王永弟，趙好好

(南京信息工程大學(xué) 遙感學(xué)院，江蘇 南京 210044)

一、引 言

病態(tài)性問(wèn)題存在于測(cè)量數(shù)據(jù)處理、地球物理參數(shù)反演、回歸分析等與參數(shù)估計(jì)有關(guān)的諸多領(lǐng)域，其危害嚴(yán)重性受到相關(guān)領(lǐng)域科技工作者的廣泛關(guān)注。當(dāng)模型中存在病態(tài)性時(shí)，參數(shù)最小二乘估計(jì)的性質(zhì)會(huì)顯著地變壞，參數(shù)估值的質(zhì)量難以得到保證。分析模型的病態(tài)性質(zhì)、克服或減弱模型病態(tài)性、取得更為準(zhǔn)確的參數(shù)估值，是當(dāng)前測(cè)量平差中的一個(gè)重要問(wèn)題。

近年來(lái)，關(guān)于如何解決滿秩、秩虧和附有條件的參數(shù)平差模型中的病態(tài)問(wèn)題，得到了測(cè)繪地理信息界普遍的重視，許多學(xué)者[1-8]對(duì)此進(jìn)行了深入而系統(tǒng)的研究，并取得了一系列重要的成果。在諸多克服或減弱模型病態(tài)性的方法中，一大類是以嶺估計(jì)、廣義嶺估計(jì)、主成分估計(jì)和Stein壓縮估計(jì)等為代表的有偏估計(jì)，其實(shí)質(zhì)是以犧牲最小二乘估計(jì)的無(wú)偏性來(lái)?yè)Q取參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)定性和參數(shù)估值的可靠性，具有結(jié)果有偏和參數(shù)確定困難兩個(gè)缺點(diǎn)；另一大類是以矩陣的奇異值分解法、遺傳算法及誤差方程的正交化等為代表，其原理都比較深?yuàn)W，在實(shí)際工作中應(yīng)用不便。

文獻(xiàn)[9]中提出一種新的迭代算法——主元加權(quán)迭代法，其主要思想是采用主元加權(quán)的預(yù)處理手段。即首先降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)，隨著條件數(shù)的降低，其病態(tài)性也會(huì)隨之得以改善和消除；然后組成一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代公式進(jìn)行求解，經(jīng)過(guò)這樣的處理以后，數(shù)值解的精度能夠得到較大幅度的提高。

本文將文獻(xiàn)[9]提出的主元加權(quán)迭代法引入到測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，以觀察主元加權(quán)迭代是否能夠達(dá)到與譜修正迭代法相同的效果。分別就良態(tài)和病態(tài)兩種情況選擇了兩個(gè)實(shí)際算例，主要對(duì)主元加權(quán)迭代法和譜修正迭代法兩種方法在不同情形下的表現(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比和分析。

二、主元加權(quán)迭代方法

1. 主元加權(quán)迭代法

測(cè)量數(shù)據(jù)處理中存在諸多病態(tài)線性方程組，一般為如下形式

Ax=b

(1)

對(duì)于病態(tài)線性方程組，A和(或)b如果存在一個(gè)小的擾動(dòng)δA和(或)δb，則會(huì)對(duì)解產(chǎn)生比較大的誤差。誤差放大的倍數(shù)用系數(shù)矩陣的條件數(shù)cond(A)來(lái)衡量，當(dāng)系數(shù)矩陣嚴(yán)重病態(tài)時(shí)，cond(A)?1。

若采用主元加權(quán)方法，改善病態(tài)矩陣條件數(shù)，形式如下

A+αE

(2)

式中，A為n階正定方陣，E為n階單位矩陣。

關(guān)于矩陣A+αE的條件數(shù)改善問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]給出定義及其證明，在此僅給出定義，證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

定義：對(duì)于正定對(duì)稱矩陣A，當(dāng)α>0 時(shí)，則cond(A+αE)

