于夢梅

初中物理中的最值（最小值、最大值）及其相關(guān)的問題，需要綜合運用所學(xué)的物理知識和數(shù)學(xué)知識分析解答，是中考的?？键c，也是失分率較高的中考題。其類型如下：

一、求最值

（一）臨界情況下的最值

有些物理量的最值（最小值或最大值），是由臨界情況決定的。求某一物理量的最值，關(guān)鍵要找出相關(guān)的邊界。

1.鏡子的最小寬度

例1.一人正對豎直平面鏡站立，人的臉寬為20cm，兩眼的距離為10cm，欲使自己無論閉上左眼還是右眼，都能使另一只眼睛從鏡中看到自己的整個臉，則鏡子的寬度至少為cm。

分析：“至少”表示最小的限度，“鏡子的寬度至少為多少”意為鏡子的最小寬度。

先畫光路圖——利用平面鏡成像原理（光的反射定律）作出身體的像，如圖1所示。如果用左眼看完整的像，其邊界光線為PD和RD，則需用PR之間的平面鏡；如果用右眼看完整的像，其邊界光線為QC和SC，則需用QS之間的平面鏡。故無論閉上左眼或右眼都能看到完整的像，需用PS之間的平面鏡。鏡子的最小寬度即PS的長度，剛好是兩只眼睛與身體像的邊界相連組成的梯形的中位線。

解：人的臉寬為AB，兩眼為C、D。

因PS是梯形CDB'A'的中位線，則PS=12（A'B'+CD）。

因AB=A'B'=20cm，CD=10cm

所以鏡子的寬度至少為PS=12（20cm+10cm）=15cm。

2.原油自噴的最大高度與油口施加的最小壓力

例2.某地下油層的壓強為2.1×107Pa，從地面向此油層鉆一口油井，自油層頂部向上計算，原油自噴時可能達到的最大高度為多少？若油層距地面2000m，油井直徑為10cm，要阻止原油噴出地面，至少要向油口施加多大的壓力？（原油密度為0.9×103kg/m3）

分析：（1）原油自噴時可能達到的最大高度，是在不考慮大氣壓強及原油自噴時受到的阻力等因素影響的情況下，原油在地下油層壓強的作用下自噴的高度，此時最大高度的油柱對油層頂部產(chǎn)生的壓強等于油層的壓強。

（2）“至少要向油口施加多大的壓力”意為最小的壓力。阻止原油噴出地面時，向油口施加的壓力F對油口的壓強p口、油柱產(chǎn)生的壓強p油、地下油層的壓強p，其關(guān)系為p口+p油≥p。取臨界情況，當(dāng)p口+p油=p時，即FS+ρ油gh=p，此時向油口施加的壓力F為最小壓力。

解：（1）原油自噴可能達到的最大高度h最大，為高h最大的油柱的壓強等于油層的壓強p，即p=ρ油gh最大，故原油自噴的最大高度

h最大=pρ油g=2.1×107Pa0.9×103kg/m3×9.8N/kg=2381m。

（2）防止原油噴出地面，至少要向油口施加的壓力F對油井的壓強加上h=2000m油柱的壓強等于油層的壓強p，即Fπ（D2）2+ρ油gh=p，故至少要向油口施加的壓力

F=（p-ρ油gh）·π（D2）2

=（2.1×107Pa-0.9×103kg/m3×9.8N/kg×2000m）×3.14×（0.1m2）2

=2.64×104N。

（二）變化過程中的最值

物理量的大小及其變化是由其他因素或相關(guān)物理量大小的變化而引起的，在一定條件下往往會出現(xiàn)最小值或最大值。求某一物理量的最值（最小值或最大值），關(guān)鍵要從與之相關(guān)量之間的關(guān)系入手，分析找出最值的條件。

