楊 碩，謝文海，霍 颯

(大連大學 物理科學與技術(shù)學院, 遼寧 大連 116622)

Mathematica在理論力學教學中的應(yīng)用

楊 碩，謝文海，霍 颯

(大連大學 物理科學與技術(shù)學院, 遼寧 大連 116622)

理論力學是很多理工科專業(yè)開設(shè)的一門必修基礎(chǔ)課。理論力學知識內(nèi)容具有高度的抽象性特點，涉及復(fù)雜的高等數(shù)學計算。將Mathematica軟件引入理論力學教學能簡化復(fù)雜的高數(shù)計算，方便物理圖像展示，優(yōu)化教學過程并提高教學效果。以輕質(zhì)彈簧連接的兩質(zhì)點的運動和歐拉角為例，討論Mathematica的符號數(shù)值計算和可視化實現(xiàn)在理論力學教學中的運用，探討如何運用Mathematica軟件輔助理論力學教學。

Mathematica;理論力學;教學

0 引言

理論力學[1～2]是研究物體機械運動基本規(guī)律的科學。理論力學課程是物理、機械、建筑等理工類專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課。理論力學相關(guān)物理問題的求解多以高等數(shù)學為基礎(chǔ)工具，例如質(zhì)點運動描述通常是質(zhì)點坐標關(guān)于時間的二階常微分方程組；剛體的轉(zhuǎn)動動能和角動量涉及慣量張量的矩陣運算。這些問題的求解需要嚴密的推導(dǎo)和復(fù)雜的數(shù)學運算。學生普遍感覺理論力學課程學習枯燥且難度大。學生在理論力學問題求解和理論力學課程學習中表現(xiàn)出兩類傾向,一類學生對物理背景理解較深刻，但厭煩繁瑣的高數(shù)推導(dǎo)計算;另一類學生過于專注于數(shù)學推導(dǎo)計算，對物理圖像缺乏理解。為增強學生學習興趣、直觀展示物理情景，優(yōu)化教學過程，很多教師在理論力學教學實踐中采用Flash,Matlab,Mathematica等計算機軟件輔助教學。Mathematica功能強大，將其運用到理論力學的教學中將有助于提高教學效率和效果[3～6]。

Mathematica[7]是美國Wolfram Research公司開發(fā)的數(shù)學軟件，1988年首次發(fā)布，是目前世界上使用最廣泛的數(shù)學軟件之一。Mathematica功能強大，使用方便，除普通數(shù)值和符號計算，還能進行微分、積分、向量、矩陣的運算以及方程式求解、運算式的化簡和展開、因式分解、數(shù)值分析等。Mathematica的繪圖功能強大，可以繪出精美的二維和三維圖形，也可以進行交互式圖形操作，即時顯示圖形隨參數(shù)的變化。Mathematica核心設(shè)計的通用性使其應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴大,目前被廣泛地用于數(shù)學、物理、工程、生物、金融、統(tǒng)計、商業(yè)分析、社會學等領(lǐng)域。Mathematica在科研和教育中起到了重要的作用，許多科技論文的研究基于Mathematica編程運算，很多產(chǎn)品的開發(fā)和應(yīng)用中借助了Mathematica的強大功能，很多教育展示項目和動畫基于Mathmatica平臺。此外，Mathematica的文檔中心、網(wǎng)絡(luò)資源平臺上擁有大量的函數(shù)運用實例和豐富的展示作品，還有各類專業(yè)應(yīng)用程序包，方便各類人員使用。

與常用的計算語言和動畫設(shè)計語言相比，Mathematica輔助理論力學教學和研究具有很多優(yōu)點。與Fortran和C/C++語言相比，Mathematica能處理復(fù)雜的符號運算，編譯簡單，同時繪圖功能和交互功能強大，還可以制作動畫。與Matlab軟件相比，Mathematica符號運算能力更強，程序書寫更接近自然語言和數(shù)學符號。與Flash等動畫制作軟件相比，Mathematica動畫制作簡單，基于科學計算結(jié)果，動畫展示科學準確。此外，Mathematica還可以與C/C++等程序進行交互操作。運用Mathematica的符號數(shù)值運算、繪圖、可視化交互等功能輔助理論力學教學, 能大大簡化計算，清晰展示物理圖像，有助于創(chuàng)設(shè)物理情景，優(yōu)化教學效果。

