黃川騰，王志軍

（重慶大學 土木工程學院；山地城鎮(zhèn)建設與新技術教育部重點實驗室，重慶400045）

空心樓蓋由于其結構高度小、自重輕、剛度大、整體性好和適用于大跨度建筑等優(yōu)點，近年來得到廣泛應用。特別地，盒狀內?？招臉巧w由于其剛度在兩跨度方向分布均勻、布模靈活和對異型邊板適應性強的優(yōu)點，較筒體、筒芯內模空心樓蓋得到更多青睞，這也激發(fā)了許多研究者對盒狀內模進行研究，提出了不同材料和形式的盒狀內模。雖然這些內模形式略有差異，但其空心樓蓋在豎向荷載下力的傳遞途徑和變形方式基本相同［1－4］。

根據(jù)國家頒布的現(xiàn)澆空心樓蓋技術規(guī)程［5］，對于規(guī)則布置的柱支撐現(xiàn)澆混凝土空心樓蓋結構，設計中常采用擬板法、擬梁法、直接設計法和等代框架法，在滿足限制條件［5］的情況下采用直接設計法尤為方便快捷。直接設計法包含3個基本步驟：1）確定總的靜力彎矩；2）把總靜力彎矩分配到負彎矩和正彎矩截面（一次分配）；3）把負彎矩和正彎矩分別分配到柱上板帶板、柱上板帶梁和跨中板帶（二次分配）。直接設計法和等代框架法的第3步驟是完全一樣的，規(guī)程中的直接設計法完全沿用了ACI 318規(guī)范中實心樓蓋的分配系數(shù)。但由于空心的存在，使樓板截面剛度發(fā)生了改變，隨著空心率的增加，這種剛度的不均勻性越發(fā)明顯，能否直接使用實心板的分配系數(shù)、各截面彎矩分配比例是否有較大變化，國內外學者對這些問題研究較少。周玉等［6］通過有限元數(shù)值模擬討論了實心寬扁梁樓蓋在豎向荷載下的彎矩分配系數(shù)；Ibrahi m等［7］通過數(shù)值模擬討論了密肋樓蓋在開洞和不開洞時直接設計法的彎矩分配系數(shù)；袁俊杰［8］結合一個實際工程對筒芯內?？招臉巧w進行了擬梁法和直接設計法的算例對比；郭楠等［9］分析了實心板在豎向荷載作用下的彎矩分布規(guī)律；劉文珽等［10］對比了中外規(guī)范關于實心板柱結構在垂直荷載作用下設計方法的異同，同時對比了直接設計法的彎矩分配系數(shù)與有限元計算結果；李海濤等［11－12］分別對一個具體的柱支承筒芯內?，F(xiàn)澆鋼筋混凝土空心樓蓋和對照實心樓蓋進行了有限元計算，對直接設計法提出建議。

已有對直接設計法適用性的研究，均未針對盒狀內模空心樓蓋，并且完成的算例分析數(shù)量有限，對空心樓蓋各參數(shù)的分析也還不完善。結構的彈性內力分析方法可用于正常使用極限狀態(tài)和承載能力極限狀態(tài)作用效應的分析，現(xiàn)澆混凝土空心樓蓋結構在承載能力極限狀態(tài)下的內力設計值也是按線彈性分析方法確定的［5］，基于這樣的原因，本文所有算例與已有研究一樣采用彈性分析。針對上述情況，本文利用大型有限元分析軟件ABAQUS，在完成分析模型的精度校核后，編制了pyt hon腳本程序［13］，進行了224個算例的自動建模及彈性分析，考察了具有相同參數(shù)的實心樓蓋和空心樓蓋的截面彎矩分布的異同，進而分析了空心率（ρ）、板格邊比（l2／l1）、柱跨比 （c／l）、梁板相對抗彎剛度比（μ1＝和邊梁抗扭剛度比（βt＝等5個因數(shù)對空心樓蓋彎矩分布的影響，得到了內板格和端板格各彎矩控制截面的一次彎矩分配系數(shù)以及各控制截面內柱上板帶板、跨中板帶和柱上板帶梁的二次彎矩分配系數(shù)，并與規(guī)范建議的直接設計法系數(shù)做了對比，給出了相關建議。