3.風(fēng)力發(fā)電機的最小年發(fā)電量

例3.如圖2所示的風(fēng)光互補路燈系統(tǒng)，既可以通過太陽能電池組獨立發(fā)電并儲存于蓄電池，也可以通過風(fēng)力發(fā)電機獨立發(fā)電并儲存于蓄電池；在風(fēng)、光都具備時還可以同時發(fā)電。某型號風(fēng)光互補路燈的風(fēng)力發(fā)電機的技術(shù)參數(shù)如下：

風(fēng)力發(fā)電額定

功率風(fēng)力發(fā)電額定

風(fēng)速風(fēng)力發(fā)電啟動

風(fēng)速260W8m/s3m/s已知風(fēng)力發(fā)電機的輸出電功率P與風(fēng)速v的平方成正比。某地區(qū)風(fēng)速不低于5m/s的時間每年不少于4000h，試估算這臺風(fēng)光互補路燈系統(tǒng)利用風(fēng)能的最小年發(fā)電量是多少kW·h？

分析：“風(fēng)速不低于5m/s的時間每年不少于4000h”，意為每年風(fēng)速最小值為5m/s的有風(fēng)時間（發(fā)電時間）最小值為4000h。因風(fēng)速越大，風(fēng)力發(fā)電機的輸出電功率越大，根據(jù)W=Pt，發(fā)電時間越長，發(fā)電量越大，故當(dāng)風(fēng)速和發(fā)電時間均為最小值時的年發(fā)電量為最小年發(fā)電量。

解：根據(jù)題意有P額P=v2額v2，則當(dāng)風(fēng)速v最小時風(fēng)力發(fā)電機輸出功率P=v2v2額P額。故最小年發(fā)電量

W=Pt最小=v2最小v2額P額t最小

=（5m/s）2（8m/s）2×260×10-3kW×4000h=406.25kW·h。

4.汽車的最大速度

例4.在城市中，汽車尾氣對環(huán)境的污染十分嚴(yán)重，主要是燃料燃燒后排出的廢氣，若采用氫氣為燃料，則可大大減少汽車廢氣對環(huán)境的污染。下面是某一以氫氣為燃氣的汽車的幾項指標(biāo)：

①正常行駛時耗氫量1.2kg/h；②在氣缸內(nèi)氫的熱值為1.5×108J/kg；③內(nèi)燃機的效率為50%。

求：（1）汽車行駛2h，氫氣放出了多少熱量？

（2）如果汽車勻速行駛過程中受到的阻力恒為1000N，那么該汽車行駛速度最大可達到多少？

分析：由P=Wt=Fst=Fv可知，汽車的功率一定時，隨著行駛速度的增大，牽引力逐漸減小。當(dāng)牽引力與阻力大小相等時，汽車開始勻速行駛，此時速度達到最大。

解：（1）汽車行駛2h氫氣放出的熱量

Q=mq=1.2kg/h×2h×1.5×108J/kg=3.6×108J

（2）汽車勻速行駛時F=f，由η=W機械Q和W機械=Pt=Fvt可得汽車行駛速度

v=QηFt=3.6×108J×50%1000N×2×3600s=25m/s。

所以，該汽車行駛速度最大可達到25m/s。

5.浮力秤的最大稱量

例5.“曹沖稱象”是家喻戶曉的典故，某?？萍夹〗M模仿這一現(xiàn)象，制作了一把“浮力秤”。將厚底直筒形狀的玻璃杯浸入水中，如圖3所示，已知玻璃杯的質(zhì)量為200g，底面積為30cm2，高度為15cm。（取g=10N/kg）

求：（1）將杯子開口向上豎直放入水中時（水未進入杯內(nèi)），杯子受到的浮力。

（2）此時杯子浸入水中的深度（即該浮力秤的零刻度位置）。

（3）此浮力秤的最大稱量（即量程）。

分析：浮力秤的零刻度位置是空杯子漂浮在水面上時水面到杯底的位置，即此時空杯子浸入水中的深度。由F浮=ρ液gV排可知，杯子中放入被測物體，杯子將下沉，浮力F浮隨V排的增大而增大，當(dāng)V排=V杯時，浮力達到最大值。浮力秤的最大稱量等于杯子受到的最大浮力與杯子在零刻度位置時受到的浮力之差。

