談家國(guó)

極限思想是古人很早提出的一種設(shè)想.中國(guó)的古人曾經(jīng)提出如果知識(shí)是無(wú)窮盡的，而人們所知是有窮盡的，假設(shè)人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能夠獲得無(wú)限的知識(shí)？人們意識(shí)到無(wú)限的思想以后，就意識(shí)到如果不確定某個(gè)值，就選取一個(gè)最接近于它的值，并用這種值描述它的趨勢(shì)，這種思想構(gòu)建了現(xiàn)代微積分知識(shí)的基礎(chǔ).

古時(shí)候，人們有時(shí)會(huì)無(wú)意識(shí)地應(yīng)用這種知識(shí).

例如，中國(guó)古代有本書(shū)，講述這樣一則故事.有一個(gè)牧羊人，他有17只羊，又有3個(gè)兒子，他依照村規(guī)把一半的財(cái)產(chǎn)分給大兒子，又將剩下三分之一的財(cái)產(chǎn)分給二兒子，剩下九分之一財(cái)產(chǎn)分給三兒子.可是人們發(fā)現(xiàn)17只羊沒(méi)有辦法完整的分配.這時(shí)有位智者，他將自己的1只羊放進(jìn)17只羊中，即為18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己帶回家.古時(shí)人們夸贊這種分配方法非常公平，然而現(xiàn)在人們可以看到，它是利用了極限的方法，讓分配的方法盡可能地合乎當(dāng)初預(yù)定的結(jié)果.這種分配方法與現(xiàn)代微積分的知識(shí)是不謀而合的.

極限的思想，即為一種無(wú)限接近于精準(zhǔn)答案的思想，這種在精準(zhǔn)答案不確定的的情形下，應(yīng)用最接近于精準(zhǔn)答案的思路，能夠解決人們的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.高中教師要引導(dǎo)學(xué)生理解到極限思想的最大應(yīng)用價(jià)值.

一、應(yīng)用極限思想解決無(wú)限的問(wèn)題

所謂無(wú)限的問(wèn)題是指人們需要求取一個(gè)數(shù)值，而這個(gè)數(shù)值求取的過(guò)程非常煩瑣，人們?nèi)绻F舉這個(gè)范圍內(nèi)所有的數(shù)值將會(huì)非常困難.但是如果人們有無(wú)限的思想，則可以就用無(wú)限接近的思想給出這個(gè)范圍內(nèi)最大的一個(gè)極限和一個(gè)最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內(nèi)所有的數(shù)值，直接可以判斷該范圍.

例如，在講“解析幾何初步”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：已知一個(gè)銳角三角形，它的邊AC已固定，BC=1，現(xiàn)B點(diǎn)在以C為圓心，半徑為1的圓周上做運(yùn)動(dòng)（圖略），求取AB的極限范圍.

分析：如果這一題用普遍的方法計(jì)算，學(xué)生會(huì)把計(jì)算過(guò)程變得非常煩瑣.然而如果學(xué)生能用數(shù)形結(jié)合的思想思考圓周運(yùn)動(dòng)的定義，則可迅速通過(guò)計(jì)算AB的取值范圍直接得到答案為（3，5）.

二、應(yīng)用極限思想解決逼近的問(wèn)題

所謂逼近的問(wèn)題是指人們遇到某種問(wèn)題時(shí)，需要了解它的取值，然而這種取值是沒(méi)有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準(zhǔn)值最接近的一個(gè)答案，它即為該問(wèn)題的最終答案.這種逼近的問(wèn)題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問(wèn)題.

三、應(yīng)用極限思想解決決策的問(wèn)題

所謂的概述問(wèn)題是指人們?cè)诮y(tǒng)計(jì)或計(jì)算中，需要了解某種數(shù)值.這種數(shù)值人們?nèi)绻珳?zhǔn)的計(jì)算，常常會(huì)得出不必要的循環(huán)小數(shù)，而在實(shí)踐生活中人們不需要特別精準(zhǔn)的答案，只需要一個(gè)大概的數(shù)值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把一此過(guò)于復(fù)雜的計(jì)算與統(tǒng)計(jì)全部省略，得到人們需要的大概數(shù)字.

