2（b）可見，聲壓幅值在3～30P0范圍內，空化泡的峰值半徑先增加后減小，在聲壓幅值由3P0增加至10P0時，空化泡的峰值半徑由33.37 μm 增加至57.18 μm，當聲壓幅值增加至30P0時，空化泡的峰值半徑減小為34.86 μm。隨后，當聲壓幅值由30P0增加至100P0時，空化泡的峰值半徑增加至65.78 μm?？栈莘逯蛋霃降脑黾佑欣诋a生瞬態(tài)空化，但過高的聲壓幅值脫離工業(yè)實際操作過程。且聲壓幅值為10P0與80P0條件下所對應的空化泡峰值半徑分別為57.18 μm 與58.02 μm，這表明10P0與80P0條件下所產生的空化效應強度基本一致，考慮工業(yè)實際應用，瞬態(tài)空化適宜的聲壓幅值為10P0。另外，由于瞬態(tài)空化條件下空化泡產生至崩潰所持續(xù)的時間較短，且較高的聲壓幅值可加速空化泡的運動，可有效提高鋼液內的傳質速率。

2.2 穩(wěn)態(tài)空化（1.5P0）條件下各參數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

2.2.1 初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖3（a）可見，空化泡初始平衡半徑在5～50 μm的范圍內變化時，隨著空化泡初始平衡半徑增大，空化泡膨脹與收縮的程度增強。這是由于初始平衡半徑增大，可提高空化泡與鋼液的接觸面積，促進空化泡對周圍能量的吸收，導致空化泡的峰值半徑增大。當空化泡初始平衡半徑為50 μm 時，空化泡半徑變化周期延長，這是由于空化泡初始平衡半徑較大時，需要更充足的時間吸收能量，導致空化泡膨脹與收縮周期增加。由圖3（b）可見，隨著空化泡半徑的增加，空化泡的峰值半徑增加，當空化泡初始平衡半徑由5 μm 增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑由5.35 μm 增加至141.75 μm，與空化泡初始平衡半徑相比，空化泡的峰值半徑分別增加了0.35 μm 和91.75 μm。因此，為提高穩(wěn)態(tài)空化條件下的空化效果，空化泡初始平衡半徑應控制在50 μm。

圖3 5～50 μm 范圍內初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.3 Influence of initial equilibrium radius on cavitation bubble radius in the molten steel in the range of 5～50 μm

2.2.2 頻率對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖4（a）可見，頻率在20～32 kHz 范圍內變化時，空化泡半徑變化趨勢基本一致，此頻率范圍內對空化泡半徑的影響較小。當頻率為50 kHz 和80 kHz 時，空化泡半徑的振蕩幅度提高，表明較高的頻率可提高空化泡的半徑，且在一個周期內空化泡半徑出現(xiàn)多次振蕩。圖4（b）可見，隨著功率超聲頻率的增加，空化泡的峰值半徑增大。當功率超聲的頻率由20 kHz 增加至80 kHz 時，空化泡的峰值半徑由11.21 μm 增加至12.29 μm，與功率超聲頻率增加60 kHz 的幅度相比，空化泡的峰值半徑僅增加了1.08 μm。說明功率超聲的頻率對空化泡半徑演變的影響較小。

圖4 20～80 kHz 范圍內頻率對空化泡半徑的影響Fig.4 Influence of frequency on cavitation bubble radius in the range of 20～80 kHz

2.2.3 氣體多變指數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖5（a）可見，隨著氣體多變指數(shù)k的增加，空化泡膨脹與收縮的周期基本保持一致，空化泡半徑的振蕩幅度逐漸降低，且同一周期內的振蕩次數(shù)逐漸減少，說明氣體多變指數(shù)的增加對空化泡半徑產生負面影響。由圖5（b）可見，隨著k值的增加，空化泡的峰值半徑逐漸減小。當氣體多變指數(shù)由1增加至1.65 時，空化泡的峰值半徑由12.68 μm 減小至11.08 μm，表明增加氣體多變指數(shù)將削弱功率超聲的空化強度。主要原因在于單原子氣體空化泡的峰值半徑大于多原子氣體，且振蕩周期基本一致。上述結論與多變指數(shù)較小的單原子氣體的空化效應優(yōu)于多原子氣體的結論相吻合[6]。

圖5 氣體多變指數(shù)對空化泡半徑的影響Fig.5 Influence of gas multiplicity index on cavitation bubble radius

2.3 瞬態(tài)空化（10P0）條件下各參數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

2.3.1 初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖6（a）可見，與穩(wěn)態(tài)空化條件下空化泡半徑的變化曲線相比，空化泡半徑變化幅度明顯提高。當空化泡初始平衡半徑為5 μm 時，空化泡僅經(jīng)歷2 次膨脹與收縮的過程后發(fā)生崩潰。而空化泡初始平衡半徑為10、15 和20 μm 時，空化泡膨脹與收縮次數(shù)增加，分別為3、5 和8 次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰。當空化泡初始平衡半徑為50 μm 時，空化泡經(jīng)歷13 次膨脹與收縮過程后發(fā)生崩潰，且空化泡膨脹幅度明顯減小，表明隨著空化泡初始平衡半徑的增加，空化效應減弱。另外，空化泡初始平衡半徑為5 μm 時，空化泡發(fā)生崩潰時峰值半徑達到423.01 μm，空化泡最大半徑膨脹率為846%，而崩潰時膨脹率越大，釋放的能量越多，空化效應增強。由圖6（b）可見，空化泡的峰值半徑隨著初始平衡半徑的增加先增大后減小。當空化泡初始平衡半徑由5 μm增加至20 μm 時，空化泡的峰值半徑由423.01 μm增加至896.12 μm，此時的膨脹率為448%；當初始平衡半徑增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑減小到544.16 μm，此時空化泡膨脹率為108.8%。半徑由5 μm 增大至20 μm 過程中峰值半徑不斷增加，但發(fā)生崩潰時的膨脹率由846%降低為448%，瞬態(tài)空化效應減弱。因此，空化泡初始平衡半徑為5 μm 時有利于發(fā)生瞬態(tài)空化。

