福建省廈門第一中學(xué) (郵編：361003)

1 不同版本教科書(shū)對(duì)立幾內(nèi)容的安排

對(duì)于立幾內(nèi)容的安排，不同版本教科書(shū)有不同的意圖，筆者有幸使用過(guò)多種版本的教科書(shū)，讓我們一起欣賞并審視不同版本教科書(shū)所折射的理念，以便有效開(kāi)展解題教學(xué)．

1．1 北師大版教科書(shū)的安排

對(duì)于立體幾何的教學(xué)內(nèi)容，2003年北京師范大學(xué)出版社出版的全日制高級(jí)中學(xué)課本(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(下)(以下簡(jiǎn)稱文[1])是這樣安排的.目錄如下：

第十章 立體幾何

§1 平面的基本性質(zhì)(1．1 平面的基本性質(zhì)；1．2 基本性質(zhì)的推論)

§2 空間的平行關(guān)系(2．1 空間的平行直線與異面直線；2．2 直線與平面平行；2．3 平面與平面的平行關(guān)系；2．4 平行射影)

§3空間向量(3．1 空間向量及其線性運(yùn)算；3．2 共線向量與共面向量；3．3 空間向量分解定理；3．4 兩個(gè)向量的內(nèi)積；3．5 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算)

§4 垂直、夾角和距離(4．1 直線與平面垂直的判定；4．2 直線垂直于平面的性質(zhì)與鏡面對(duì)稱；4．3 正射影與三垂線定理；4．4 直線與平面所成的角；4．5 二面角、平面與平面垂直；4．6 距離)

§5簡(jiǎn)單多面體和球(5．1 棱柱；5．2 棱錐；5．3 直棱柱直觀圖和正棱錐直觀圖的畫法；5．4 正多面體；5．5 球)

1．2 大綱版教科書(shū)的安排

對(duì)于立體幾何的教學(xué)內(nèi)容，2004年人民教育出版社出版的全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(下B)(以下簡(jiǎn)稱文[2])是這樣安排的，目錄如下：

第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體

一 空間的直線與平面(9．1平面的基本性質(zhì)；9．2空間的平行直線與異面直線；9．3直線和平面平行與平面和平面平行；9．4直線與平面垂直)

二 空間向量(9．5空間向量及其運(yùn)算；9．6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算)

三 夾角與距離(9．7直線與平面所成的角與二面角；9．8距離)

四 簡(jiǎn)單多面體與球(9．9棱柱與棱錐；9．10球)

1．3 新課標(biāo)人教A版的安排

對(duì)于立體幾何的教學(xué)內(nèi)容，2007年人民教育出版社的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)(必修A版)數(shù)學(xué)2(以下簡(jiǎn)稱文[3])是這樣安排的，目錄如下：

第一章 空間幾何體

1．1空間幾何體結(jié)構(gòu)；1．2空間幾何體的三視圖和直觀圖；1．3空間幾何體表面積與體積

第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2．1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；2．2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)；2．3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

第三章 直線與方程

3．1直線的傾斜角與斜率；3．2直線的方程；3．3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

第四章 圓的方程

4．1圓的方程；4．2直線、圓的位置關(guān)系；4．3空間直角坐標(biāo)系

與此同時(shí)，新課標(biāo)人教A版教科書(shū)將空間向量的有關(guān)應(yīng)用特別安排在另一個(gè)模塊，即2007年人民教育出版社的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)(選修)數(shù)學(xué)2-1(以下簡(jiǎn)稱文[4])是這樣安排的.目錄如下：

第三章 空間向量與立體幾何

3．1空間向量及其運(yùn)算；3．2立體幾何中的向量方法

1．4 不同版本教科書(shū)折射的理念

不難看出文[1]與文[2]對(duì)立幾教學(xué)內(nèi)容的安排，盡管從表面上看有些差異，其本質(zhì)是一致的，都是將空間向量穿插在立幾中間，其理念就是為了運(yùn)用空間向量知識(shí)來(lái)解決立幾中平行、垂直、夾角和距離問(wèn)題，用坐標(biāo)運(yùn)算即代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題．說(shuō)到底文[1]與文[2]就是直接把空間向量作為解決立幾問(wèn)題的工具，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)空間圖形性質(zhì)的研究代數(shù)化，用向量代數(shù)方法研究空間圖形的性質(zhì)．