例如，在講“算法初步”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在某涼茶公司出售一瓶飲料，它的售價(jià)為2元，顧客可以拿五只空瓶換一瓶飲料，如果該飲料成本為1元，使用該種銷(xiāo)售方法，每瓶廠家可得到的毛利為多少？

分析：學(xué)生如果能理解極限的思想，就可理解到x空瓶能換x5瓶涼茶，以此類(lèi)推，它能再次換回x52瓶，如果以極限的思想計(jì)算，則可將它的公式列為：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，則每瓶涼茶的價(jià)格為2x5x4=85=1.6，最終可得利潤(rùn)為6角錢(qián).極限思想能幫人們化繁為簡(jiǎn)，解決實(shí)踐生活中的一些問(wèn)題，實(shí)際上那位古老的賣(mài)羊故事即利用極限思想完成該類(lèi)問(wèn)題.

從以上的極限思想應(yīng)用中可以看到，實(shí)際上極限思想擁有以下幾種思想：無(wú)窮大的思想，它是指用一種數(shù)學(xué)方式描述出一種事物的趨勢(shì)，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢(shì)，并在該趨勢(shì)范圍內(nèi)選取人們需要的一個(gè)范圍，它能避免人們無(wú)窮列舉的問(wèn)題；無(wú)窮小的思想，它是指人們需要精準(zhǔn)的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準(zhǔn)的了解或描述，因此人們用無(wú)限小的思想盡可能地選取最接近于精準(zhǔn)答案的那個(gè)答案，它能避免人們無(wú)法精神描述的問(wèn)題；輔助決策的思想，這是指人們?cè)跊Q策一件事物時(shí)，人們有時(shí)無(wú)法作準(zhǔn)最精密無(wú)誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問(wèn)題，所以人們尋找一個(gè)能幫助自己決策的答案，這個(gè)答案能接近于人們需要的這個(gè)目標(biāo).

微積分是目前高中學(xué)生需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，常常會(huì)感覺(jué)到微積分知識(shí)復(fù)雜，他們覺(jué)得學(xué)習(xí)那么復(fù)雜的事物不知道能解決什么問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解到無(wú)限思想應(yīng)用的方法，當(dāng)學(xué)生理解到無(wú)限思想的巨大用處時(shí)，就會(huì)對(duì)學(xué)生微積分知識(shí)產(chǎn)生興趣.endprint

極限思想是古人很早提出的一種設(shè)想.中國(guó)的古人曾經(jīng)提出如果知識(shí)是無(wú)窮盡的，而人們所知是有窮盡的，假設(shè)人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能夠獲得無(wú)限的知識(shí)？人們意識(shí)到無(wú)限的思想以后，就意識(shí)到如果不確定某個(gè)值，就選取一個(gè)最接近于它的值，并用這種值描述它的趨勢(shì)，這種思想構(gòu)建了現(xiàn)代微積分知識(shí)的基礎(chǔ).

古時(shí)候，人們有時(shí)會(huì)無(wú)意識(shí)地應(yīng)用這種知識(shí).

例如，中國(guó)古代有本書(shū)，講述這樣一則故事.有一個(gè)牧羊人，他有17只羊，又有3個(gè)兒子，他依照村規(guī)把一半的財(cái)產(chǎn)分給大兒子，又將剩下三分之一的財(cái)產(chǎn)分給二兒子，剩下九分之一財(cái)產(chǎn)分給三兒子.可是人們發(fā)現(xiàn)17只羊沒(méi)有辦法完整的分配.這時(shí)有位智者，他將自己的1只羊放進(jìn)17只羊中，即為18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己帶回家.古時(shí)人們夸贊這種分配方法非常公平，然而現(xiàn)在人們可以看到，它是利用了極限的方法，讓分配的方法盡可能地合乎當(dāng)初預(yù)定的結(jié)果.這種分配方法與現(xiàn)代微積分的知識(shí)是不謀而合的.