本文以輕質(zhì)彈簧連接的兩質(zhì)點的運動和歐拉角為例，討論運用Mathematica 的符號數(shù)值計算，繪圖和可視化交互，輔助理論力學教學。

1 Mathematica符號運算在理論力學教學中應(yīng)用

理論力學中，落體偏東運算，哈密頓正則變換和牛頓第二定律微分求解等都需要運用高等數(shù)學知識解二階常微分方程，尤其是二元二階方程組，計算繁瑣復(fù)雜，耗時較多，有的甚至無法求解析解。運用Mathematica的符號和數(shù)值運算功能可以大幅簡化計算，也可作為手工計算的檢驗。在此，我們以輕質(zhì)彈簧下兩質(zhì)點的運動為例，探討Mathematica符號運算在理論力學教學中應(yīng)用。

例:兩個質(zhì)量都為m的質(zhì)點A和質(zhì)點B用一根自然長度為L的輕質(zhì)彈簧相連，置于一光滑水平桌面上，如圖1所示，彈簧的勁度系數(shù)為k.開始時刻，兩質(zhì)點處于靜止狀態(tài)，彈簧呈自然長度L，而后，質(zhì)點B沿AB方向受到一大小為kL的恒力作用，分別求出質(zhì)點A和質(zhì)點B的運動規(guī)律。

圖1 輕質(zhì)彈簧連接的兩質(zhì)點示意圖

解：設(shè)A點的運動位移x(t)，B點的運動位移y(t)，以A質(zhì)點為坐標原點，由題可知初始時刻x(0)=0,y(0)=L,x′(0)=0,y′(0)=0,對A，B受力分析得，

(1)

上述為較復(fù)雜的二元二階常微分方程公式組，運用高等數(shù)學求解計算繁瑣。Mathematica本身具有強大運算功能，可以輸入命令DSolve來解決微分方程及微分方程組，使求解變得簡單，程序也直觀簡單。

如下所示，本文在Mathematica程序中對上例進行求解，

In[1]:=DSolve[{m*x″[t]-k*y[t]+k*L==0,m*y″[t]-k*x[t]-k*2L=0,

x[0]==0,y[0]==L,x′[0]==0,y′[0]==0},{x[t],y[t]},t]

解得的結(jié)果為指數(shù)形式，運用Mathematica內(nèi)置的指數(shù)三角轉(zhuǎn)換命令ExpToTri可以把結(jié)果的指數(shù)形式轉(zhuǎn)化成常用的三角函數(shù)形式。并可用FullSimplify進一步簡化。

根據(jù)求得的質(zhì)點A和B位移隨時間變化的函數(shù)x(t),y(t).運用求導(dǎo)命令對x(t) 求導(dǎo)，輸入

2 Mathematica的可視化實現(xiàn)與可視交互在理論力學教學中的應(yīng)用

圖2 A質(zhì)點速度曲線(左圖)，B質(zhì)點速度曲線(右圖)

可通過Show命令將A、B兩質(zhì)點運動曲線放在一起對比，如圖3所示。

圖3 A，B兩質(zhì)點速度曲線對比

圖4 A，B兩質(zhì)點加速度曲線對比

同理，也可以求出加速度公式及其運動曲線，列舉加速度曲線如圖4所示。

歐拉角用來描寫剛體在三維空間中的一般轉(zhuǎn)動，它是3個獨立角參量，由章動角θ、旋進角(即進動角)ψ和自轉(zhuǎn)角Φ組成[1～2]。剛體轉(zhuǎn)動有關(guān)教學中，歐拉角是重點和難點，它的理解需要很強的空間想象力，目前缺乏簡單有效的教具幫助學生理解。而Mathematica能夠建立很好的演示模型，直觀展示剛體的轉(zhuǎn)動和歐拉角的變化[8]。