解：（1）杯子漂浮在水面上時受到的浮力

F浮=G=mg=0.2kg×10N/kg=2N

（2）由F浮=ρ液gV排可得此時杯子排開水的體積

V排=F浮ρ水g=2N1.0×103kg/m3×10N/kg=2×10-4m3

此時杯子浸入水中的深度

h=V排S=2×10-4m330×10-4m2=0.067m=6.7cm

（3）往杯子內(nèi)放被測物，當(dāng)杯子下沉到水面剛好沒到杯口（水未進杯內(nèi)）時，杯子下沉的深度為0.15m，此時杯子排開水的體積最大，等于杯子的體積，杯子受到的浮力最大。

杯子受到的最大浮力

F=ρ液gV=1.0×103kg/m3×10N/kg×30×10-4m2×0.15m=4.5N

浮力秤的最大稱量

F最大=F-F浮=4.5N-2N=2.5N。

二、利用最值確定動態(tài)變化范圍

由于受其他量或者因素的影響和制約，一些物理量的大小往往在一定范圍內(nèi)變化，這個變化范圍是由其大小變化過程中的最小值與最大值決定的。確定某一物理量的動態(tài)變化范圍，關(guān)鍵要抓住影響因素中的不變因素及變化因素，從與之相關(guān)量之間的關(guān)系入手，找出其最小值與最大值。

1.浴室內(nèi)溫度可控制范圍

例6.為防止?jié)袷职忾_關(guān)造成觸電事故，小明為家中的燈暖型浴霸（冬季家庭洗浴時取暖用的電器）設(shè)計了一個如圖4甲所示的溫度自動控制裝置，其中半導(dǎo)體材料制成的熱敏電阻阻值R1隨溫度變化的曲線如圖4乙所示。已知繼電器線圈電阻R2為20Ω，電源電壓U0恒為12V，浴霸共安裝有4只“220V250W”燈泡，當(dāng)繼電器線圈中的電流大于或等于50mA時，繼電器的銜鐵被吸合，浴霸電路斷開；當(dāng)線圈中的電流小于或等于40mA時，繼電器的銜鐵被釋放，浴霸電路閉合。若將此裝置安放在浴室內(nèi)，浴室內(nèi)溫度可控制在什么范圍？

分析：利用銜鐵吸合電流與釋放電流的臨界值確定室溫控制范圍。浴霸工作與否是由線圈中電流的大小控制的，取臨界情況，銜鐵吸合電流為50mA，銜鐵釋放電流為40mA，由此求出相應(yīng)的熱敏電阻的臨界值，再由圖象找出對應(yīng)的溫度值，即可得出浴室內(nèi)溫度的控制范圍。

解：控制電路的總電阻R總=U0I=R1+R2。

取臨界情況，當(dāng)線圈中電流為50mA時，熱敏電阻的阻值

R1=U0I1-R2=12V0.05A-20Ω=220Ω。由圖象可知，此時室溫t1=30℃。

當(dāng)線圈中電流為40mA時，熱敏電阻的阻值

R1'=U0I2-R2=12V0.04A-20Ω=280Ω。由圖象可知，此時室溫t2=22℃。

所以室內(nèi)溫度可控制在22℃～30℃范圍內(nèi)。

2.滑塊移動范圍

例7.如圖5所示，有一粗細均勻，重為40N，長為4m的長木板AB（厚度不計），置于支架上，支點為O，且AO=1m，長木板的右端B用繩子系住，繩子的另一端固定于C處，當(dāng)長木板AB水平時，繩與水平面成30°夾角，且繩子所能承受的最大拉力為60N。一個重為50N的體積不計的滑塊M在水平拉力F的作用下，從AO之間某處向B端勻速滑動。求滑塊在什么范圍內(nèi)滑動才能使AB保持水平？