極限的思想，即為一種無(wú)限接近于精準(zhǔn)答案的思想，這種在精準(zhǔn)答案不確定的的情形下，應(yīng)用最接近于精準(zhǔn)答案的思路，能夠解決人們的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.高中教師要引導(dǎo)學(xué)生理解到極限思想的最大應(yīng)用價(jià)值.

一、應(yīng)用極限思想解決無(wú)限的問(wèn)題

所謂無(wú)限的問(wèn)題是指人們需要求取一個(gè)數(shù)值，而這個(gè)數(shù)值求取的過(guò)程非常煩瑣，人們?nèi)绻F舉這個(gè)范圍內(nèi)所有的數(shù)值將會(huì)非常困難.但是如果人們有無(wú)限的思想，則可以就用無(wú)限接近的思想給出這個(gè)范圍內(nèi)最大的一個(gè)極限和一個(gè)最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內(nèi)所有的數(shù)值，直接可以判斷該范圍.

例如，在講“解析幾何初步”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：已知一個(gè)銳角三角形，它的邊AC已固定，BC=1，現(xiàn)B點(diǎn)在以C為圓心，半徑為1的圓周上做運(yùn)動(dòng)（圖略），求取AB的極限范圍.

分析：如果這一題用普遍的方法計(jì)算，學(xué)生會(huì)把計(jì)算過(guò)程變得非常煩瑣.然而如果學(xué)生能用數(shù)形結(jié)合的思想思考圓周運(yùn)動(dòng)的定義，則可迅速通過(guò)計(jì)算AB的取值范圍直接得到答案為（3，5）.

二、應(yīng)用極限思想解決逼近的問(wèn)題

所謂逼近的問(wèn)題是指人們遇到某種問(wèn)題時(shí)，需要了解它的取值，然而這種取值是沒(méi)有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準(zhǔn)值最接近的一個(gè)答案，它即為該問(wèn)題的最終答案.這種逼近的問(wèn)題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問(wèn)題.

三、應(yīng)用極限思想解決決策的問(wèn)題

所謂的概述問(wèn)題是指人們?cè)诮y(tǒng)計(jì)或計(jì)算中，需要了解某種數(shù)值.這種數(shù)值人們?nèi)绻珳?zhǔn)的計(jì)算，常常會(huì)得出不必要的循環(huán)小數(shù)，而在實(shí)踐生活中人們不需要特別精準(zhǔn)的答案，只需要一個(gè)大概的數(shù)值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把一此過(guò)于復(fù)雜的計(jì)算與統(tǒng)計(jì)全部省略，得到人們需要的大概數(shù)字.

例如，在講“算法初步”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在某涼茶公司出售一瓶飲料，它的售價(jià)為2元，顧客可以拿五只空瓶換一瓶飲料，如果該飲料成本為1元，使用該種銷(xiāo)售方法，每瓶廠家可得到的毛利為多少？

分析：學(xué)生如果能理解極限的思想，就可理解到x空瓶能換x5瓶涼茶，以此類(lèi)推，它能再次換回x52瓶，如果以極限的思想計(jì)算，則可將它的公式列為：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，則每瓶涼茶的價(jià)格為2x5x4=85=1.6，最終可得利潤(rùn)為6角錢(qián).極限思想能幫人們化繁為簡(jiǎn)，解決實(shí)踐生活中的一些問(wèn)題，實(shí)際上那位古老的賣(mài)羊故事即利用極限思想完成該類(lèi)問(wèn)題.

從以上的極限思想應(yīng)用中可以看到，實(shí)際上極限思想擁有以下幾種思想：無(wú)窮大的思想，它是指用一種數(shù)學(xué)方式描述出一種事物的趨勢(shì)，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢(shì)，并在該趨勢(shì)范圍內(nèi)選取人們需要的一個(gè)范圍，它能避免人們無(wú)窮列舉的問(wèn)題；無(wú)窮小的思想，它是指人們需要精準(zhǔn)的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準(zhǔn)的了解或描述，因此人們用無(wú)限小的思想盡可能地選取最接近于精準(zhǔn)答案的那個(gè)答案，它能避免人們無(wú)法精神描述的問(wèn)題；輔助決策的思想，這是指人們?cè)跊Q策一件事物時(shí)，人們有時(shí)無(wú)法作準(zhǔn)最精密無(wú)誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問(wèn)題，所以人們尋找一個(gè)能幫助自己決策的答案，這個(gè)答案能接近于人們需要的這個(gè)目標(biāo).

