戎松魁

《中小學數(shù)學》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對人教版六年級下冊課本第六單元（整理與復習）中一道復習題（練習二十二的第6題，下簡稱“題6”）進行了分析，提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯的，因此筆者認為有必要對此進行探討。

一、復習題的解題思路及其答案展示

人教版六年級下冊課本第113頁上“題6”是這樣的：甲、乙兩個足球隊之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶?。如果兩個隊現(xiàn)在進行一場比賽，請預測一下哪個隊獲勝的可能性大？為什么？

與此課本配套的《教師教學用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路，并給出了兩個不同的答案。為了敘述方便，本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

解題思路1：“從兩隊的歷史戰(zhàn)績來看，各是兩勝一平兩負，不相上下；從這一點來判斷，兩隊獲勝的可能性都是二分之一?！?/p>

由此得到的答案是“兩隊獲勝的可能性相等，都是二分之一。”

解題思路2：“仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊獲勝，說明最近乙隊的狀態(tài)好于甲隊，由此可以預測：乙隊獲勝的可能性稍大一點。這種判斷也有一定道理?！?/p>

由此得到的答案是“乙隊獲勝的可能性稍大一點?！?/p>

馬老師根據(jù)部分教師的教學實踐，又補充了兩種解題思路及答案，我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

解題思路3：“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看，兩隊各有二勝二負一平，因此，兩隊獲勝的場次均占總場次的，兩隊平局的場次占總場次的”，由此得到答案是“甲、乙兩隊獲勝的可能性相等，都是?！?/p>

解題思路4：“由于兩隊比賽，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種：即甲勝乙負，甲負乙勝，甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，也就是兩隊獲勝的可能性相等，都是，平局的可能性也是?！?/p>

馬老師認為：“前面的四種不同的觀點中，觀點之四是正確的，即甲、乙兩隊獲勝的可能性相等，都是，其余的三種觀點都是錯誤的……”遺憾的是，馬老師并沒有詳細說明前三種答案為什么是錯誤的，而且他認為正確的第四種答案其實也是錯誤的。

二、對各種解題思路及答案的探討

1.在解題思路1中，以兩隊的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù)，斷定兩隊下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一，其錯誤是顯然的。錯誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題，我們用字母表示兩隊第六次比賽的三種結(jié)果：A表示事件“甲勝乙負”，B表示事件“甲負乙勝”，C表示事件“甲乙平局”，顯然，A、B、C構(gòu)成了一個完備事件組，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中認定P（A）=，P（B）=，由此導致P（C）=0，即第六場比賽一定不會出現(xiàn)“平局”的結(jié)果，這與事實不相符。從前五場比賽結(jié)果看，下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此，即使下一場比賽中兩隊獲勝的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，從前三場比賽結(jié)果分析，甲隊明顯強于乙隊，雖然從五場比賽的結(jié)果分析，似乎甲、乙兩隊戰(zhàn)績“不相上下”，但這個所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的，并不能表示兩隊實力完全一樣，兩個足球隊的水平很難達到“完全相同”，從這個觀點出發(fā)，也難以得出“下一場比賽兩隊獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實是：僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊（或乙隊）獲勝的可能性大小用一個確定的數(shù)（就是甲隊或乙隊獲勝的概率）表示出來，可以說是一件不可能的事。

2.在解題思路2中，認為乙隊在最近的兩場比賽中獲勝，狀態(tài)好于甲隊，因此下一場比賽乙隊獲勝的可能性會大一點。這種判斷確實有一定道理。但是，如果我們換個角度進行分析：“因為甲、乙兩隊在五場比賽后的總分相同（足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得3分，平局各得1分，輸球不得分。若積分相等，則比較凈勝球數(shù)），然而甲隊比乙隊凈勝球多了一個，因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術等方法后，下一場甲隊獲勝的可能性會大一點”?；蛘哒J為“甲、乙兩隊實力‘不相上下，平局的可能性會大一點。”這樣的預測也是有一定道理的?？傊瑥牟煌慕嵌确治銮拔鍒霰荣惤Y(jié)果，可以得到不同的預測結(jié)論。并非只有“乙隊獲勝可能性會大一點”一種結(jié)論。