分析：利用繩子拉力的最小值和最大值確定滑塊移動范圍。根據(jù)杠桿的平衡條件可求出：滑塊在O點左側(cè)且繩子的拉力最小為0時，滑塊在O點最左側(cè)的位置；滑塊在O點右側(cè)且繩子的拉力最大為60N時，滑塊在O點最右側(cè)的位置。由此可得出滑塊移動的范圍。

解：設(shè)滑塊M在O點左側(cè)距O點的距離為x1時，繩子的拉力T=0，如圖6甲所示。因均勻杠桿的重心在其幾何中心，AB=4m，OA=1m，則OB=3m；GAB=40N，則GOA=10N，GOB=30N。根據(jù)杠桿的平衡條件可得

Gx1+GOA·12lOA=GOB·12lOB

故x1=GOB·12lOB-GOA·12lOAG

=30N×12×3m-10N×12×1m50N=0.8m。

設(shè)滑塊M在O點右側(cè)距O點的距離為x2時，繩子的拉力T=60N，如圖6乙所示。根據(jù)杠桿的平衡條件可得

GOA·12lOA=Gx2+GOB·12lOB-T·lOBsin30°

因sin30°=12，故

x2=GOA·12lOA+T·lOBsin30°-GOB·12lOBG

=10N×12×1m+60N×3m×12-30N×12×3m50N

=1m。

所以，滑塊在O點左側(cè)0.8m至O點右側(cè)1m范圍內(nèi)滑動，才能使AB保持水平。

3.合格酒精的密度范圍

例8.在制取酒精的過程中，要求酒精中含水量不超過10%（所含水的體積不能超過總體積的10%）。用測密度的方法對產(chǎn)品進行檢查，求密度在什么范圍內(nèi)的酒精是合格的？（不考慮酒精與水混合的體積變化，純酒精的密度為0.8×103kg/m3）

分析：利用含水量的最小值和最大值確定酒精的密度范圍。酒精含水量不超過10%，即0≤V水V≤10%。酒精內(nèi)不含水（即V水=0）時為純酒精；酒精內(nèi)含水時，水的體積不能超過10%V即含水的體積最大為0.1V，則酒精的體積至少為0.9V；含水酒精的總質(zhì)量m=m水+m酒精，運用密度公式求出此時酒精的密度，即可得出酒精密度的范圍。

解：酒精含水量不超過10%，即0≤V水V≤10%。

當(dāng)V水V=0，即不含水時，則其密度即為純酒精的密度，ρ酒=0.8×103kg/m3。

當(dāng)V水V=10%時，V水=0.1V；因V=V水+V酒精，則V酒精=0.9V。此時酒精的密度

ρ混=mV

=m水+m酒V=ρ水×0.1V+ρ酒×0.9VV

=1×103kg/m3×0.1+0.8×103kg/m3×0.9=0.82×103kg/m3。

所以合格酒精的密度應(yīng)在0.8×103kg/m3～0.82×103kg/m3范圍內(nèi)。

4.滑動變阻器接入電路的阻值范圍

例9.如圖7所示的電路中，燈L標(biāo)有“3V0.9W”、滑動變阻器R上標(biāo)有“50Ω1A”字樣，電壓表量程為0～3V。若電源電壓為4.5V，為了保證電路中各元件安全工作，滑動變阻器允許接入電路的阻值范圍是。

分析：電路中的電流I=URL+R，滑動變阻器兩端電壓UR=U-UL=U-IRL，滑動變阻器接入電路的電阻R越大時電流I越小，其兩端電壓UR越大；反之，R越小時I越大，UR越小。