圖5 歐拉角變化示意圖

如圖5.1所示，選取一空間固定坐標系oxyz和另一固定在剛體上的坐標系ox'y'z'，兩坐標系原點重合于固定點o.如圖5.2-5.4所示，歐拉角θ和Φ確定oz'軸方向，θ是oz軸和oz' 軸夾角，Φ是oz軸與oxy平面和ox'y'平面交線的夾角，ψ確定x'-y'平面繞z'軸轉(zhuǎn)動角。圖5.5和5.6展示從不同方位觀測到的剛體的轉(zhuǎn)動。通過Mathmeatica演示程序，我們能夠直觀清晰的觀察θ，Φ和ψ三個角度參量的變化，完整的描述剛體繞基點的轉(zhuǎn)動。

圖6 角頻率ω的改變的動態(tài)演示

此外，還可以應(yīng)用Mathematica的繪圖、動畫、聲音功能，創(chuàng)設(shè)多媒體物理教學情境，改革傳統(tǒng)的教學模式，使物理現(xiàn)象和過程可視、可控，收到傳統(tǒng)教學手段難以達到的教學效果。

3 結(jié)論

本文通過輕質(zhì)彈簧作用下兩質(zhì)點運動，歐拉角動態(tài)演示兩個實例展示了Mathematica具有強大的數(shù)值、符號計算功能和強大的圖形繪制、可視交互操作能力，研究探討了如何通過Mathmatica軟件輔助理論力學教學。在理論力學的教學實踐過程中，教師通過該軟件可以將理論力學計算和結(jié)果直觀地展現(xiàn)出來，幫助學生理解理論力學的運動過程、物理概念和規(guī)律，激發(fā)學生對理論力學的探究和學習。Mathematica軟件在理論力學教學中作用積極，能夠優(yōu)化教學設(shè)計，促進教學質(zhì)量的提高。

[1]周衍柏.理論力學[M].北京: 高等教育出版社，2009.

[2]陳世民.理論力學簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]程和平,劉仁臣,許 媛.Mathematica在理論力學教學中的可視化作用[J].黃山學院學報,2008, 10(5)：26～29.

[4]李競武，胡 文.Mathematica輔助物理教學直觀化[J]. 中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2010,(35): 196 ～ 198.

[5]于鳳梅,王克強,張 麟.運用Mathematica軟件輔助大學物理教學[J].中國現(xiàn)代教育裝備,2011,(15): 29 ～ 31.

[6]單傳家，陳入云，劉繼兵,等.Mathematica 8.0.1中文版在量子力學教學中的應(yīng)用[J].湖北師范學院學報(自然科學版),2012,32(4):92～96.

[7]Wolfram S.MATHEMATICA[M].赫孝良,周義倉,譯．西安: 西安交通大學出版社，2002.

[8]Euler Angles.http://demonstrations.wolfram.com/EulerAngles/.2013—9—24.

ApplicationsofMathematicainteachingandlearningoftheoreticalmechanics

YANG Shuo, XIE Wen-hai, HUO Sa

Theoretical mechanics is a basic class for many majors of theory and engineering. The content of theoretical mechanics is highly abstract, relevant to complicated calculations in mathematics. It is helpful to present physical images, optimize teaching process and improve teaching and learning with Mathematica software. In this paper, we discussed the symbolic and numerical calculations, visual implementation in Mathematica via the examples of the motion of two particles connected with one light spring and Euler angles. And we discussed how to aid teaching and studying of theoretical mechanics using Mathematica software.

mathematica;theoretical mechanics;teaching and learning

2013—09—25

大連大學大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目(2013260)“運用Mathematica輔助理論力學教學的研究”資助.

楊碩(1982— )，男，遼寧省錦州人，博士，副教授，主要從事粒子物理理論和唯象研究.

O31,O4-39

A

1009-2714(2014)01- 0082- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.017