錢德春

先看幾個例子。

案例一：在2011年泰州市初中數(shù)學教師素質(zhì)測試中有這樣一道題。

案例二：在2010年泰州市初中青年數(shù)學教師基本功比賽中考查了一道課本原題，即蘇科版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》（以下簡稱“實驗版教科書”）八年級上冊第四章《數(shù)量、位置的變化》的“數(shù)學活動”（第132頁）《確定藏寶地》（修訂后的蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》，以下簡稱“修訂版教科書”）第五章第127頁。在8個市區(qū)選派的共24名選手中，這道題只有2名選手解答正確，正確率僅為8.33%。

案例三：在2012年泰州市初中青年數(shù)學教師解題能力比賽中，一道“馬爾克廣場之謎”的題，系以實驗版教科書八年級下冊第九章《反比例函數(shù)》的閱讀（第75頁）為原型編制。結(jié)果是80名參賽選手只有7人解答正確，正確率為8.75%。

案例四：一次，在教師解題能力比賽前，一所名校的青年教師給組織者發(fā)來這樣一條短信：“……考試范圍寫的是近三年省內(nèi)外的中考試卷，面太廣了，范圍能再縮小一些嗎？”

8.75%、8.33%、8.75%，多么可憐的三個百分數(shù)?。∑渌凵涑鰜淼膯栴}不得不令人深思。少數(shù)教師忽視對教材的研究，不能理解教材的編寫意圖，更談不上對教材的教學價值的有效利用，而是教學圍著考試轉(zhuǎn)，考什么就教什么；課堂上只有題目的盲目堆砌，缺少思想和方法的深度引領(lǐng)；教什么內(nèi)容，思維就停留在什么層次上，教什么樣的學生，教師就成了什么樣的水平。

思考之一：教師的數(shù)學素養(yǎng)決定了教學境界，思維高度決定了教學效果。

案例一本意是考查函數(shù)單調(diào)性的證明，要通過代數(shù)推理加以說明。設(shè)1

其實，關(guān)于函數(shù)問題，初、高中教材根據(jù)學生的認知特點作了精心處理。

如，修訂版教科書七上第三章《代數(shù)式》是這樣安排的：《3.3代數(shù)式的值》第75頁“議一議”。

A.填表。

B.根據(jù)所填表格，討論下列問題：

（1）當x為何值時代數(shù)式2x-1的值等于-1？

（2）隨著x的值增大，代數(shù)式2x-1、-3x的值怎樣變化？

（3）隨著x的值增大，代數(shù)式的值怎樣變化？

結(jié)論：一般地，代數(shù)式的值隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化。

再如，同一教材第四章的《一元一次方程》的小結(jié)與思考中有這樣的文字：

代數(shù)式的值是隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化的，如果字母的值確定，那么代數(shù)式的值也隨之確定。反過來，像2x+1、5x-4……這樣的代數(shù)式，如果它們的值確定，那么通過解一元一次方程可以求得字母的值。

又如，修訂版教科書八年級下冊第十章《分式》第100頁習題第4題安排了這樣的問題：

教材的這種安排，讓學生從起始年級就初步感受了函數(shù)思想，為函數(shù)的學習作了鋪墊，雖沒有言明“函數(shù)”二字，但無不滲透著函數(shù)的思想。八年級開始研究函數(shù)描述性定義以及幾種簡單的函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等），基本方法是通過作函數(shù)圖象、通過觀察圖象歸納出函數(shù)的一些基本性質(zhì)。高一年級則對初等函數(shù)進行理論研究，如函數(shù)的定義（集合定義、映射定義）、函數(shù)的定義域、對應(yīng)域和值域，函數(shù)的性質(zhì)如有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性等。

