王志芳

(常州工學院理學院，江蘇常州213002)

高等數學選擇題設計的探析

王志芳

(常州工學院理學院，江蘇常州213002)

選擇題是高等數學考試中的常見題型之一，但選擇題的設計要求很多，文章就單項選擇題命題的正確性，結合實例從選擇題必須是可解的、符合題意的答案只能是唯一的、表述要準確等方面進行了初步探討。

高等數學；選擇題；設計；正確性

G424.79

B

選擇題是一種比較特殊的試題形式，特殊之處在于它由題干和備選答案組成。在備選答案部分，列舉供選擇的多個(一般為4個)答案，要求學生通過觀察、分析和必要的計算或推理等，從中找出符合題意的答案。一般認為，采用選擇題，可以使考題題量更多，知識的涉及面更廣，而評分卻比較簡單、客觀(可借助于計算機)，便于分析錯誤，有利于檢測學生對知識的掌握情況，因而目前廣泛應用于高等數學的各種考試中，成為3類主打題型之一，但選擇題的設計有多方面要求，如必須保證命題是正確的，要有一定的綜合性，難易程度要恰當，學生可以從不同的角度去解答等等。本文就單項選擇題的設計必須要保證命題的正確性這一要求，結合具體實例進行了探討。

單項選擇題的設計必須保證命題的正確性，這種正確性主要體現在它的可解性、唯一性和準確性。

1 單項選擇題的可解性

單項選擇題的設計必須保證是可解的，這里的可解主要是指在提供的每組備選答案中，有且只能有一個是符合題意的答案。

這是計算平面圖形繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體的體積問題，顯然備選答案A、B都是錯誤的。一般教師在講解曲邊梯形a≤x≤b，0≤y≤f(x)繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體體積公式之后，都會補充本題中平面圖形D繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體的體積計算公式，但往往所給出的示范圖形僅是D在第一象限時的情況，即默認了0≤f1(x)≤y≤f2(x)，此時生成的旋轉體的體積是備選答案中的C，原試題提供的正確答案也是備選答案C，有些高等數學輔導與復習參考書中給出的也是這個結論，如文獻[1]。

事實上，備選答案C并不正確，它忽視了其他情況，如f1(x)≤y≤f2(x)≤0時，D繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體體積為備選答案中的D，因此本題中4個備選答案均為錯誤的，故本題因無解而不能成立。

例2[2]二階微分方程y″+y′=x2具有的特解形式為________。

A.y=ax2

B.y=ax2+bx+c

C.y=x(ax2+bx+c)+d

D.y=x2(ax2+bx+c)

這是求二階常系數非齊次線性微分方程的特解問題。 f(x)是Pm(x)eλx型，其中Pm(x)=x2，λ=0。與所給方程對應的齊次方程的特征方程為r2+r=0，有2個特征根，r1=-1，r2=0。由于λ=0是特征方程的單根，所以應設特解為y*=x(ax2+bx+c)的形式。[3]對照例2提供的4個備選答案，嚴格地講，4個答案均是錯誤的，所以本題也因無解不能成立。

該題提供的正確答案為C，其理由或許是認為將y=x(ax2+bx+c)+d代入原方程能夠求出待定系數a，b，c，備選答案C就是該方程的特解形式，但它忽略了這時d可以為任意常數，特解中是不能含有任意常數的，所以本題中把備選答案C作為特解形式是不妥當的，容易造成學生對二階常系數非齊次線性微分方程求解方法上的困惑。

2 單項選擇題答案的唯一性

目前高等數學的各種考試，在單項選擇題的題首，一般都會說明在每組備選答案中，只有一個答案是符合題意的，也即不允許有多個符合題意的答案并存。

例3[4]若F′(x)=G′(x)，則下列等式必成立的是________。

A.F(x)=G(x)

B.F(x)=G(x)+C

D.∫dF(x)=∫dG(x)

顯然，由F′(x)=G′(x)易得F(x)=G(x)+C和∫dF(x)=∫dG(x)結論均成立，即備選答案B和C都是正確的，本題有2個正確答案。

例4[5]函數f(x)在點x0可導是f(x)在點x0可微的________。

A.充要條件 B.充分條件

C.必要條件 D.無關條件

由一元函數可導與可微的關系可知，若函數f(x)在點x0可導，必有f(x)在點x0可微，反之亦然，因此，備選答案中A、B、C都是正確的，本題出現了3個正確答案。

例3、例4在備選答案中分別有2個和3個符合題意的答案，這與題前的說明是不相符合的，也不符合單項選擇題答案的唯一性，因此命題不成立。

3 單項選擇題表述的準確性

單項選擇題的解答就是判定命題的正確與否，這就要求在設計單項選擇題時必須做到語言正確、符號規(guī)范、邏輯嚴密等，特別是涉及一些概念、性質等結論的限制語，如“一定”、“不一定”，“必有”、“可能”、“至少”、“唯一”等表述要非常恰當，不能引起歧義，影響考生答題。