3.在解題思路3中，根據(jù)在五場比賽中兩隊各有二勝二負一平而得到兩隊獲勝的場次均占總場次的，從而得到甲、乙兩隊獲勝的可能性都是，這個答案的錯誤是明顯的，只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計定義即知其錯誤所在。概率的統(tǒng)計定義是這樣的：“在不變的條件下，重復進行n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動。且一般說來，n越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作P（A）?！?/p>

由此可知，只進行五場比賽，是不能將甲隊（乙隊）獲勝的頻率當作甲隊（乙隊）獲勝的概率的。需要特別指出的是，對于球賽來說，各場比賽并不是在“不變的條件下”進行的，連概率統(tǒng)計定義中的條件都不滿足，因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

舉個例來說，如果連續(xù)5次拋擲一個均勻的硬幣，發(fā)現(xiàn)有3次正面向上，2次正面向下，顯然我們不能認為正面向上的可能性是，向下的可能性是，從而預測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會大一點。事實上，有好幾位數(shù)學家曾進行過拋擲硬幣這種“試驗”，他們在拋擲成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近，而且隨著拋擲次數(shù)增加，頻率越來越接近，從而得到“拋擲一個均勻的硬幣，正面向上的概率是”的結(jié)論。當然，這個結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說，不管你是第幾次拋擲一個均勻的硬幣，正面向上的可能性都是。

4.在解題思路4中，考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種，每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，從而認為A、B、C三個事件中每一個發(fā)生的可能性都是，這是缺乏根據(jù)的。因為要得到這個結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出：“在求隨機事件發(fā)生的可能性時……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量。”但是用這種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的，而且各個事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件（古典概型應滿足的條件），而對于足球賽而言，事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的，因此不能應用馬老師所說的方法計算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊獲勝的可能性相等，都是”的結(jié)論是錯誤的。

三、兩點思考

1.像“題6”這樣的習題出現(xiàn)在小學數(shù)學課本中是不合適的。

“題6”以足球比賽為題材，要學生預測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負的因素很多，例如球隊的實力、球隊戰(zhàn)略、戰(zhàn)術的變化，參賽球員的變化等，甚至比賽地點是主場還是客場也會影響比賽結(jié)果。由此可見，即使是相同球隊在同一地點的前后兩場比賽，也不能認為是在相同條件下進行的比賽，在“題6”給出的這種條件下，不同的人從不同的角度進行分析，可能會得出不同的判斷：甲隊獲勝的可能性大；乙隊獲勝的可能性大；平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”，但又覺得理由也不太充分?？傊?，比賽結(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生，但是究竟哪一個事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預測中用一個確定的數(shù)（如本文中所說的、、等）來表示甲隊（或乙隊）獲勝的可能性大小都是不準確的，也可以說是錯誤的。對小學生而言，要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預測第六場比賽哪個隊獲勝的可能性大，并說出理由，真有點勉為其難。這種習題出現(xiàn)在小學數(shù)學課本中弊多利少。

2.教師可以對“統(tǒng)計與概率”的相關內(nèi)容進行更深入的研究。

“統(tǒng)計與概率”是在2001年《數(shù)學課程標準（實驗稿）》公布后新增的小學數(shù)學教學內(nèi)容，可能還有少數(shù)教師不是很熟悉，并沒有覺察《教師教學用書》中存在的問題。當然，《教師教學用書》的作者應該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見，及時修改有關錯誤或不妥之處，不斷提高該書質(zhì)量。而對于小學數(shù)學教師來說，可以對“統(tǒng)計與概率”的相關內(nèi)容進行更深入的研究，以便更好地完成“統(tǒng)計與概率”的教學任務。