盡管在七年級相關(guān)章節(jié)教學時，不必向?qū)W生言明“函數(shù)”二字，但教師自己必須清楚教材這樣編寫的目的，并在課堂教學中有所體現(xiàn)。而八年級、九年級函數(shù)內(nèi)容的教學，不能僅僅停留在對幾種函數(shù)的分類，重點要放在研究函數(shù)的方法和思想上，如初中研究函數(shù)的基本方法有：函數(shù)表達式→列表→描點、連線→圖象→性質(zhì)（圖象位置、函數(shù)變化趨勢、范圍、增減性）等。應(yīng)該滲透的思想有：對應(yīng)思想、運動變化的思想、數(shù)形結(jié)合思想、對稱思想等。函數(shù)圖象是為了研究函數(shù)而建構(gòu)的幾何模型，利用其形象、直觀的特點，通過操作、觀察，歸納、抽象出函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，是一種合情推理、歸納、抽象，而函數(shù)所有的特質(zhì)都源自于函數(shù)表達式。高中研究函數(shù)時則更多地通過對函數(shù)表達式的研究，在演繹與證明的過程中揭示函數(shù)的本質(zhì)。案例一中的問題意圖很明顯：就是要求通過代數(shù)推理的方法進行證明。這是高中函數(shù)內(nèi)容的常識，對受過高等教育的初中數(shù)學教師而言，無論從知識上說還是從難度上說都不是問題，但偏偏出問題了。那么，是什么原因?qū)е逻@種現(xiàn)象產(chǎn)生的呢？問題源于教師的認識高度不夠。

常常有這樣的現(xiàn)象：學生進入高一級學校學習到與原有知識相關(guān)聯(lián)的問題時，似乎覺得過去老師“講錯了”，這或許源于教師自身的理解高度不夠，或許因為教學中沒有考慮學生知識的發(fā)展性而“說過頭話”。初中教師應(yīng)該思考：如直線、平面等，教材為什么使用描述性定義方法；又如“角”則是從小學的描述性定義發(fā)展到初中的發(fā)生性定義；再如函數(shù)的定義，初中階段“變量—對應(yīng)”的描述性定義更符合初中學生的認知特點，而高中階段的“集合—映射”定義則抽象得多了。這些變化并不要求學生去理解、掌握，但教師卻不能沒有思考。

作為教師，要認真研讀課標，細細品味教材，理解課程標準的要求，體味教材的設(shè)計和安排，以高屋建瓴的姿態(tài)去審視教學內(nèi)容、思考編者的弦外之音，既要對教學內(nèi)容的地位、作用、知識體系作整體把握，如一節(jié)課的知識和方法與這一章節(jié)、這個學段、其他學段的聯(lián)系；也要對學生認知基礎(chǔ)和能力結(jié)構(gòu)準確定位，準確把握學生已具備的知識、思想、方法以及活動經(jīng)驗，明確本節(jié)內(nèi)容對學生的后續(xù)學習甚至對其他學科的學習起什么作用，等等。

思考之二：教師不要從教材里的“風景”邊上繞過去。

案例二《確定藏寶地》原題如下：

小明在一本課外讀物中看到這樣一段文字和一幅圖：

下面是尋寶者得到的一幅藏寶圖，荒涼的海島上沒有藏匿寶藏的任何標志，只有一塊天然巨石。

尋寶人從其他文獻資料上查到，島上A、B兩塊巨石的直角坐標分別是A（2，1）和B（8，2），藏寶地的坐標是（6，6）。

你能在上面的地圖中畫出藏寶地嗎？

這是一個充滿趣味的探索活動，也是一個逆向思維與操作的活動，是教材為學生設(shè)計的一道獨特的風景。它安排在學完《數(shù)量、位置的變化》之后，旨在讓學生建立平面直角坐標系，再根據(jù)藏寶地的坐標確定藏寶地位置，問題的核心是確定坐標原點。學生已具備了直角坐標系、點的坐標、有序?qū)崝?shù)對與坐標的關(guān)系等知識?！督處熡脮分性O(shè)計了9個問題指導學生開展活動，并提供了一種“用透明紙覆蓋”確定藏寶地的探索方法。