為了保證各元件安全工作，電路中的最大電流應(yīng)等于燈L的額定電流IL，滑動變阻器兩端的最大電壓應(yīng)不超過電壓表量程即電壓表示數(shù)最大為3V。所以，當(dāng)電路中電流最大時，滑動變阻器接入電路的阻值最小；當(dāng)電壓表示數(shù)最大時，滑動變阻器接入電路的阻值最大。

解：燈L正常工作時的電流I=PLUL=0.9W3V=0.3A

燈L的電阻RL=ULI=3V0.3A=10Ω

當(dāng)電路中的電流最大等于0.3A時，滑動變阻器接入電路的阻值最小，此時電路的總電阻

R總=UI=4.5V0.3A=15Ω

滑動變阻器接入電路的最小電阻

R最小=R總-RL=15Ω-10Ω=5Ω

當(dāng)電壓表達到最大量程3V時，滑動變阻器接入電路的阻值最大，此時通過燈L的電流

IL=ULRL=4.5V-3V10Ω=0.15A

滑動變阻器接入電路的最大電阻

R最大=URIL=3V0.15A=20Ω

所以，滑動變阻器允許接入電路的阻值范圍是5Ω～20Ω。

3.合格酒精的密度范圍

例8.在制取酒精的過程中，要求酒精中含水量不超過10%（所含水的體積不能超過總體積的10%）。用測密度的方法對產(chǎn)品進行檢查，求密度在什么范圍內(nèi)的酒精是合格的？（不考慮酒精與水混合的體積變化，純酒精的密度為0.8×103kg/m3）

分析：利用含水量的最小值和最大值確定酒精的密度范圍。酒精含水量不超過10%，即0≤V水V≤10%。酒精內(nèi)不含水（即V水=0）時為純酒精；酒精內(nèi)含水時，水的體積不能超過10%V即含水的體積最大為0.1V，則酒精的體積至少為0.9V；含水酒精的總質(zhì)量m=m水+m酒精，運用密度公式求出此時酒精的密度，即可得出酒精密度的范圍。

解：酒精含水量不超過10%，即0≤V水V≤10%。

當(dāng)V水V=0，即不含水時，則其密度即為純酒精的密度，ρ酒=0.8×103kg/m3。

當(dāng)V水V=10%時，V水=0.1V；因V=V水+V酒精，則V酒精=0.9V。此時酒精的密度

ρ混=mV

=m水+m酒V=ρ水×0.1V+ρ酒×0.9VV

=1×103kg/m3×0.1+0.8×103kg/m3×0.9=0.82×103kg/m3。

所以合格酒精的密度應(yīng)在0.8×103kg/m3～0.82×103kg/m3范圍內(nèi)。

4.滑動變阻器接入電路的阻值范圍

例9.如圖7所示的電路中，燈L標(biāo)有“3V0.9W”、滑動變阻器R上標(biāo)有“50Ω1A”字樣，電壓表量程為0～3V。若電源電壓為4.5V，為了保證電路中各元件安全工作，滑動變阻器允許接入電路的阻值范圍是。

分析：電路中的電流I=URL+R，滑動變阻器兩端電壓UR=U-UL=U-IRL，滑動變阻器接入電路的電阻R越大時電流I越小，其兩端電壓UR越大；反之，R越小時I越大，UR越小。

為了保證各元件安全工作，電路中的最大電流應(yīng)等于燈L的額定電流IL，滑動變阻器兩端的最大電壓應(yīng)不超過電壓表量程即電壓表示數(shù)最大為3V。所以，當(dāng)電路中電流最大時，滑動變阻器接入電路的阻值最小；當(dāng)電壓表示數(shù)最大時，滑動變阻器接入電路的阻值最大。