立幾內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)重要組成部分，新課標(biāo)教科書(shū)對(duì)立幾作了重大的結(jié)構(gòu)調(diào)整和教學(xué)要求改變．老實(shí)說(shuō)，剛剛使用文[3]時(shí)，中學(xué)一線不少教師難以理解文[3]中對(duì)立幾教學(xué)內(nèi)容的安排．按常理，文[3]中的“4．3空間直角坐標(biāo)系”應(yīng)該安排在第二章的后面，即“2．4空間直角坐標(biāo)系”，可出乎所有教師的意料的是將“空間直角坐標(biāo)系”安排在解幾中的圓的位置關(guān)系后面，這的確讓人費(fèi)解！更讓人難以理解的是：既然引入空間直角坐標(biāo)系，按理說(shuō)，應(yīng)該緊接著安排空間向量的應(yīng)用，可是卻安排在另一個(gè)模塊，即選修2-1(文[4])，為何這樣安排呢？有何目的呢？折射何種理念呢？

我個(gè)人認(rèn)為文[3]、文[4]之所以這樣安排，主要有以下兩點(diǎn)考慮，其一，作為平面圖形中最簡(jiǎn)單的直線與圓從初中的純粹“形”上研究，即定性研究，到了高中需要定量研究，怎樣定量呢？自然從代數(shù)上考查，因此建立平面直角坐標(biāo)系，即坐標(biāo)法．坐標(biāo)法就是以坐標(biāo)系為橋梁，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)精確的代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，這是解幾的精髓．正因?yàn)槠綆讍?wèn)題可以借助平面直角坐標(biāo)系，那么對(duì)于空間幾何圖形當(dāng)然可以借助空間直角坐標(biāo)系來(lái)加以精確研究成為理所當(dāng)然；其二，文[3]、文[4]之所以沒(méi)有象文[1]、文[2]那樣將空間向量知識(shí)插在立幾教學(xué)內(nèi)容中間，是在發(fā)出一個(gè)強(qiáng)烈的信號(hào)：空間向量坐標(biāo)運(yùn)算并不是立幾教學(xué)中必備知識(shí)點(diǎn)，更不是非要借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)替代立幾中的邏輯推理，而是把向量坐標(biāo)運(yùn)算作為論證立幾問(wèn)題中的一種有益的方法而已，是作為論證立幾問(wèn)題方法的一種補(bǔ)充．正是因?yàn)槌鲇谶@樣的理念，因此文[3]沒(méi)有象文[1]與文[2]那樣立即舉例應(yīng)用向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)論證空間中的平行、垂直及其求解角度、距離等．縱觀文[3]、文[4]的布局，不難看出它們出發(fā)點(diǎn)大相徑庭．文[1]與文[2]是從局部——整體、從微觀——宏觀、從零部件——整體的安裝，而文[3]定位于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象能力和推理論證能力，在處理方式上則是按照“整體——局部——整體”的理念與原則來(lái)展開(kāi)，突出直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等探究研究幾何的過(guò)程．因此文[3]則是先從生活經(jīng)驗(yàn)入手，讓學(xué)生回顧生活中的空間幾何圖形，從整體到局部、從直觀感知入口，淡化邏輯證明，強(qiáng)調(diào)直觀感知、倡導(dǎo)操作確認(rèn)、適當(dāng)思辨論證、有效度量計(jì)算．這樣的安排與理念讓學(xué)生更容易邁進(jìn)空間幾何的“門檻”、更能培養(yǎng)空間想象能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲．

2 新課標(biāo)下如何開(kāi)展立幾例題教學(xué)