圖6 5～50 μm 范圍內初始平衡半徑對鋼液中空化泡半徑的影響Fig.6 Influence of initial equilibrium radius on cavitation bubble radius in the molten steel in the range of 5～50 μm

2.3.2 頻率對鋼液中空化泡半徑的影響

由圖7（a）可見，頻率在20～28 kHz 范圍內變化時，空化泡經(jīng)歷2 次膨脹與收縮的過程后發(fā)生崩潰，且發(fā)生崩潰時空化泡半徑的膨脹率逐漸減小。頻率為32、50 和80 kHz 時，空化泡分別經(jīng)歷4、5和8 次膨脹與收縮過程后崩潰。瞬態(tài)空化過程中，發(fā)生崩潰所經(jīng)歷的膨脹與收縮次數(shù)越多，其空化強度越弱。由圖7（b）可見，在低頻率20～28 kHz 范圍內，隨著頻率的增加，空化泡的峰值半徑由488.05 μm 減小至354.43 μm；當頻率為32 kHz 時，空化泡的峰值半徑為593.78 μm，為各頻率條件下半徑最大值，但其膨脹與收縮次數(shù)較多，空化泡崩潰時間較長，空化效應減弱。當頻率為80 kHz 時，空化泡的峰值半徑減小至172.65 μm。表明高頻率的條件下空化泡膨脹與收縮時間延長，空化核未能及時發(fā)生崩潰，空化效應減弱。因此，為提高超聲的瞬態(tài)空化強度，功率超聲的頻率應選擇為20 kHz。

圖7 20～80 kHz 范圍內頻率對空化泡半徑的影響Fig.7 Influence of frequency on cavitation bubble radius in the range of 20～80 kHz

2.3.3 氣體多變指數(shù)對鋼液中空化泡半徑的影響

圖8（a）可見，瞬態(tài)空化條件下，空化泡僅經(jīng)歷1 次膨脹與收縮過程即發(fā)生崩潰，且隨著氣體多變指數(shù)k的增加，空化泡崩潰所經(jīng)歷的周期基本一致，表明瞬態(tài)空化條件下氣體多變指數(shù)對空化泡膨脹與收縮過程影響較小。主要原因在于瞬態(tài)空化頻率高、能量大，空化泡崩潰過程中單原子及多原子氣體的作用性能減弱，對空化效應強弱的影響并不明顯。由圖8（b）可見，隨著氣體多變指數(shù)的增加，空化泡的峰值半徑逐漸減小。當氣體多變指數(shù)由1 增加至1.65 時，空化泡的峰值半徑由18.22 μm 減小至17.87 μm，僅減小了0.35 μm，亦表明氣體多變指數(shù)對瞬態(tài)空化強弱的影響較小。但考慮能量的吸收與釋放過程，多變指數(shù)較低的單原子氣體有利于產生瞬態(tài)空化。

圖8 氣體多變指數(shù)對空化泡半徑的影響Fig.8 Influence of gas multiplicity index on cavitation bubble radius

3 結論與展望

1）功率超聲作用下引起鋼液中空化泡的膨脹與收縮，不同聲壓幅值可產生不同的空化效應。聲壓幅值在1～2P0的范圍內產生穩(wěn)態(tài)空化，可促進夾雜物上浮過程；聲壓幅值在3～100P0的范圍內產生瞬態(tài)空化，可加速鋼液內的傳質過程。

2）穩(wěn)態(tài)空化條件下，隨著頻率和初始平衡半徑的增加，空化泡的峰值半徑增大。初始平衡半徑由5 μm 增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑由5.35 μm增加至141.75 μm；頻率由20 kHz 增加至80 kHz 時，空化泡的峰值半徑由11.45 μm 增加至12.29 μm。

3）瞬態(tài)空化條件下，頻率為20 kHz 時，空化泡經(jīng)歷2 次膨脹與收縮過程后崩潰，對應空化泡的峰值半徑為488.05 μm。初始平衡半徑對空化泡尺寸的影響顯著，由5 μm 增加至20 μm 時，空化泡的峰值半徑由423.01 μm 增加至896.12 μm，當初始平衡半徑增加至50 μm 時，空化泡的峰值半徑減小至544.16 μm。

4）氣體多變指數(shù)對穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)空化條件下空化泡尺寸的影響較小，但氣體多變指數(shù)較小的單原子氣體產生的空化效應優(yōu)于多原子氣體。當氣體多變指數(shù)由1 增加至1.65 時，空化泡的峰值半徑僅由18.22 μm 減小至17.87 μm。

5）本研究成果可為探究功率超聲產生的空化效應對鋼液中流動及傳質行為提供理論依據(jù)，但空化泡的體積、密度及空化泡之間的作用對空化泡膨脹與收縮產生影響，后續(xù)需進一步修正空化泡的尺寸變化方程，并結合實際設計試驗，對模擬結果進行驗證。