微積分是目前高中學(xué)生需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，常常會(huì)感覺(jué)到微積分知識(shí)復(fù)雜，他們覺(jué)得學(xué)習(xí)那么復(fù)雜的事物不知道能解決什么問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解到無(wú)限思想應(yīng)用的方法，當(dāng)學(xué)生理解到無(wú)限思想的巨大用處時(shí)，就會(huì)對(duì)學(xué)生微積分知識(shí)產(chǎn)生興趣.endprint

極限思想是古人很早提出的一種設(shè)想.中國(guó)的古人曾經(jīng)提出如果知識(shí)是無(wú)窮盡的，而人們所知是有窮盡的，假設(shè)人不受生、老、病、死的限制，那么人是否能夠獲得無(wú)限的知識(shí)？人們意識(shí)到無(wú)限的思想以后，就意識(shí)到如果不確定某個(gè)值，就選取一個(gè)最接近于它的值，并用這種值描述它的趨勢(shì)，這種思想構(gòu)建了現(xiàn)代微積分知識(shí)的基礎(chǔ).

古時(shí)候，人們有時(shí)會(huì)無(wú)意識(shí)地應(yīng)用這種知識(shí).

例如，中國(guó)古代有本書(shū)，講述這樣一則故事.有一個(gè)牧羊人，他有17只羊，又有3個(gè)兒子，他依照村規(guī)把一半的財(cái)產(chǎn)分給大兒子，又將剩下三分之一的財(cái)產(chǎn)分給二兒子，剩下九分之一財(cái)產(chǎn)分給三兒子.可是人們發(fā)現(xiàn)17只羊沒(méi)有辦法完整的分配.這時(shí)有位智者，他將自己的1只羊放進(jìn)17只羊中，即為18只羊，那么老大得到9只羊，老二得到6只羊，老三得到2只羊，剩下1只羊智者自己帶回家.古時(shí)人們夸贊這種分配方法非常公平，然而現(xiàn)在人們可以看到，它是利用了極限的方法，讓分配的方法盡可能地合乎當(dāng)初預(yù)定的結(jié)果.這種分配方法與現(xiàn)代微積分的知識(shí)是不謀而合的.

極限的思想，即為一種無(wú)限接近于精準(zhǔn)答案的思想，這種在精準(zhǔn)答案不確定的的情形下，應(yīng)用最接近于精準(zhǔn)答案的思路，能夠解決人們的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.高中教師要引導(dǎo)學(xué)生理解到極限思想的最大應(yīng)用價(jià)值.

一、應(yīng)用極限思想解決無(wú)限的問(wèn)題

所謂無(wú)限的問(wèn)題是指人們需要求取一個(gè)數(shù)值，而這個(gè)數(shù)值求取的過(guò)程非常煩瑣，人們?nèi)绻F舉這個(gè)范圍內(nèi)所有的數(shù)值將會(huì)非常困難.但是如果人們有無(wú)限的思想，則可以就用無(wú)限接近的思想給出這個(gè)范圍內(nèi)最大的一個(gè)極限和一個(gè)最小的極限，則人們不需要窮舉范圍內(nèi)所有的數(shù)值，直接可以判斷該范圍.

例如，在講“解析幾何初步”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：已知一個(gè)銳角三角形，它的邊AC已固定，BC=1，現(xiàn)B點(diǎn)在以C為圓心，半徑為1的圓周上做運(yùn)動(dòng)（圖略），求取AB的極限范圍.