A.若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散

B.若xn無界，則yn必有界

C.若xn有界，則yn必為無窮小

本題涉及數列的收斂、發(fā)散、有界、無窮小等概念，題目中用數列的通項xn與yn表示數列{xn}與{yn}，雖然不會影響學生對題干和備選答案的理解，但這種表述是有瑕疵的。

例6[6]z=f(x,y)在(x0,y0)的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數，又(x0,y0)是駐點，令fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，則f(x,y)在(x0,y0)處取得極值的條件為________。

A.B2-AC>0 B.B2-AC=0

C.B2-AC<0 D.A,B,C無任何關系

本題主要考查學生對二元函數取得極值的充分條件的掌握情況，題目要求選出“f(x,y)在(x0,y0)處取得極值的條件”，但沒有明確這一條件究竟是“充分條件”還是“必要條件”，顯然是用生活語言代替了數學語言，容易引起歧義。一般可將f(x,y)在(x0,y0)處取得極值的條件改為“f(x,y)在(x0,y0)處取得極值的充分條件”較為恰當。

此外，在設計某些與不等式、充要條件等有關的選擇題時，必須注意分組方法的科學性，提供的備選答案之間應該是互不相容的，以確保在邏輯上沒有漏洞。

例7[5]設f(0)=g(0)，且當x>0時，有f′(x)>g′(x)，則有________。

A.f(x)g(x)

C.f(x)≤g(x) D.f(x)≥g(x)

從邏輯上講，若備選答案A成立，則必有備選答案C成立，同理，若備選答案B成立，也必有備選答案D成立，因而在“只有1個正確答案”的

前提條件下，備選答案A、B都不能成立，從單項選擇題解法研究的角度看，學生會利用排除法在備選答案C、D中選擇正確答案。事實上，本題中備選答案B、D都是正確答案，這就出現了有2個正確答案的情形。當然備選答案B應該是更佳的答案，也是原題提供的正確答案，顯然本題的備選答案容易對學生造成思想上的混亂。究其原因，主要是在各個備選答案之間沒有做到互不相容。

例4也是由于分組不科學，備選答案之間沒有做到互不相容，因而出現了3個正確答案，一般應將備選答案B和C分別修改為“充分而非必要條件”“必要而非充分條件”較為合理。

4 結語

單項選擇題是各種高等數學考試中的常見題型之一，因此，保證單項選擇題設計的正確性就顯得尤為重要。為避免單項選擇題設計中出現的一些常見錯誤，編制者應以嚴謹的教學態(tài)度對待，認真仔細地推敲每一題，設計單項選擇題時應確保單項選擇題設計的正確性。錯誤的命題，不僅不能反映學生對知識掌握的真實情況，還會造成學生思想上的混亂，必須引以為戒。

[1]李群高.高等數學輔導與練習[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007:116.

[2]陳仲.高等數學競賽題解析教程[M].南京：東南大學出版社，2012:342.

[3]同濟大學數學系.高等數學(上冊)[M].6版.北京：高等教育出版社，2011:342.

[4]劉坤，沈京一，許定亮.高等數學(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2013:130.

[5]全國高等教育自學考試命題研究組.高等數學(一)命題指導及模擬試題[M].北京：中國大地出版社，2002:50，75.

[6]劉坤，沈京一，許定亮.高等數學(下冊)[M].北京：高等教育出版社，2013:67.

責任編輯：張秀蘭

TheAnalysisoftheDesignofMultipleChoiceQuestionsinHigherMathematics

WANGZhifang

(School of Science，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213002)

Multiple choice is one of the common question types in the various higher mathematics tests.However,there are a lot of requirements on the design of multiple choice questions.This article discusses the necessity of ensuring the correctness of the propositions of the multiple choice.It discusses this issue in the following three aspects: The multiple choice should be solvable;the answer which meets the demand of the question is just the only one;and the expression of questions should be accurate.

higher mathematics；multiple choice；design；correctness

2014- 05-15

王志芳(1965— ),男，副教授。

1671- 0436(2014)03- 0052- 03