權(quán)因子α的選取是否得當(dāng)是主元加權(quán)方法是否有效的關(guān)鍵。當(dāng)α值過(guò)小時(shí)，對(duì)矩陣A的條件數(shù)改善效果不明顯，則A仍嚴(yán)重病態(tài)，此時(shí)解的精度仍然很低；當(dāng)α值過(guò)大時(shí)，收斂速度則會(huì)變慢，甚至解會(huì)失真。文獻(xiàn)[9]根據(jù)文中所處理的系數(shù)矩陣，在Matlab中經(jīng)過(guò)多次計(jì)算后確定α取值為2時(shí)比較合適。

2. 主元加權(quán)迭代算法計(jì)算步驟

測(cè)量數(shù)據(jù)處理中存在諸多病態(tài)線性方程組，一般為如下形式

Ax=b

(3)

將式(3)的主元疊加一個(gè)權(quán)值來(lái)改善條件數(shù)，則得到與式(3)同解的另一種形式

(A+αE)x=b+αx

(4)

由于式(4)兩端分別含有解向量x，則可構(gòu)造迭代公式為

(A+αE)x(k+1)=b+αx(k)

(5)

令x(k+1)=x(k)+e(k)，則

(A+αE)(x(k)+e(k))=b+αx(k)?(A+αE)x(k)+(A+αE)e(k)=b+αx(k)?(A+αE)e(k)=b-Ax(k)

(6)

三、實(shí)例應(yīng)用

針對(duì)平差問(wèn)題中的良態(tài)和病態(tài)兩種情況，下面利用高斯約化法、譜修正迭代法和主元加權(quán)迭代法等3種方法，通過(guò)實(shí)例對(duì)良態(tài)和病態(tài)兩種實(shí)際平差問(wèn)題分別進(jìn)行討論。

1. 法方程良態(tài)的平差問(wèn)題

本例取自文獻(xiàn)[11]第130頁(yè)中的例7～9。在該三角網(wǎng)坐標(biāo)平差中，得到的法方程為

(7)

法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)為2.714 7，因此該法方程為良態(tài)方程。利用高斯約化法、譜修正迭代法和主元加權(quán)迭代法3種方法分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 計(jì)算結(jié)果

表1中，所有結(jié)果在3種方法中完全相同。由以上結(jié)果可知，當(dāng)平差問(wèn)題中的法方程為良態(tài)時(shí)，無(wú)論是譜修正迭代法還是主元加權(quán)迭代法，均能得到與高斯約化法完全一致的計(jì)算結(jié)果。

2. 法方程病態(tài)的平差問(wèn)題

本例取自文獻(xiàn)[3]。其中的法方程為

(8)

表2中，3種方法的參數(shù)估值與模擬真值之差的2-范數(shù)分別為：31.826 2(高斯約化法)、0.341 5(譜修正迭代法)和0.000 9(主元加權(quán)迭代法)。由以上計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)法方程為病態(tài)方程時(shí)，譜修正迭代法和主元加權(quán)迭代法均顯著優(yōu)于高斯約化法，即這兩種方法都能很好地改善最小二乘估計(jì)，其中主元加權(quán)迭代法的改善效果更為明顯。

表2 計(jì)算結(jié)果

四、結(jié)束語(yǔ)

在良態(tài)法方程平差問(wèn)題中，使用主元加權(quán)迭代法能得到與譜修正迭代法和高斯約化法完全一致的計(jì)算結(jié)果；在病態(tài)法方程平差問(wèn)題中，主元加權(quán)迭代法得到的結(jié)果比譜修正迭代法和高斯約化法的結(jié)果更加明顯地接近真值。因此，從實(shí)際應(yīng)用的角度來(lái)講，主元加權(quán)迭代法是一種非常實(shí)用的計(jì)算方法。因此，當(dāng)在使用主元加權(quán)迭代法來(lái)解決一般的平差問(wèn)題時(shí)，無(wú)論方程有無(wú)病態(tài)，均可使用完全相同的測(cè)量數(shù)據(jù)處理程序平差，大大增強(qiáng)了數(shù)據(jù)處理程序的適用性。但實(shí)際工作中參數(shù)的真值往往無(wú)法獲得，計(jì)算結(jié)果的好壞均是通過(guò)參數(shù)估值與模擬真值之差的2-范數(shù)來(lái)比較估值精度的改善程度，因此，是否有更加合理的針對(duì)結(jié)果改善程度的評(píng)估方法，還有待進(jìn)一步研究。

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