劉靖賢

（遼寧大學(xué)哲學(xué)與公共管理學(xué)院，遼寧沈陽110136）

一、邏輯主義從弗雷格到蒯因

弗雷格的《算術(shù)基本規(guī)律》在實(shí)質(zhì)上是由二階邏輯和公理V構(gòu)成的理論[1]。二階邏輯是在一階邏輯的基礎(chǔ)上得到的，它不僅包括關(guān)于二階量化的公理，還包括標(biāo)準(zhǔn)概括公理，后者是說，任意可表達(dá)公式都可以斷定一個(gè)概念的存在，

公理V是說，概念X的外延和概念Y的外延相等當(dāng)且僅當(dāng)X和Y等價(jià)，

其中ε是外延算子。然而，公理V與概括公理導(dǎo)致羅素悖論。從證明論角度看，可以用外延算子定義屬于關(guān)系，

然后，根據(jù)概括公理，可以斷定“不屬于自身”這個(gè)概念的存在，即［x：x?x］；再根據(jù)公理V，可以得到這個(gè)概念的外延，即 ε［x：x?x］。由此可得，

即“不屬于自身”這個(gè)概念的外延屬于自身當(dāng)且僅當(dāng)它不屬于自身。從模型論角度看，概括公理要求，如果一階變?cè)娜≈捣秶荄，則二階變?cè)娜≈捣秶?（D），即D的冪集；而公理V要求，存在二階變?cè)鸵浑A變?cè)g的一一對(duì)應(yīng)。但是，根據(jù)康托對(duì)角線定理，這兩個(gè)要求不能同時(shí)滿足。

為了避免悖論，羅素和懷特海在《數(shù)學(xué)原理》中給出了類型論[2]。類型論在實(shí)質(zhì)上是由直謂概括公理、還原公理、無窮公理和選擇公理構(gòu)成的。類型論被表述在高階邏輯中，它包括：一階變?cè)獂，y，z；二階變?cè)猉0，Y0，Z0；三階變?cè)猉1，Y1，Z1；（n+2）階變?cè)猉n，Yn，Zn。不同階次變?cè)膮^(qū)分相當(dāng)于弗雷格關(guān)于不同層次概念的區(qū)分。事實(shí)上，羅素用“命題函項(xiàng)”取代了弗雷格“概念”。高階邏輯不僅包括關(guān)于不同階次量化的公理，也包括直謂概括公理，

還原公理是說，任意階次的變?cè)猉n都等價(jià)于一個(gè)二階變?cè)猉0，

另外，無窮公理斷定了無窮概念的存在，而選擇公理斷定了選擇函數(shù)的存在。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)概括公理來說，二階量詞出現(xiàn)在斷定二階變?cè)嬖诘墓街校砸粋€(gè)公式可以通過量化所有二階變?cè)獊矶x一個(gè)二階變?cè)拇嬖?，也就是說，為了定義一個(gè)二階變?cè)?，需要提及所有的二階變?cè)＿@就是所謂的惡性循環(huán)。但是，直謂概括公理可以避免標(biāo)準(zhǔn)概括公理的惡性循環(huán)，因?yàn)榘A量詞的公式不能斷定一個(gè)二階變?cè)拇嬖?，所?Y（y=εY∧﹁Yx）不能斷定［x：x?x］的存在，也就是說，不能斷定“不屬于自身”這個(gè)概念的存在。因此，直謂概括公理可以避免悖論。

弗雷格和羅素都把他們的系統(tǒng)表述在高階邏輯中，但事實(shí)上，他們的系統(tǒng)也可以表述在一階邏輯中。令∈是一階語言的初始符號(hào)。在一階邏輯中，二階概括公理被表述為

這實(shí)際上是樸素集合論的概括公理，它是說，任意可表達(dá)公式都斷定一個(gè)集合的存在。公理V被表述為

這實(shí)際上是樸素集合論的外延公理。如果把一階變?cè)獏^(qū)分為不同的種類，然后加標(biāo)，即x0，y0，z0…，x1，y1，z1，…，xn，yn，zn，則可以把直謂概括公理表述為

在上述一階版本的類型論的基礎(chǔ)上，蒯因在《數(shù)理邏輯的新基礎(chǔ)》中給出了一個(gè)新的系統(tǒng)（簡(jiǎn)記為NF）[3][4]，它包括外延公理和分層概括公理，后者是說，任意一個(gè)分層公式可以斷定一個(gè)集合的存在，