（杭州師范大學教育學院 311121）endprint

《中小學數(shù)學》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對人教版六年級下冊課本第六單元（整理與復習）中一道復習題（練習二十二的第6題，下簡稱“題6”）進行了分析，提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯的，因此筆者認為有必要對此進行探討。

一、復習題的解題思路及其答案展示

人教版六年級下冊課本第113頁上“題6”是這樣的：甲、乙兩個足球隊之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶?。如果兩個隊現(xiàn)在進行一場比賽，請預測一下哪個隊獲勝的可能性大？為什么？

與此課本配套的《教師教學用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路，并給出了兩個不同的答案。為了敘述方便，本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

解題思路1：“從兩隊的歷史戰(zhàn)績來看，各是兩勝一平兩負，不相上下；從這一點來判斷，兩隊獲勝的可能性都是二分之一?！?/p>

由此得到的答案是“兩隊獲勝的可能性相等，都是二分之一?！?/p>

解題思路2：“仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊獲勝，說明最近乙隊的狀態(tài)好于甲隊，由此可以預測：乙隊獲勝的可能性稍大一點。這種判斷也有一定道理?！?/p>

由此得到的答案是“乙隊獲勝的可能性稍大一點。”

馬老師根據(jù)部分教師的教學實踐，又補充了兩種解題思路及答案，我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

解題思路3：“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看，兩隊各有二勝二負一平，因此，兩隊獲勝的場次均占總場次的，兩隊平局的場次占總場次的”，由此得到答案是“甲、乙兩隊獲勝的可能性相等，都是?！?/p>

解題思路4：“由于兩隊比賽，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種：即甲勝乙負，甲負乙勝，甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，也就是兩隊獲勝的可能性相等，都是，平局的可能性也是?！?/p>

馬老師認為：“前面的四種不同的觀點中，觀點之四是正確的，即甲、乙兩隊獲勝的可能性相等，都是，其余的三種觀點都是錯誤的……”遺憾的是，馬老師并沒有詳細說明前三種答案為什么是錯誤的，而且他認為正確的第四種答案其實也是錯誤的。

二、對各種解題思路及答案的探討

1.在解題思路1中，以兩隊的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù)，斷定兩隊下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一，其錯誤是顯然的。錯誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題，我們用字母表示兩隊第六次比賽的三種結(jié)果：A表示事件“甲勝乙負”，B表示事件“甲負乙勝”，C表示事件“甲乙平局”，顯然，A、B、C構(gòu)成了一個完備事件組，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中認定P（A）=，P（B）=，由此導致P（C）=0，即第六場比賽一定不會出現(xiàn)“平局”的結(jié)果，這與事實不相符。從前五場比賽結(jié)果看，下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此，即使下一場比賽中兩隊獲勝的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，從前三場比賽結(jié)果分析，甲隊明顯強于乙隊，雖然從五場比賽的結(jié)果分析，似乎甲、乙兩隊戰(zhàn)績“不相上下”，但這個所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的，并不能表示兩隊實力完全一樣，兩個足球隊的水平很難達到“完全相同”，從這個觀點出發(fā)，也難以得出“下一場比賽兩隊獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實是：僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊（或乙隊）獲勝的可能性大小用一個確定的數(shù)（就是甲隊或乙隊獲勝的概率）表示出來，可以說是一件不可能的事。

2.在解題思路2中，認為乙隊在最近的兩場比賽中獲勝，狀態(tài)好于甲隊，因此下一場比賽乙隊獲勝的可能性會大一點。這種判斷確實有一定道理。但是，如果我們換個角度進行分析：“因為甲、乙兩隊在五場比賽后的總分相同（足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得3分，平局各得1分，輸球不得分。若積分相等，則比較凈勝球數(shù)），然而甲隊比乙隊凈勝球多了一個，因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術等方法后，下一場甲隊獲勝的可能性會大一點”?；蛘哒J為“甲、乙兩隊實力‘不相上下，平局的可能性會大一點?！边@樣的預測也是有一定道理的?？傊?，從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果，可以得到不同的預測結(jié)論。并非只有“乙隊獲勝可能性會大一點”一種結(jié)論。

