辛友明
(青島科技大學數(shù)理學院,山東 青島 266061)
對于單值復變函數(shù)引入引入函數(shù)極限概念,進而引入連續(xù)、可導、可微、積分的概念,建立微積分理論,這種方法是很自然,容易接受的。但是對于多值復變函數(shù),由于具有多值性,顯然不可能直接將函數(shù)極限的概念,建立多值函數(shù)的微積分理論需要采取一定的方法才行。一個自然的想法是,將多值函數(shù)分解為多個單值連續(xù)函數(shù)分支,然后引入微積分理論。
在一般的教材[1-3]中是直接將分解方法直接介紹出來,然后證明該方法可以將多值函數(shù)分解為多個單值連續(xù)函數(shù)分支。教材在給出多值函數(shù)支點、支割線的定義之后,展開方法的討論。具體的方法是:首先,求出多值函數(shù)F(z)的支點;然后做出支割線K,得到函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域區(qū)域 D=CK;然后,在單值區(qū)域 D 內(nèi)取點 z0,規(guī)定 F(z0)=f(z0),對任意z,在D內(nèi)作連接z0到z的連續(xù)曲線C1,則當z沿曲線C1從z0連續(xù)變動到z時,函數(shù) F(z)由值F(z0)連續(xù)變動為f(z),可以證明 f(z)與曲線C1的選取無關,這樣就得到F(z)的一個分支f(z),改變F(z)在的z0取值,相應得到F(z)的其他分支。
上述方法就像一個算法,實現(xiàn)了多值函數(shù)分解為單值連續(xù)分支的要求。學生雖然也理解該方法的步驟及證明,但是學習上還是有一定的困惑:為什么采取這樣的步驟,這些步驟之間有什么聯(lián)系?
正是上述原因,使闡明多值函數(shù)的單值連續(xù)分支的分解原理顯的非常重要。在明確分解原理后,可以推斷支點、單值連續(xù)區(qū)域、支割線等概念的特征,明白為什么要如此定義,從而從更高的層次了解多值函數(shù)分解為單值連續(xù)函數(shù)的方法。以下,詳細展開討論。
首先講述多值函數(shù)的分解原理。設E是多值函數(shù)F(z)的定義域內(nèi)的一個區(qū)域,在E內(nèi)任意取定點z1,z2,在區(qū)域E內(nèi)任意作一條連接z1,z2的連續(xù)曲線,規(guī)定 F(z1)=f(z2),當 z 沿曲線 C1從 z1連續(xù)變動到 z2時,函數(shù) F(z) 由值 f(z1)連續(xù)變動為 f(z2),若 f(z2)與曲線 C1的選取無關,那么,變動z2,我們便得到定義在區(qū)域E上的一個單值函數(shù)f(z),可以證明f(z)在E上連續(xù),從而得到了多值函數(shù)的一個單值連續(xù)分支,若改變F(z)在z1的取值,相應得到F(z)的其他單值連續(xù)分支,這時稱區(qū)域E是多值函數(shù)的一個單值連續(xù)區(qū)域。
接下來,我們分析多值函數(shù)F(z)的單值連續(xù)區(qū)域E的特征。
問題 1:設 z0是區(qū)域 E 內(nèi)的任意一點,U(z1,r)是區(qū)域 E 內(nèi)z0的一個鄰域,在 U(z1,r)內(nèi)任意作一條包含z0的簡單閉曲線C1,在 C1上取定一點 z1,規(guī)定 F(z1)=f(z1),對任意 z,當 z沿曲線 C1從 z1逆時針連續(xù)變動再回到到 z1時,函數(shù) F(z)由值連續(xù)變動 f(z1)為 f*(z1),那么函數(shù)值有沒有發(fā)生改變,即 f(z1)=f*(z1)?
分析:在曲線C1上任取不同于z1的z2點,將分為逆時針方向的兩段弧線在因為當z沿弧段從z1連續(xù)變動到z2時,函數(shù)F(z) 由值 f(z1)連續(xù)變動為 f(z2),所以當 z 沿弧段反方向從z2連續(xù)變動到 z1時(,函數(shù) F(z)由值 f(z2)連續(xù)變動為 f(z1)。 因為弧段反方向和弧段是連接z和z的區(qū)域E內(nèi)兩條不同的連續(xù)曲線,而E
21是多值函數(shù)F(z)的單值連續(xù)區(qū)域,因此,當z沿弧段從z2連續(xù)變動到 z1時,函數(shù) F(z)由值 f(z2)連續(xù)變動為 f(z1),從而當 z沿曲線 C1從 z1逆時針連續(xù)變動再回到到z1時,函數(shù)值沒有發(fā)生改變。
以上我們得到了單值連續(xù)區(qū)域點的特征。我們將不滿足上述特征的點稱為函數(shù)的支點,即z0是多值函數(shù)的支點,若在z0充分小的鄰域內(nèi)任意作一條包含z0的簡單閉曲線C1,在C1上取定一點z1,規(guī)定F(z1)=f(z1),當 z沿曲線 C1從 z1逆時針連續(xù)變動再回到到 z1時,函數(shù) F(z)的值有有發(fā)生變化。
例 1:ArgZ 的支點為 0,∞。
以下,我們分析如何得到多值函數(shù)的最大的單值連續(xù)區(qū)域。
問題2:在擴充復平面上剔除多值函數(shù)的所有支點并且多值函數(shù)有定義的區(qū)域G是多值函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域嗎?
分析:若區(qū)域D區(qū)域內(nèi)沒有包含支ArgZ點的簡單曲線,那么,由支點的特征,區(qū)域D就是一個單值連續(xù)區(qū)域。對于問題2中的區(qū)域G內(nèi)仍有可能存在包含支點的簡單曲線,因此G不是多值函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域。
例2:區(qū)域C{0}不是輻角函數(shù)ArgZ的單值連續(xù)區(qū)域。
由問題2的分析,我們可以得到如何求函數(shù)的最大單值連續(xù)區(qū)域,即用一條曲線K連接所有的支點,然后CK便是多值函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域。因此我們定義多值函數(shù)的支割線為:連接多值函數(shù)所有支點的曲線。
[1]余家榮.復變函數(shù)[M].4版.高等教育出版社.
[2]鐘玉泉.復變函數(shù)論[M].3版.高等教育出版社.
[3]李銳夫,程其襄.復變函數(shù)論[M].高等教育出版社.
[4]陳先琪,宋忠生.關于初等多值解析函數(shù)支點和支割線的探討[J].山東建筑工程學院學報,1995,2.