解：燈L正常工作時的電流I=PLUL=0.9W3V=0.3A

燈L的電阻RL=ULI=3V0.3A=10Ω

當(dāng)電路中的電流最大等于0.3A時，滑動變阻器接入電路的阻值最小，此時電路的總電阻

R總=UI=4.5V0.3A=15Ω

滑動變阻器接入電路的最小電阻

R最小=R總-RL=15Ω-10Ω=5Ω

當(dāng)電壓表達到最大量程3V時，滑動變阻器接入電路的阻值最大，此時通過燈L的電流

IL=ULRL=4.5V-3V10Ω=0.15A

滑動變阻器接入電路的最大電阻

R最大=URIL=3V0.15A=20Ω

所以，滑動變阻器允許接入電路的阻值范圍是5Ω～20Ω。

3.合格酒精的密度范圍

例8.在制取酒精的過程中，要求酒精中含水量不超過10%（所含水的體積不能超過總體積的10%）。用測密度的方法對產(chǎn)品進行檢查，求密度在什么范圍內(nèi)的酒精是合格的？（不考慮酒精與水混合的體積變化，純酒精的密度為0.8×103kg/m3）

分析：利用含水量的最小值和最大值確定酒精的密度范圍。酒精含水量不超過10%，即0≤V水V≤10%。酒精內(nèi)不含水（即V水=0）時為純酒精；酒精內(nèi)含水時，水的體積不能超過10%V即含水的體積最大為0.1V，則酒精的體積至少為0.9V；含水酒精的總質(zhì)量m=m水+m酒精，運用密度公式求出此時酒精的密度，即可得出酒精密度的范圍。

解：酒精含水量不超過10%，即0≤V水V≤10%。

當(dāng)V水V=0，即不含水時，則其密度即為純酒精的密度，ρ酒=0.8×103kg/m3。

當(dāng)V水V=10%時，V水=0.1V；因V=V水+V酒精，則V酒精=0.9V。此時酒精的密度

ρ混=mV

=m水+m酒V=ρ水×0.1V+ρ酒×0.9VV

=1×103kg/m3×0.1+0.8×103kg/m3×0.9=0.82×103kg/m3。

所以合格酒精的密度應(yīng)在0.8×103kg/m3～0.82×103kg/m3范圍內(nèi)。

4.滑動變阻器接入電路的阻值范圍

例9.如圖7所示的電路中，燈L標(biāo)有“3V0.9W”、滑動變阻器R上標(biāo)有“50Ω1A”字樣，電壓表量程為0～3V。若電源電壓為4.5V，為了保證電路中各元件安全工作，滑動變阻器允許接入電路的阻值范圍是。

分析：電路中的電流I=URL+R，滑動變阻器兩端電壓UR=U-UL=U-IRL，滑動變阻器接入電路的電阻R越大時電流I越小，其兩端電壓UR越大；反之，R越小時I越大，UR越小。

為了保證各元件安全工作，電路中的最大電流應(yīng)等于燈L的額定電流IL，滑動變阻器兩端的最大電壓應(yīng)不超過電壓表量程即電壓表示數(shù)最大為3V。所以，當(dāng)電路中電流最大時，滑動變阻器接入電路的阻值最小；當(dāng)電壓表示數(shù)最大時，滑動變阻器接入電路的阻值最大。

解：燈L正常工作時的電流I=PLUL=0.9W3V=0.3A

燈L的電阻RL=ULI=3V0.3A=10Ω

當(dāng)電路中的電流最大等于0.3A時，滑動變阻器接入電路的阻值最小，此時電路的總電阻

R總=UI=4.5V0.3A=15Ω

滑動變阻器接入電路的最小電阻

R最小=R總-RL=15Ω-10Ω=5Ω

當(dāng)電壓表達到最大量程3V時，滑動變阻器接入電路的阻值最大，此時通過燈L的電流

IL=ULRL=4.5V-3V10Ω=0.15A

滑動變阻器接入電路的最大電阻

R最大=URIL=3V0.15A=20Ω

所以，滑動變阻器允許接入電路的阻值范圍是5Ω～20Ω。