在學習了圖形的相似后，本題還可以再安排一次利用相似知識進行的探索活動：

（1）在另一張紙上以任意長為單位長度畫出直角坐標系；

（2）作出點A（2，1）、B（8，2）和C（6，6），連接AB、BC、CA；

（3）作∠MAB=∠C′A′B′，∠NBA=∠C′B′A′，射線AM、BN相交于點C′。

則點C′即為藏寶地的位置。

然而，從教師的解答情況可以猜想（事后調(diào)查也確證是這樣的），絕大多數(shù)教師在教學中根本沒有理會這個問題，而是從教材里這道美麗的“風景”邊上繞了過去，更談不上引導學生對此開展探究活動。在與教師交流中得知：認為此問題不會在中考中出現(xiàn)?？梢姡簧俳處煵皇侵塾趯W生的發(fā)展，把學生當作鮮活的生命和學習的主體，對學生進行靈動的引導、思想方法的滲透，而是把學生看作是接受知識的容器，把教學過程看成生產(chǎn)流程，教學圍著考試轉(zhuǎn)，考什么就教什么，學生的學習生活就在簡單模仿、機械記憶和重復(fù)訓練中度過。

問題是數(shù)學的心臟。教材中的數(shù)學活動、數(shù)學閱讀等內(nèi)容為教學提供了豐富而鮮活的素材，從應(yīng)試角度來說，這些問題或許不會出現(xiàn)在中考試卷上，而對學生而言則是生動有趣、充滿挑戰(zhàn)的。教師應(yīng)充分利用這些素材，發(fā)揮其教學價值，根據(jù)學生知識儲備、認知能力，引導學生動手實踐、自主探索、合作交流，讓學生在經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程中激發(fā)學生的興趣和求知的欲望，積累活動經(jīng)驗，增強新知運用能力、操作探究能力、建模能力、思維能力，掌握學習方法，促進自身發(fā)展。

思考之三：數(shù)學教師不能用“套路”套住了自己和學生。

案例四中，教師短信的言外之意，似乎給了考試的知識范圍還不夠，還要有題目范圍，把這個范圍內(nèi)的題目都做一遍，一定能考好。在教師的潛意識里，考試就是記題型、記套路甚至記答案。有些教師教起始年級時，學生的階段測試成績遙遙領(lǐng)先于循環(huán)教學的教師所帶的班級，但隨著年級的升高、知識的積累，其所教的學生成績優(yōu)勢逐漸失去，被戲稱為“基礎(chǔ)年級專家”。

還有不少教師在數(shù)學教學時，總喜歡進行題型分類，什么樣的題型用什么套路，結(jié)果正如省教研室董林偉先生曾說：有些學生存在這樣的問題，做過的會做，沒做過的不會做，解題模式化了。教學中一定要打破這種模式化，引導學生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的過程，指導學生基本的研究方法，揭示數(shù)學本質(zhì)。如利用方程解決問題，行程問題中“路程=速度×時間”，濃度問題中“純物質(zhì)=濃度×溶液”，工程問題中“工作量=工作效率×工作時間”等等，它們都包含形如a×b=c的基本數(shù)量關(guān)系。這才是相關(guān)問題的本質(zhì)，再如圖形的全等、相似、位似本質(zhì)上就是圖形的變換，問題類型不同但數(shù)學本質(zhì)相同，只有抓住問題的本質(zhì)，才能領(lǐng)略數(shù)學的真諦。

另外，互聯(lián)網(wǎng)在給教師帶來便利的同時，也給教育提出了新的挑戰(zhàn)。只要在網(wǎng)絡(luò)上搜索一下，任何題目和答案都能立即顯示，不少教師采取“拿來主義”，不經(jīng)過自己的思考與過濾，直接拿上講臺。一些生源素質(zhì)不理想的學?！安恍枰v”，所謂“名?！奔词菇處熤v不了，一定有學生能解除老師的“尷尬”，長此以往，教師就只剩下“轉(zhuǎn)述”的本領(lǐng)了。我想案例四中的那條短信就屬于這樣的問題。