分析：如果這一題用普遍的方法計(jì)算，學(xué)生會(huì)把計(jì)算過(guò)程變得非常煩瑣.然而如果學(xué)生能用數(shù)形結(jié)合的思想思考圓周運(yùn)動(dòng)的定義，則可迅速通過(guò)計(jì)算AB的取值范圍直接得到答案為（3，5）.

二、應(yīng)用極限思想解決逼近的問(wèn)題

所謂逼近的問(wèn)題是指人們遇到某種問(wèn)題時(shí)，需要了解它的取值，然而這種取值是沒(méi)有精確答案的，人們于是使用極限的思想，盡可能取出與該精準(zhǔn)值最接近的一個(gè)答案，它即為該問(wèn)題的最終答案.這種逼近的問(wèn)題能幫助人們盡可能的解決不可能解決的問(wèn)題.

三、應(yīng)用極限思想解決決策的問(wèn)題

所謂的概述問(wèn)題是指人們?cè)诮y(tǒng)計(jì)或計(jì)算中，需要了解某種數(shù)值.這種數(shù)值人們?nèi)绻珳?zhǔn)的計(jì)算，常常會(huì)得出不必要的循環(huán)小數(shù)，而在實(shí)踐生活中人們不需要特別精準(zhǔn)的答案，只需要一個(gè)大概的數(shù)值幫助自己決策，因此可以用極限的思想把一此過(guò)于復(fù)雜的計(jì)算與統(tǒng)計(jì)全部省略，得到人們需要的大概數(shù)字.

例如，在講“算法初步”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在某涼茶公司出售一瓶飲料，它的售價(jià)為2元，顧客可以拿五只空瓶換一瓶飲料，如果該飲料成本為1元，使用該種銷(xiāo)售方法，每瓶廠家可得到的毛利為多少？

分析：學(xué)生如果能理解極限的思想，就可理解到x空瓶能換x5瓶涼茶，以此類(lèi)推，它能再次換回x52瓶，如果以極限的思想計(jì)算，則可將它的公式列為：x+x5+x52+…=limn→∞x（1-x5n）1-15=5x4，則每瓶涼茶的價(jià)格為2x5x4=85=1.6，最終可得利潤(rùn)為6角錢(qián).極限思想能幫人們化繁為簡(jiǎn)，解決實(shí)踐生活中的一些問(wèn)題，實(shí)際上那位古老的賣(mài)羊故事即利用極限思想完成該類(lèi)問(wèn)題.

從以上的極限思想應(yīng)用中可以看到，實(shí)際上極限思想擁有以下幾種思想：無(wú)窮大的思想，它是指用一種數(shù)學(xué)方式描述出一種事物的趨勢(shì)，人們可能不了解這件事情的極限，但是人們可以掌握該事物的趨勢(shì)，并在該趨勢(shì)范圍內(nèi)選取人們需要的一個(gè)范圍，它能避免人們無(wú)窮列舉的問(wèn)題；無(wú)窮小的思想，它是指人們需要精準(zhǔn)的掌握一件事物，然而這件事物幾乎不可能讓人們精準(zhǔn)的了解或描述，因此人們用無(wú)限小的思想盡可能地選取最接近于精準(zhǔn)答案的那個(gè)答案，它能避免人們無(wú)法精神描述的問(wèn)題；輔助決策的思想，這是指人們?cè)跊Q策一件事物時(shí)，人們有時(shí)無(wú)法作準(zhǔn)最精密無(wú)誤的決策，然而人們卻又必須解決決策的問(wèn)題，所以人們尋找一個(gè)能幫助自己決策的答案，這個(gè)答案能接近于人們需要的這個(gè)目標(biāo).

微積分是目前高中學(xué)生需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，常常會(huì)感覺(jué)到微積分知識(shí)復(fù)雜，他們覺(jué)得學(xué)習(xí)那么復(fù)雜的事物不知道能解決什么問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解到無(wú)限思想應(yīng)用的方法，當(dāng)學(xué)生理解到無(wú)限思想的巨大用處時(shí)，就會(huì)對(duì)學(xué)生微積分知識(shí)產(chǎn)生興趣.endprint