人教版教科書(shū)主編章建躍先生在多種場(chǎng)合、多次講座、多篇文章(如文[5])中語(yǔ)重心長(zhǎng)地談到有效的解題教學(xué)，強(qiáng)調(diào)解題教學(xué)應(yīng)該在概念上狠下功夫，當(dāng)然首先應(yīng)該順應(yīng)課改理念，吃透教材意圖，正如波利亞指出：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)側(cè)面，通過(guò)這道試題就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．”

2．1 一個(gè)例題

如圖1所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面垂直且相交于AB，在對(duì)角線AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP=DQ．求證：PQ∥平面BCE．

圖1

2．2 構(gòu)思過(guò)程

證法1過(guò)P在平面ABEF內(nèi)作PM∥AB交BE于M，過(guò)Q在平面ABCD內(nèi)作QN∥AB交BC于N，連接MN，如圖2所示． 由于正方形ABCD與正方形ABEF有公共邊AB并結(jié)合已知條件可得

圖2

由上述作圖過(guò)程便知PM∥AB∥QN，利用三角形相似性質(zhì)可得

?PM=QN?

?PMNQ為平行四邊形?PQ∥MN．

依據(jù)線面平行的判定定理可得

證法2連接AQ并延長(zhǎng)AQ交線段BC(或延長(zhǎng)線)于K，連接EK，如圖3所示，則由已知條件并結(jié)合證法1可得

?

?PQ∥EK.

圖3

依據(jù)線面平行的判定定理可得

PQ∥平面BCE．

評(píng)注證法1、證法2是在平面BCE內(nèi)具體尋找到與PQ平行的直線，也就是展示具體的操作過(guò)程，那么對(duì)于有些立幾試題確實(shí)很難或者說(shuō)短時(shí)間內(nèi)很難尋覓到這樣的平行線，怎么辦呢？此時(shí)我們轉(zhuǎn)換思維方式，即將該直線妥善“安頓”在一個(gè)平面內(nèi)，也就是尋找(構(gòu)造)一個(gè)平面，使得面面平行，這種“曲線救國(guó)”的方法非常管用，請(qǐng)看：

證法3過(guò)P作PM∥EB交AB于M，連接QM，如圖4所示．由相似性質(zhì)可得

?QM∥AD∥BC．

圖4

依據(jù)線面平行的判定定理可得

PM∥面BCE，

再依據(jù)面面平行的判斷定理可得

?QM∥BE，

PM∥AD∥BC．(下同證法3)

圖5

評(píng)注證法3、證法4關(guān)鍵在于依據(jù)題意和圖形構(gòu)建新的平面而繞過(guò)尋找具體的平行線．對(duì)于有些問(wèn)題，既難以找到平行線又不易構(gòu)建新的平面，那該如何尋找入手的切口呢？

我們知道對(duì)于立幾問(wèn)題來(lái)說(shuō)最為重要的信息就是圖形．只要仔細(xì)觀察圖形就可以從中挖掘有利的信息．由于本題圖形中含有兩個(gè)全等的正方形，因此可以利用補(bǔ)體的方法，將一個(gè)不規(guī)則的幾何體構(gòu)建為最熟悉、最簡(jiǎn)單、最易掌控的幾何體——正方體，問(wèn)題便迎刃而解．

證法5觀察圖1發(fā)現(xiàn)BE、BC、BA是共點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線，為此將上述圖形補(bǔ)充為正方體BEGC-AFHD，如圖6所示，連接DG，在DG上取點(diǎn)M，使DQ=DM，連接QM、PM．由圖及初中平面幾何知識(shí)直接得到QM∥BG，PM∥EG，以下同證法3即可得證．

圖6

評(píng)注割法與補(bǔ)法(即割補(bǔ)法)是立幾重要且有效的方法．通過(guò)觀察圖形、分析數(shù)據(jù)，將圖形向最熟悉的長(zhǎng)方體、正方體靠近，利用它們的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，顯得尤其簡(jiǎn)捷，賞心悅目．

圖7

證法6由上述證法5的推理過(guò)程便知BE、BC、BA是共點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線，故以B為原點(diǎn)，以BE、BC、BA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=1，PE=t(0≤t≤1)，則有

?