3.在解題思路3中，根據(jù)在五場比賽中兩隊各有二勝二負一平而得到兩隊獲勝的場次均占總場次的，從而得到甲、乙兩隊獲勝的可能性都是，這個答案的錯誤是明顯的，只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計定義即知其錯誤所在。概率的統(tǒng)計定義是這樣的：“在不變的條件下，重復進行n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動。且一般說來，n越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作P（A）。”

由此可知，只進行五場比賽，是不能將甲隊（乙隊）獲勝的頻率當作甲隊（乙隊）獲勝的概率的。需要特別指出的是，對于球賽來說，各場比賽并不是在“不變的條件下”進行的，連概率統(tǒng)計定義中的條件都不滿足，因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

舉個例來說，如果連續(xù)5次拋擲一個均勻的硬幣，發(fā)現(xiàn)有3次正面向上，2次正面向下，顯然我們不能認為正面向上的可能性是，向下的可能性是，從而預測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會大一點。事實上，有好幾位數(shù)學家曾進行過拋擲硬幣這種“試驗”，他們在拋擲成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近，而且隨著拋擲次數(shù)增加，頻率越來越接近，從而得到“拋擲一個均勻的硬幣，正面向上的概率是”的結(jié)論。當然，這個結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說，不管你是第幾次拋擲一個均勻的硬幣，正面向上的可能性都是。

4.在解題思路4中，考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種，每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，從而認為A、B、C三個事件中每一個發(fā)生的可能性都是，這是缺乏根據(jù)的。因為要得到這個結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出：“在求隨機事件發(fā)生的可能性時……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量?！钡怯眠@種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的，而且各個事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件（古典概型應滿足的條件），而對于足球賽而言，事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的，因此不能應用馬老師所說的方法計算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊獲勝的可能性相等，都是”的結(jié)論是錯誤的。

三、兩點思考

1.像“題6”這樣的習題出現(xiàn)在小學數(shù)學課本中是不合適的。

“題6”以足球比賽為題材，要學生預測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負的因素很多，例如球隊的實力、球隊戰(zhàn)略、戰(zhàn)術的變化，參賽球員的變化等，甚至比賽地點是主場還是客場也會影響比賽結(jié)果。由此可見，即使是相同球隊在同一地點的前后兩場比賽，也不能認為是在相同條件下進行的比賽，在“題6”給出的這種條件下，不同的人從不同的角度進行分析，可能會得出不同的判斷：甲隊獲勝的可能性大；乙隊獲勝的可能性大；平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”，但又覺得理由也不太充分?？傊?，比賽結(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生，但是究竟哪一個事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預測中用一個確定的數(shù)（如本文中所說的、、等）來表示甲隊（或乙隊）獲勝的可能性大小都是不準確的，也可以說是錯誤的。對小學生而言，要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預測第六場比賽哪個隊獲勝的可能性大，并說出理由，真有點勉為其難。這種習題出現(xiàn)在小學數(shù)學課本中弊多利少。

2.教師可以對“統(tǒng)計與概率”的相關內(nèi)容進行更深入的研究。

“統(tǒng)計與概率”是在2001年《數(shù)學課程標準（實驗稿）》公布后新增的小學數(shù)學教學內(nèi)容，可能還有少數(shù)教師不是很熟悉，并沒有覺察《教師教學用書》中存在的問題。當然，《教師教學用書》的作者應該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見，及時修改有關錯誤或不妥之處，不斷提高該書質(zhì)量。而對于小學數(shù)學教師來說，可以對“統(tǒng)計與概率”的相關內(nèi)容進行更深入的研究，以便更好地完成“統(tǒng)計與概率”的教學任務。