記得有這樣一句話：要給學生一滴水，教師就要有一桶水。然而，如果教師擁有的只是一桶水、一桶死水，那就有可能江郎才盡；如果教師擁有的是一桶臟水，還可能貽誤學生、貽誤教育。教學是一種創(chuàng)造性勞動，要給學生一滴水，教師必須要有涓涓不息的源頭活水。

學數(shù)學、教數(shù)學，沒有一定量的習題訓練肯定不行。但在信息時代，題目浩如煙海，縱使你有三頭六臂，也無法逐一解答。我們只有通過對有限題目的練習與思考，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，揭示數(shù)學本質(zhì)和思想、方法與策略，以方略的不變應(yīng)對題目的萬變，在思考中形成良好的數(shù)學思維方式，才能提高思維能力?！?/p>

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）

你能在上面的地圖中畫出藏寶地嗎？

這是一個充滿趣味的探索活動，也是一個逆向思維與操作的活動，是教材為學生設(shè)計的一道獨特的風景。它安排在學完《數(shù)量、位置的變化》之后，旨在讓學生建立平面直角坐標系，再根據(jù)藏寶地的坐標確定藏寶地位置，問題的核心是確定坐標原點。學生已具備了直角坐標系、點的坐標、有序?qū)崝?shù)對與坐標的關(guān)系等知識?！督處熡脮分性O(shè)計了9個問題指導學生開展活動，并提供了一種“用透明紙覆蓋”確定藏寶地的探索方法。

在學習了圖形的相似后，本題還可以再安排一次利用相似知識進行的探索活動：

（1）在另一張紙上以任意長為單位長度畫出直角坐標系；

（2）作出點A（2，1）、B（8，2）和C（6，6），連接AB、BC、CA；

（3）作∠MAB=∠C′A′B′，∠NBA=∠C′B′A′，射線AM、BN相交于點C′。

則點C′即為藏寶地的位置。

然而，從教師的解答情況可以猜想（事后調(diào)查也確證是這樣的），絕大多數(shù)教師在教學中根本沒有理會這個問題，而是從教材里這道美麗的“風景”邊上繞了過去，更談不上引導學生對此開展探究活動。在與教師交流中得知：認為此問題不會在中考中出現(xiàn)?？梢?，不少教師不是著眼于學生的發(fā)展，把學生當作鮮活的生命和學習的主體，對學生進行靈動的引導、思想方法的滲透，而是把學生看作是接受知識的容器，把教學過程看成生產(chǎn)流程，教學圍著考試轉(zhuǎn)，考什么就教什么，學生的學習生活就在簡單模仿、機械記憶和重復(fù)訓練中度過。

問題是數(shù)學的心臟。教材中的數(shù)學活動、數(shù)學閱讀等內(nèi)容為教學提供了豐富而鮮活的素材，從應(yīng)試角度來說，這些問題或許不會出現(xiàn)在中考試卷上，而對學生而言則是生動有趣、充滿挑戰(zhàn)的。教師應(yīng)充分利用這些素材，發(fā)揮其教學價值，根據(jù)學生知識儲備、認知能力，引導學生動手實踐、自主探索、合作交流，讓學生在經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程中激發(fā)學生的興趣和求知的欲望，積累活動經(jīng)驗，增強新知運用能力、操作探究能力、建模能力、思維能力，掌握學習方法，促進自身發(fā)展。

思考之三：數(shù)學教師不能用“套路”套住了自己和學生。

案例四中，教師短信的言外之意，似乎給了考試的知識范圍還不夠，還要有題目范圍，把這個范圍內(nèi)的題目都做一遍，一定能考好。在教師的潛意識里，考試就是記題型、記套路甚至記答案。有些教師教起始年級時，學生的階段測試成績遙遙領(lǐng)先于循環(huán)教學的教師所帶的班級，但隨著年級的升高、知識的積累，其所教的學生成績優(yōu)勢逐漸失去，被戲稱為“基礎(chǔ)年級專家”。