評(píng)注對(duì)于立幾問(wèn)題，只要滿足相應(yīng)的條件，建立空間直角坐標(biāo)系并借助坐標(biāo)的代數(shù)方法來(lái)解決問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是不難的，也是學(xué)生喜歡的方法．然而，對(duì)于非坐標(biāo)的向量基底法則是學(xué)生的薄弱之處，教師也很少給予重視．事實(shí)上，向量的基底法適用范圍更廣，效果更佳，常常令人耳目一新！尤其是當(dāng)難以建系或者建系后坐標(biāo)難求或者運(yùn)算特別復(fù)雜時(shí)，更能凸顯基底法的優(yōu)勢(shì)，可以說(shuō)幾乎所有的立體幾何問(wèn)題都可以借助基底法來(lái)加以解決．

評(píng)注上述證法7、證法8既不需要添加輔助線又不需要建系，只需要借助基底利用平面向量基本定理得到的新穎的構(gòu)思方法．可事實(shí)上，利用非坐標(biāo)向量作為工具來(lái)解決問(wèn)題，不要說(shuō)學(xué)生，教師自己都很少使用，甚至不會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用，這是目前中學(xué)師生的缺陷，理應(yīng)引起大家的重視．

3 對(duì)新課標(biāo)立體幾何教學(xué)的一點(diǎn)感悟

目前我國(guó)的數(shù)學(xué)教育，尤其是高三教師迫于時(shí)間緊、任務(wù)重、壓力大等一系列因素，導(dǎo)致解題教學(xué)極端功利化．不少有“經(jīng)驗(yàn)”的教師在高三總復(fù)習(xí)中直言不諱地對(duì)學(xué)生講：“只要是立幾試題沒(méi)什么好想的，直接建系，然后計(jì)算．” 這種導(dǎo)向長(zhǎng)此以往將嚴(yán)重削弱學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力，與新課改精神背道而馳！殊不知立幾是培養(yǎng)空間想象能力最重要的載體．每年的高考閱卷情況就能深刻體會(huì)到由此帶來(lái)的弊端，很多學(xué)生沒(méi)有空間想象能力，更不知道建系前需要判定共點(diǎn)的三條相互垂直的直線，因而五花八門地隨心所欲地建系！每每閱卷后，教師們痛心疾首、嘆聲一片．

新課標(biāo)教科書(shū)特意將整個(gè)立體幾何內(nèi)容安排在兩個(gè)模塊中，即邏輯推理(文[3])及空間向量(文[4])就是為了先從整體上感知、建立、培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，抽象概括能力，再?gòu)木植?微觀)細(xì)研、把握，理解點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生推理論證能力，最后回到整體(宏觀)，以便進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)．新課標(biāo)教科書(shū)之所以既沒(méi)有把空間向量穿插在文[3]中間，也沒(méi)有把空間向量的應(yīng)用安排在文[3]的結(jié)尾，而是安排在另一個(gè)模塊中(文[4])，就是擔(dān)心教師在學(xué)生還沒(méi)有建立空間感以及掌握必要的邏輯推理的前提下純粹用空間向量的代數(shù)形式來(lái)替代一切．因?yàn)榱Ⅲw幾何與解析幾何是不同的，解析幾何的精髓是數(shù)形結(jié)合的思想，即用代數(shù)的方法來(lái)達(dá)到研究幾何圖形的目的，而立體幾何雖說(shuō)也可以用建系(坐標(biāo)法)的代數(shù)法來(lái)研究空間圖形性質(zhì)，但是別忘記立體幾何承擔(dān)一個(gè)重要使命就是感知空間感、培養(yǎng)空間想象能力，這才是學(xué)習(xí)立體幾何的真正目的所在！

