趙憲君

（吉林省四平市伊通滿族高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組）

圓錐曲線知識(shí)是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，因而成為高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。在每年的全國(guó)高考題中，有關(guān)圓錐曲線的試題占解析幾何總分值的三分之二，約占全卷總分的13%。有關(guān)圓錐曲線的試題每年一般有兩到三道，其中兩道為選擇題或填空題，一道為解答題，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。隨著新課改的進(jìn)行，其重要性應(yīng)該不會(huì)下降。而解析幾何問(wèn)題的解答又非常煩瑣，計(jì)算量又非常的大，所以學(xué)生在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間還會(huì)出現(xiàn)很多失誤導(dǎo)致解答的失敗。那么一些有用的數(shù)學(xué)結(jié)論就顯得尤為重要，它能幫助學(xué)生快速地解題。那么教師就要在平時(shí)講課時(shí)注意發(fā)現(xiàn)一些有用的結(jié)論教給學(xué)生并注意在平時(shí)注意應(yīng)用。

例如：2015 屆高三第三次月考題，選擇題第12 題：橢圓=1 的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P 在橢圓C 上且直線PA2的斜率的取值范圍是［-2，-1］，那么直線PA2的斜率的取值范圍是（ ）此題解答比較麻煩，學(xué)生不易得到正確的答案。

但它與人教版選修2-1 教材中的兩個(gè)例題有關(guān)。人教版選修2-1 教材第41 頁(yè)例3 如右圖，設(shè)點(diǎn)A，B 的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）直線AM，BM 相交于點(diǎn)M 且它們的斜率之積是-，求點(diǎn)M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。

人教版選修2-1 教材第55 頁(yè)探究如右圖，設(shè)點(diǎn)A，B 的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM 相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。

由這兩個(gè)例子可以看出，分別過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的直線斜率之積等于一個(gè)常數(shù)，那么這兩個(gè)直線的交點(diǎn)的軌跡就是雙橢圓或雙曲線。這個(gè)結(jié)論是不是一個(gè)一般的結(jié)論教師就要把這個(gè)結(jié)論給學(xué)生做一個(gè)總結(jié)，得出一個(gè)普遍的結(jié)論。

設(shè)點(diǎn)A，B 的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）（a＞0），直線AM，BM 相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是t（t 是常數(shù)，且t≠0），求點(diǎn)M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。

解：設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（x，y）

所以，（1），當(dāng)t=-1 時(shí)，方程為x2+y2=a2，則點(diǎn)M 的軌跡是個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓。（2）當(dāng)t=1 時(shí)，方程為x2-y2=a2，則點(diǎn)M的軌跡是中心在原點(diǎn)的等軸雙曲線。（3）當(dāng)t＜0 且t≠-1 時(shí)，方程為=1，則點(diǎn)M 的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸的橢圓。（4）當(dāng)t＞0 且t≠-1 時(shí)，方程為=1，則點(diǎn)M 的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸的雙曲線。

這是一個(gè)一般的結(jié)論，再把這個(gè)結(jié)論做一個(gè)推廣，那就是：如果分別過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的直線交于一點(diǎn)斜率之積等于常數(shù)t，那么交點(diǎn)的軌跡是個(gè)橢圓其方程為=1，那么這個(gè)常數(shù)t 與a，b 的關(guān)系為

應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，上面的12 題就好做了。

這就是一個(gè)普通結(jié)論在解題中的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)中這樣的結(jié)論有很多教師要善于給學(xué)生總結(jié)，有了一個(gè)一般的結(jié)論，學(xué)生在解題時(shí)加以應(yīng)用，就可以大大提高學(xué)生的解題速度。