還有不少教師在數(shù)學教學時，總喜歡進行題型分類，什么樣的題型用什么套路，結(jié)果正如省教研室董林偉先生曾說：有些學生存在這樣的問題，做過的會做，沒做過的不會做，解題模式化了。教學中一定要打破這種模式化，引導學生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的過程，指導學生基本的研究方法，揭示數(shù)學本質(zhì)。如利用方程解決問題，行程問題中“路程=速度×時間”，濃度問題中“純物質(zhì)=濃度×溶液”，工程問題中“工作量=工作效率×工作時間”等等，它們都包含形如a×b=c的基本數(shù)量關(guān)系。這才是相關(guān)問題的本質(zhì)，再如圖形的全等、相似、位似本質(zhì)上就是圖形的變換，問題類型不同但數(shù)學本質(zhì)相同，只有抓住問題的本質(zhì)，才能領(lǐng)略數(shù)學的真諦。

另外，互聯(lián)網(wǎng)在給教師帶來便利的同時，也給教育提出了新的挑戰(zhàn)。只要在網(wǎng)絡(luò)上搜索一下，任何題目和答案都能立即顯示，不少教師采取“拿來主義”，不經(jīng)過自己的思考與過濾，直接拿上講臺。一些生源素質(zhì)不理想的學?！安恍枰v”，所謂“名?！奔词菇處熤v不了，一定有學生能解除老師的“尷尬”，長此以往，教師就只剩下“轉(zhuǎn)述”的本領(lǐng)了。我想案例四中的那條短信就屬于這樣的問題。

記得有這樣一句話：要給學生一滴水，教師就要有一桶水。然而，如果教師擁有的只是一桶水、一桶死水，那就有可能江郎才盡；如果教師擁有的是一桶臟水，還可能貽誤學生、貽誤教育。教學是一種創(chuàng)造性勞動，要給學生一滴水，教師必須要有涓涓不息的源頭活水。

學數(shù)學、教數(shù)學，沒有一定量的習題訓練肯定不行。但在信息時代，題目浩如煙海，縱使你有三頭六臂，也無法逐一解答。我們只有通過對有限題目的練習與思考，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，揭示數(shù)學本質(zhì)和思想、方法與策略，以方略的不變應(yīng)對題目的萬變，在思考中形成良好的數(shù)學思維方式，才能提高思維能力。■

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）

你能在上面的地圖中畫出藏寶地嗎？

這是一個充滿趣味的探索活動，也是一個逆向思維與操作的活動，是教材為學生設(shè)計的一道獨特的風景。它安排在學完《數(shù)量、位置的變化》之后，旨在讓學生建立平面直角坐標系，再根據(jù)藏寶地的坐標確定藏寶地位置，問題的核心是確定坐標原點。學生已具備了直角坐標系、點的坐標、有序?qū)崝?shù)對與坐標的關(guān)系等知識。《教師用書》中設(shè)計了9個問題指導學生開展活動，并提供了一種“用透明紙覆蓋”確定藏寶地的探索方法。

在學習了圖形的相似后，本題還可以再安排一次利用相似知識進行的探索活動：

（1）在另一張紙上以任意長為單位長度畫出直角坐標系；

（2）作出點A（2，1）、B（8，2）和C（6，6），連接AB、BC、CA；

（3）作∠MAB=∠C′A′B′，∠NBA=∠C′B′A′，射線AM、BN相交于點C′。

則點C′即為藏寶地的位置。

然而，從教師的解答情況可以猜想（事后調(diào)查也確證是這樣的），絕大多數(shù)教師在教學中根本沒有理會這個問題，而是從教材里這道美麗的“風景”邊上繞了過去，更談不上引導學生對此開展探究活動。在與教師交流中得知：認為此問題不會在中考中出現(xiàn)?？梢姡簧俳處煵皇侵塾趯W生的發(fā)展，把學生當作鮮活的生命和學習的主體，對學生進行靈動的引導、思想方法的滲透，而是把學生看作是接受知識的容器，把教學過程看成生產(chǎn)流程，教學圍著考試轉(zhuǎn)，考什么就教什么，學生的學習生活就在簡單模仿、機械記憶和重復(fù)訓練中度過。