一個(gè)公式φ是分層的，當(dāng)且僅當(dāng)，存在一個(gè)從變?cè)阶匀粩?shù)的函數(shù)s，使得任給φ的原子公式x=y，s（x）=s（y），并且任給 φ 的原子公式x∈y，s（x）+1=s（y）。

在蒯因看來，如果斷定集合存在的公式中不出現(xiàn)像x∈x或?y（x∈y∧y∈x）這樣的循環(huán)性，則羅素悖論也是可以避免的。顯然，根本不存在一個(gè)函數(shù)s，使得s（x）+1=s（x）；也不存在一個(gè)函數(shù)s，使得s（x）+1=s（y）并且s（y）+1=s（x）；因此，x∈x和?y（x∈y∧y∈x）都不是分層公式。根據(jù)分層的限制條件，并不存在不屬于自身的集合。因此，分層概括公理也可以避免悖論。

二、直謂新邏輯主義的困境

受羅素類型論的啟發(fā)，赫克[5]和博格斯[6]分別證明公理V與二階直謂概括公理的一致性。二階直謂概括公理是說，

但是，赫克的直謂理論不同于博格斯的直謂理論。赫克使用了公理V的模式版本，外延算子作用于任意二階公式的一階變?cè)?，而博格斯使用了公理V的公理版本，外延算子作用于二階變?cè)?/p>

在標(biāo)準(zhǔn)概括公理的前提下，模式版本和公理版本是等價(jià)的，因?yàn)槿我夤蕉伎梢詳喽ㄒ粋€(gè)概念的存在，而任意概念都有一個(gè)外延，所以任意公式都有一個(gè)外延。但是，如果概括公理受到限制，則模式版本強(qiáng)于公理版本：對(duì)于模式版本來說，仍然可以保證任意公式都有一個(gè)外延；而對(duì)于公理版本來說，因?yàn)椴荒鼙ＷC任意公式都可以斷定一個(gè)概念的存在，而只有概念才有外延，所以不能保證任意公式都有一個(gè)外延。

在直謂概括公理的前提下，公式?X（x=εX∧﹁Xx）包含二階量詞，所以直謂概括公理不能斷定與這個(gè)公式等價(jià)的概念的存在，即不存在“不屬于自身”這個(gè)概念；又因?yàn)楣戆姹镜墓鞻把外延算子作用于二階變?cè)?，所以不能得到“不屬于自身”這個(gè)概念的外延。因此，不能得到“‘不屬于自身’這個(gè)概念的外延屬于自身當(dāng)且僅當(dāng)它不屬于自身”。另一方面，因?yàn)槟Ｊ桨姹镜墓鞻直接把外延算子作用于任意二階公式的一階變?cè)?，所以由它可以得到“不屬于自身”這個(gè)概念的外延，即 ε［x：?Y（y=εY∧﹁Yx）］。但是，相對(duì)于弗雷格關(guān)于屬于符號(hào)的定義，直謂概括公理和模式版本的公理V不能推出如下定理[5]212，

這個(gè)定理在推導(dǎo)羅素悖論時(shí)發(fā)揮了重要作用，如果它不成立，則不能推出羅素悖論。因此，雖然由模式版本可以得到“不屬于自身”這個(gè)概念的外延，但它不會(huì)導(dǎo)致悖論。

兩個(gè)版本的公理V都與直謂概括公理一致，但是公理版本的公理V和直謂概括公理不能推出休謨?cè)瓌t。為了推出休謨?cè)瓌t，需要把一個(gè)概念的數(shù)定義為某個(gè)特定概念的外延，即

然而，公式?X（x=εX∧X≈F）包含二階量詞?X，其中X≈F是縮寫，

這個(gè)縮寫也包含二階量詞?R。因此，直謂概括公理不能斷定與這個(gè)公式等價(jià)的概念的存在，由公理版本的公理V也不能得到這個(gè)概念的外延。雖然博格斯[6]93～104，113～117表明，不僅直謂概括公理與公理版本的公理V可以解釋羅賓森算術(shù)，而且直謂概括公理和休謨?cè)瓌t也可以解釋羅賓森算術(shù)，但是博格斯忽略了如何從公理版本的公理V推出休謨?cè)瓌t的過程。這顯然違背了弗雷格原意。在弗雷格看來，必須首先把算術(shù)公理還原為休謨?cè)瓌t，然后把休謨?cè)瓌t還原為公理V，從而最終把算術(shù)公理還原為邏輯公理。公理版本的公理V割裂了邏輯公理與休謨?cè)瓌t之間的關(guān)聯(lián)。

