朱振國

一、經(jīng)典結(jié)論一

若直線AB和橢圓+=1，（a>b>0）交于A，B兩點(diǎn)，C為A，B中點(diǎn)，如圖1，則KAB·KOC=-，對(duì)雙曲線-=1有KAB·KOC=. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+y2=1. 如圖2，斜率為k（k>0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=-3于點(diǎn)D（-3，m）. （Ⅰ）求m2+k2的最小值；（Ⅱ）若OG=OD·OE，（i）求證：直線l過定點(diǎn)；（ii）試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)三角形ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說明理由.

【解析】 （Ⅰ）略

（Ⅱ）（i）證明：由題意知：n>0，因?yàn)橹本€OD的方程為y=-x，得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為yG=，又因?yàn)閥E=，yD=m，且OG=OD·OE，所以=m·，又由（Ⅰ）知：m=，所以解得k=n，所以直線l的方程為l：y=kx+k，即有l(wèi)：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，與實(shí)數(shù)k無關(guān)，所以直線l過定點(diǎn)（-1，0）. （ii）假設(shè)點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則有三角形ABG的外接圓的圓心在x軸上，又在線段AB的中垂線上，由（i）知點(diǎn)G

二、經(jīng)典結(jié)論二

若直線L和橢圓+=1，（a>b>0）交于AB兩點(diǎn)且OA⊥OB，則O到L的距離OP=在雙曲線-=1（b>a>0）. 如圖3，設(shè)橢圓E：+=1（a，b>0）過M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍，若不存在說明理由.

解：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m解方程組y=kx+m，