問題是數(shù)學的心臟。教材中的數(shù)學活動、數(shù)學閱讀等內(nèi)容為教學提供了豐富而鮮活的素材，從應(yīng)試角度來說，這些問題或許不會出現(xiàn)在中考試卷上，而對學生而言則是生動有趣、充滿挑戰(zhàn)的。教師應(yīng)充分利用這些素材，發(fā)揮其教學價值，根據(jù)學生知識儲備、認知能力，引導學生動手實踐、自主探索、合作交流，讓學生在經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程中激發(fā)學生的興趣和求知的欲望，積累活動經(jīng)驗，增強新知運用能力、操作探究能力、建模能力、思維能力，掌握學習方法，促進自身發(fā)展。

思考之三：數(shù)學教師不能用“套路”套住了自己和學生。

案例四中，教師短信的言外之意，似乎給了考試的知識范圍還不夠，還要有題目范圍，把這個范圍內(nèi)的題目都做一遍，一定能考好。在教師的潛意識里，考試就是記題型、記套路甚至記答案。有些教師教起始年級時，學生的階段測試成績遙遙領(lǐng)先于循環(huán)教學的教師所帶的班級，但隨著年級的升高、知識的積累，其所教的學生成績優(yōu)勢逐漸失去，被戲稱為“基礎(chǔ)年級專家”。

還有不少教師在數(shù)學教學時，總喜歡進行題型分類，什么樣的題型用什么套路，結(jié)果正如省教研室董林偉先生曾說：有些學生存在這樣的問題，做過的會做，沒做過的不會做，解題模式化了。教學中一定要打破這種模式化，引導學生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的過程，指導學生基本的研究方法，揭示數(shù)學本質(zhì)。如利用方程解決問題，行程問題中“路程=速度×時間”，濃度問題中“純物質(zhì)=濃度×溶液”，工程問題中“工作量=工作效率×工作時間”等等，它們都包含形如a×b=c的基本數(shù)量關(guān)系。這才是相關(guān)問題的本質(zhì)，再如圖形的全等、相似、位似本質(zhì)上就是圖形的變換，問題類型不同但數(shù)學本質(zhì)相同，只有抓住問題的本質(zhì)，才能領(lǐng)略數(shù)學的真諦。

另外，互聯(lián)網(wǎng)在給教師帶來便利的同時，也給教育提出了新的挑戰(zhàn)。只要在網(wǎng)絡(luò)上搜索一下，任何題目和答案都能立即顯示，不少教師采取“拿來主義”，不經(jīng)過自己的思考與過濾，直接拿上講臺。一些生源素質(zhì)不理想的學校“不需要講”，所謂“名校”即使教師講不了，一定有學生能解除老師的“尷尬”，長此以往，教師就只剩下“轉(zhuǎn)述”的本領(lǐng)了。我想案例四中的那條短信就屬于這樣的問題。

記得有這樣一句話：要給學生一滴水，教師就要有一桶水。然而，如果教師擁有的只是一桶水、一桶死水，那就有可能江郎才盡；如果教師擁有的是一桶臟水，還可能貽誤學生、貽誤教育。教學是一種創(chuàng)造性勞動，要給學生一滴水，教師必須要有涓涓不息的源頭活水。

學數(shù)學、教數(shù)學，沒有一定量的習題訓練肯定不行。但在信息時代，題目浩如煙海，縱使你有三頭六臂，也無法逐一解答。我們只有通過對有限題目的練習與思考，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，揭示數(shù)學本質(zhì)和思想、方法與策略，以方略的不變應(yīng)對題目的萬變，在思考中形成良好的數(shù)學思維方式，才能提高思維能力?！?/p>

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）