（杭州師范大學教育學院 311121）endprint

《中小學數(shù)學》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對人教版六年級下冊課本第六單元（整理與復習）中一道復習題（練習二十二的第6題，下簡稱“題6”）進行了分析，提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯的，因此筆者認為有必要對此進行探討。

一、復習題的解題思路及其答案展示

人教版六年級下冊課本第113頁上“題6”是這樣的：甲、乙兩個足球隊之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶?。如果兩個隊現(xiàn)在進行一場比賽，請預測一下哪個隊獲勝的可能性大？為什么？

與此課本配套的《教師教學用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路，并給出了兩個不同的答案。為了敘述方便，本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

解題思路1：“從兩隊的歷史戰(zhàn)績來看，各是兩勝一平兩負，不相上下；從這一點來判斷，兩隊獲勝的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“兩隊獲勝的可能性相等，都是二分之一?！?/p>

解題思路2：“仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊獲勝，說明最近乙隊的狀態(tài)好于甲隊，由此可以預測：乙隊獲勝的可能性稍大一點。這種判斷也有一定道理?！?/p>

由此得到的答案是“乙隊獲勝的可能性稍大一點?！?/p>

馬老師根據(jù)部分教師的教學實踐，又補充了兩種解題思路及答案，我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

解題思路3：“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看，兩隊各有二勝二負一平，因此，兩隊獲勝的場次均占總場次的，兩隊平局的場次占總場次的”，由此得到答案是“甲、乙兩隊獲勝的可能性相等，都是。”

解題思路4：“由于兩隊比賽，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種：即甲勝乙負，甲負乙勝，甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，也就是兩隊獲勝的可能性相等，都是，平局的可能性也是?！?/p>

馬老師認為：“前面的四種不同的觀點中，觀點之四是正確的，即甲、乙兩隊獲勝的可能性相等，都是，其余的三種觀點都是錯誤的……”遺憾的是，馬老師并沒有詳細說明前三種答案為什么是錯誤的，而且他認為正確的第四種答案其實也是錯誤的。

二、對各種解題思路及答案的探討

1.在解題思路1中，以兩隊的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù)，斷定兩隊下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一，其錯誤是顯然的。錯誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題，我們用字母表示兩隊第六次比賽的三種結(jié)果：A表示事件“甲勝乙負”，B表示事件“甲負乙勝”，C表示事件“甲乙平局”，顯然，A、B、C構(gòu)成了一個完備事件組，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中認定P（A）=，P（B）=，由此導致P（C）=0，即第六場比賽一定不會出現(xiàn)“平局”的結(jié)果，這與事實不相符。從前五場比賽結(jié)果看，下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此，即使下一場比賽中兩隊獲勝的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，從前三場比賽結(jié)果分析，甲隊明顯強于乙隊，雖然從五場比賽的結(jié)果分析，似乎甲、乙兩隊戰(zhàn)績“不相上下”，但這個所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的，并不能表示兩隊實力完全一樣，兩個足球隊的水平很難達到“完全相同”，從這個觀點出發(fā)，也難以得出“下一場比賽兩隊獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實是：僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊（或乙隊）獲勝的可能性大小用一個確定的數(shù)（就是甲隊或乙隊獲勝的概率）表示出來，可以說是一件不可能的事。

2.在解題思路2中，認為乙隊在最近的兩場比賽中獲勝，狀態(tài)好于甲隊，因此下一場比賽乙隊獲勝的可能性會大一點。這種判斷確實有一定道理。但是，如果我們換個角度進行分析：“因為甲、乙兩隊在五場比賽后的總分相同（足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得3分，平局各得1分，輸球不得分。若積分相等，則比較凈勝球數(shù)），然而甲隊比乙隊凈勝球多了一個，因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術等方法后，下一場甲隊獲勝的可能性會大一點”?；蛘哒J為“甲、乙兩隊實力‘不相上下，平局的可能性會大一點。”這樣的預測也是有一定道理的?？傊?，從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果，可以得到不同的預測結(jié)論。并非只有“乙隊獲勝可能性會大一點”一種結(jié)論。