赫克[5]217～218表明，模式版本的公理V可以推出休謨?cè)瓌t，因?yàn)橥庋铀阕又苯幼饔糜诙A公式的一階變?cè)?，所以概念F的數(shù)可以被定義為ε［x：?X（x=εX∧X≈F）］。但是，模式版本的公理V不符合弗雷格關(guān)于概念和外延之間關(guān)系的基本觀點(diǎn)，即概念是初始的，而概念的外延是派生的。弗雷格說：“在通常數(shù)學(xué)的許多專業(yè)術(shù)語中，語詞‘函數(shù)’當(dāng)然對(duì)應(yīng)于我在此處稱為函數(shù)值域的東西。但是函數(shù)是邏輯在先的，就此處所使用的這個(gè)詞的意義而言?！盵7]142雖然弗雷格在這里談?wù)摰氖呛瘮?shù)，但是概念是其值為真值的函數(shù)，所以概念是函數(shù)的特例，外延是函數(shù)值域的特例。因此，關(guān)于函數(shù)及其值域的談?wù)撘策m用于概念及其外延。按照弗雷格的說法，概念與其外延之間是完全對(duì)應(yīng)的，因?yàn)槁湓谝粋€(gè)概念中的對(duì)象恰好是屬于這個(gè)外延的對(duì)象，即?x（Fx?x∈εF）。但這并不意味著概念與其外延處于同等地位；相反地，概念的邏輯地位優(yōu)先于外延的邏輯地位，只有在得到一個(gè)概念的前提下才能談?wù)撨@個(gè)概念的外延，也就是說，首先根據(jù)概括公理，一個(gè)公式可以斷定一個(gè)概念的存在，然后根據(jù)公理版本的公理V，從這個(gè)概念得到這個(gè)概念的外延。然而，模式版本的公理V顛倒了這個(gè)順序，它把外延算子直接作用于二階公式的一階變?cè)诓荒艽_定與這個(gè)二階公式等價(jià)的概念是否存在的前提下，可以直接從這個(gè)公式得到一個(gè)外延。

由此可見，直謂新弗雷格主義陷入了兩難困境：一方面，模式版本的公理V可以推出休謨?cè)瓌t，但是模式版本顛倒了概念和外延的先后關(guān)系，不符合弗雷格關(guān)于“概念是邏輯在先”的基本觀點(diǎn)；另一方面，公理版本的公理V符合弗雷格關(guān)于“概念是邏輯在先”的基本觀點(diǎn)，但是公理版本不能推出休謨?cè)瓌t，這又違背了弗雷格“從公理V到休謨?cè)瓌t再到算術(shù)公理”的邏輯主義方案。

三、二階分層概括

那么是否存在某種受限制的概括公理，使得既可以符合弗雷格關(guān)于“概念先于外延”的觀點(diǎn)，又可以按照弗雷格關(guān)于數(shù)的定義從公理版本的公理V推出休謨?cè)瓌t？這是上一節(jié)留給我們的問題。本小節(jié)嘗試在二階分層概括的前提下解決這個(gè)問題。

我把由公理版本的公理V和二階分層概括公理構(gòu)成的理論稱為FNF。它的語言包括：一階變?cè)獂，y，z；一元二階變?cè)猉，Y，Z；二元二階變?cè)猂，S，T；連接詞﹁，∨；一階和二階量詞?；等詞=；外延算子 ε?！模?，?和?可以按照通常的方式定義。它的項(xiàng)的形成規(guī)則包括：

如果x是一階變?cè)?，則x是項(xiàng)

如果X是二階變?cè)瑒tεX是項(xiàng)

它的公式的形成規(guī)則包括：

如果X是二階變?cè)⑶襱是項(xiàng)，則Xt是原子公式

如果t和t′是項(xiàng)，并且R是一元二階變?cè)?，則t=t′和Rtt′是原子公式

如果φ和ψ是公式，則﹁φ和φ∨ψ是公式

如果x是一階變?cè)帐枪?，則?xφ是公式

如果X是一元二階變?cè)琑是二元二階變?cè)?，φ是公式，則?Xφ和?Rφ是公式它的最重要的三條公理分別是公理版本的公理V、一元分層概括和二元分層概括：

一個(gè)公式φ是二階分層公式，當(dāng)且僅當(dāng)，存在一個(gè)從變?cè)阶匀粩?shù)的函數(shù)s，使得任給φ中二階變?cè)猉，s（X）=s（εX）；任給 φ 的原子公式t=t′，s（t）=s（t′）；任給 φ 的原子公式Xt，s（t）+1=s（X），并且任給 φ 的原子公式Rtt′，s（t）=s（t′）并且s（t）+1=s（R）。