當(dāng)然，文[3]并不排斥運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決立幾問(wèn)題，而是希望在邏輯論證與代數(shù)運(yùn)算之間尋找最佳的方法與思維方式，以求達(dá)到最佳的效果．不可否定，建立空間直角坐標(biāo)系解決立幾問(wèn)題有時(shí)很實(shí)惠，特別是在高考中很實(shí)用．這就是在文[4]中補(bǔ)充空間向量運(yùn)算的緣由，同時(shí)也是提高學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)乃至創(chuàng)新意識(shí)的有效途徑．然而，在實(shí)際教學(xué)中，不少教師在沒(méi)有理解教材和沒(méi)有領(lǐng)悟主編意圖的情況下想當(dāng)然地、人為地直接從空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算開(kāi)始教學(xué)，更為遺憾的是筆者參加交流研討或隨堂聽(tīng)課時(shí)經(jīng)?？吹?、聽(tīng)見(jiàn)不少教師振振有詞地說(shuō)：“高考中只要是立幾問(wèn)題一律建系、計(jì)算，保證高考得高分！”我一直在反思：這樣的教學(xué)怎么能得高分呢？誰(shuí)說(shuō)高考立幾試題就一定容易建系呢？如果建系困難，或者建系后點(diǎn)的坐標(biāo)較難得到，那不就全軍覆沒(méi)嗎？事實(shí)上，本題完全可以將原題中的“垂直”這一條件去掉，同樣可以用證法1、2、3、4、5、7、8給予證明，但此時(shí)建系就較為困難，因此證法6即建系就是不適合的！況且如今的高考試題縱使可以建系，也需要開(kāi)始給予必要和適當(dāng)?shù)倪壿嬐评碜C明，以滿足建系的基本條件．這樣的教學(xué)造成可怕的后果是學(xué)生沒(méi)有空間想象能力甚至沒(méi)有基本的空間感，沒(méi)有邏輯推理論證能力，這不是誤人子弟嗎？這與新課改精神完全背道而馳！要知道立幾是培養(yǎng)空間想象能力最重要的載體，培養(yǎng)空間想象能力是立體幾何的真正價(jià)值所在！要知道新一輪課改及課改后的高考命題的重心已經(jīng)從知識(shí)立意轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰α⒁?，新一輪課改的核心就是培養(yǎng)學(xué)生的能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)．

解題教學(xué)，尤其是高三的解題教學(xué)，不是為了講題而講題，而是通過(guò)典型的例題教學(xué)達(dá)到深化概念、鞏固性質(zhì)、優(yōu)化思維、提升能力．一個(gè)好的范例的講解需要我們精雕細(xì)刻、用心品味，在解題教學(xué)過(guò)程中凸顯課改理念，吃透教科書(shū)意圖，將理念與意圖揉進(jìn)解題教學(xué)，這樣的解題教學(xué)才是有的放矢，這樣的解題教學(xué)才是高效的，這樣的解題教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)而優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，這才是我們追求的魅力課堂解題教學(xué)．

1 中華人民共和國(guó)教育部《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》研究組．全日制高級(jí)中學(xué)課本(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(下)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2003

2 中華人民共和國(guó)教育部人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室．全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(下B)[M]．北京：人民教育出版社，2004

3 中華人民共和國(guó)教育部中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)2[M]．北京：人民教育出版社，2007

4 中華人民共和國(guó)教育部中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)(選修)數(shù)學(xué)2-1[M]．北京：人民教育出版社，2007

5 章建躍．再談什么才是好解題教學(xué)[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2014(5)：封面

6 周遠(yuǎn)方，張利．降低度量計(jì)算 突出直觀想象[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013(9)56-59

7 張勁松．淺談高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的內(nèi)容與要求[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2006(7)：1-4

8 任子朝，陳昂．實(shí)施《課程標(biāo)準(zhǔn)》后高考數(shù)學(xué)能力考查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2012(1)1-5