3.在解題思路3中，根據(jù)在五場比賽中兩隊各有二勝二負一平而得到兩隊獲勝的場次均占總場次的，從而得到甲、乙兩隊獲勝的可能性都是，這個答案的錯誤是明顯的，只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計定義即知其錯誤所在。概率的統(tǒng)計定義是這樣的：“在不變的條件下，重復進行n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動。且一般說來，n越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作P（A）?！?/p>

由此可知，只進行五場比賽，是不能將甲隊（乙隊）獲勝的頻率當作甲隊（乙隊）獲勝的概率的。需要特別指出的是，對于球賽來說，各場比賽并不是在“不變的條件下”進行的，連概率統(tǒng)計定義中的條件都不滿足，因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

舉個例來說，如果連續(xù)5次拋擲一個均勻的硬幣，發(fā)現(xiàn)有3次正面向上，2次正面向下，顯然我們不能認為正面向上的可能性是，向下的可能性是，從而預測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會大一點。事實上，有好幾位數(shù)學家曾進行過拋擲硬幣這種“試驗”，他們在拋擲成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近，而且隨著拋擲次數(shù)增加，頻率越來越接近，從而得到“拋擲一個均勻的硬幣，正面向上的概率是”的結(jié)論。當然，這個結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說，不管你是第幾次拋擲一個均勻的硬幣，正面向上的可能性都是。

4.在解題思路4中，考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種，每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，從而認為A、B、C三個事件中每一個發(fā)生的可能性都是，這是缺乏根據(jù)的。因為要得到這個結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出：“在求隨機事件發(fā)生的可能性時……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量?！钡怯眠@種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的，而且各個事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件（古典概型應滿足的條件），而對于足球賽而言，事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的，因此不能應用馬老師所說的方法計算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊獲勝的可能性相等，都是”的結(jié)論是錯誤的。

三、兩點思考

1.像“題6”這樣的習題出現(xiàn)在小學數(shù)學課本中是不合適的。

“題6”以足球比賽為題材，要學生預測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負的因素很多，例如球隊的實力、球隊戰(zhàn)略、戰(zhàn)術的變化，參賽球員的變化等，甚至比賽地點是主場還是客場也會影響比賽結(jié)果。由此可見，即使是相同球隊在同一地點的前后兩場比賽，也不能認為是在相同條件下進行的比賽，在“題6”給出的這種條件下，不同的人從不同的角度進行分析，可能會得出不同的判斷：甲隊獲勝的可能性大；乙隊獲勝的可能性大；平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”，但又覺得理由也不太充分?？傊?，比賽結(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生，但是究竟哪一個事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預測中用一個確定的數(shù)（如本文中所說的、、等）來表示甲隊（或乙隊）獲勝的可能性大小都是不準確的，也可以說是錯誤的。對小學生而言，要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預測第六場比賽哪個隊獲勝的可能性大，并說出理由，真有點勉為其難。這種習題出現(xiàn)在小學數(shù)學課本中弊多利少。

2.教師可以對“統(tǒng)計與概率”的相關內(nèi)容進行更深入的研究。

“統(tǒng)計與概率”是在2001年《數(shù)學課程標準（實驗稿）》公布后新增的小學數(shù)學教學內(nèi)容，可能還有少數(shù)教師不是很熟悉，并沒有覺察《教師教學用書》中存在的問題。當然，《教師教學用書》的作者應該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見，及時修改有關錯誤或不妥之處，不斷提高該書質(zhì)量。而對于小學數(shù)學教師來說，可以對“統(tǒng)計與概率”的相關內(nèi)容進行更深入的研究，以便更好地完成“統(tǒng)計與概率”的教學任務。

（杭州師范大學教育學院 311121）endprint