在羅素悖論的推導(dǎo)過程中，需要斷定與公式?X（x=εX∧﹁Xx）等價(jià)的概念的存在，由此可以斷定“不屬于自身”這個(gè)概念的存在，即［x：x?x］。但是，?X（x=εX∧Xx）不是二階分層公式，因?yàn)椴淮嬖谝粋€(gè)函數(shù)s使得s（x）=s（εX）=s（X）并且s（x）+1=s（X）；因此，在 FNF 中，?X（x=εX∧﹁Xx）不能斷定一個(gè)概念的存在。

事實(shí)上，可以證明FNF相對(duì)于NF是一致的。也就是說，如果NF是一致的，則FNF是一致的。換言之，如果從FNF可以推出矛盾，則從NF也可以推出矛盾。

首先，證明二元 FNF 相對(duì)于一元 FNF 是一致的。令O（x1，x2，y）是“y是序?qū)Γ▁1，x2）”的縮寫，即

由此可以把二元FNF公式翻譯為一元FNF公式。令q是從一元二階變?cè)投A變?cè)揭辉A變?cè)碾p射。然后把q擴(kuò)展到從項(xiàng)到自身的恒等映射，也就是說，如果t是x或εX，則q（t）是t自身。在此基礎(chǔ)上，定義從二元FNF公式到一元FNF公式的翻譯函數(shù)p

引理1：二元FNF相對(duì)于一元FNF是一致的

證明：僅僅需要證明二元分層概括經(jīng)過翻譯后在一元FNF中是可證的。二元分層概括經(jīng)過翻譯后變成

其中p（R）=Y，y是不在φ中出現(xiàn)的一階變?cè)?。由一元分層概括可以得?/p>

顯然，如果φ分層公式，則p（φ）也是分層公式。由此可得

根據(jù)O（x1，x2，y）的定義，從?x1?x2（O（x1，x2，y）∧Yy）??x1?x2（O（x1，x2，y）∧p（φ））可以得到?x1?x2（O（x1，x2，y）∧Yy?O（x1，x2，y）∧p（φ）），由此得到

然后得到

再根據(jù)O（x1，x2，y）的定義，p（φ）??y（O（x1，x2，y）∧p（φ）），因此

得證。□

其次，證明一元FNF相對(duì)于NF是一致的。令g是從一階變?cè)鸵辉A變?cè)揭浑A變?cè)碾p射，并且規(guī)定g（εX）=g（X）。在此基礎(chǔ)上，定義從一元FNF公式到NF公式的翻譯函數(shù)f：

引理2：一元FNF相對(duì)于NF是一致的

證明：公理版本的公理V經(jīng)過翻譯后變成

一元分層概括經(jīng)過翻譯后變成

顯然，這兩條翻譯后的公理在NF中是可證的?！?/p>

定理1：FNF相對(duì)于NF是一致的

證明：由引理1和引理2可得。□

現(xiàn)在我說明如何在FNF中推出休謨?cè)瓌t。根據(jù)二階分層概括，可以用外延算子定義數(shù)算子，

上述定義是合理的，因?yàn)楣?X（z=εX∧X≈F）是分層的。關(guān)于這個(gè)分層公式的指派函數(shù)是

其中X（2）≈F（2）是如下公式的縮寫

由此可以按照通常的方式從公理版本的公理V推出休謨?cè)瓌t。

[1]Gottlob Frege．The Basic Laws of Arithmetic：Exposition of the System[M]．Montgomery Furth Translated and Edited，with an introd．Berkeley and Los Angeles：University of California Press，1964．

[2]A．Whitehead，B．Russell．Principia Mathematica：Vol I[M]．Cambridge：Cambridge University Press，1910．

[3]Willard Quine．New Foundations for Mathematical Logic[J]．American Mathematical Monthly，1937，44．

[4]陳波．蒯因的邏輯研究[J]．湖南師范大學(xué)社會(huì)科學(xué)學(xué)報(bào)，1995，（3）．

[5]Richard Heck．The Consistency of Predictive Fragments of Frege’s Grundgesetze der Arithmetik[J]．History and Philosophy of Logic，1996，（1）．

[6]John Burgess．Fixing Frege[M]．Princeton：Princeton University Press，2005．

[7]Gottlob Frege．Collected Papers on Mathematics，Logic，and Philosophy[M]．B．McGuinness（ed．），M．Black et al．（trans．）．Oxford：Blackwell，1984．