1 樓蓋參數(shù)及模型驗證

通過確定以下幾何參數(shù)即可確定空心樓蓋的布置：計算跨度（l1、l2，下標1表示計算方向，2表示從屬方向，下同）、柱子寬度（wc1、wc2）、內梁寬度（wib1、wib2）、內 梁 高 度 （hib1、hib2）、邊 梁 寬 度（web1、web2）、邊梁高度（heb1、heb2）、實心區(qū)域寬度（ws1、ws2）、內模邊長（lb）、內模高度（hb）、內模間肋寬（wb1、wb2）和頂?shù)装搴穸龋╰s）。通過各參數(shù)的組合，可以得到具有不同空心率的空心樓蓋。本文以縱橫向均為3跨的空心板－柱結構為例，考慮對稱性，取整體的1／4為研究對象，樓蓋平面布置情況、控制截面及各參數(shù)，見圖1。算例分析時，以中柱兩側各1／2柱距范圍為中計算單元，以板邊到邊柱另一側1／2柱距范圍為邊計算單元，計算單元劃分、板帶劃分和彎矩控制截面位置［14］參見圖1。

為保證后續(xù)分析的正確性，首先從單元形式、網(wǎng)格大小和單元長寬比等方面進行了大量驗證分析。下面用2個算例來進行說明。

算例1為均布荷載作用下四角點支撐矩形實心板，模型參數(shù)為：均布荷載q＝104N／m2，l1＝l2＝8.0 m，混凝土彈性模量E＝3×1010N／m2，泊松比μ＝0.2，實心板厚0.3 m。將廣義簡支邊與列維（M.Levy）解結合，導出無窮聯(lián)立方程組［15］，本文取用前50項聯(lián)立求解，獲得柱上板帶及跨中板帶跨中正彎矩值的理論解析解。理論解析解與有限元計算結果見表1。通過對比發(fā)現(xiàn)，有限元數(shù)值計算結果和解析解非常吻合，特別是網(wǎng)格大小采用0.1 m、單元類型采用六面體8節(jié)點減縮積分單元（C3D8 R）的1／4板格模型，可以很好地兼顧計算效率和精度。

圖1 空心板 柱結構的平面、剖面圖

對于空心樓蓋，頂板和底板較?。?.05 m），劃分兩層后使六面體單元的長寬比可能較大。為驗證長寬比對計算精度的影響，算例2為均布荷載作用下的不同邊界條件的箱型截面梁，對比分析實體單元模型的計算結果與Ti moshenko梁單元的計算結果。模型參數(shù)為：箱型截面寬0.83 m，高0.4 m，壁厚0.05 m，均布荷載q＝6.024×103N／m2（等效線荷載為5×103N／m），l＝8.0 m，材料彈性模量E＝3×1010N／m2，泊松比μ＝0.2。不同單元計算結果對比見表2。通過對比發(fā)現(xiàn)，隨著單元長寬比的增加，實體單元與Ti moshenko梁單元計算結果的誤差有所增大，但彎矩的誤差明顯小于撓度的誤差。當長寬比不超過4時，實體單元所得結果均與梁單元非常接近。考慮到本文后續(xù)分析僅關心彎矩分配比例，因此采用最大網(wǎng)格尺寸0.1 m以使單元長寬比不超過4，足以滿足精度要求。

表1 有限元計算結果與解析解的對比

表2 實體單元長寬比對計算精度的影響

2 空心板與實心板彎矩分布規(guī)律對比

兩塊各支座均有梁的空心樓蓋和實心樓蓋的參數(shù)相同（l2／l1＝1.0，μ1＝1.0，βt＝0.58），其中空心樓蓋空心率（ρ）為30%。通過數(shù)值分析得到的各控制截面的彎矩分配系數(shù)如表3所示，表中板帶編號見圖1。

從表3可以得到以下結論：1）對于空心板，邊計算單元與中計算單元各彎矩控制截面的彎矩分配差距很小，可以認為一致。這一結論與實心板類似，為直接設計法用于空心樓蓋提供了前提條件［16］。2）通過對比空心樓蓋和實心樓蓋各彎矩控制截面所分得的彎矩比例，可以發(fā)現(xiàn)，雖然在支座處，由于柱和從屬方向實心梁的約束，實心板與空心板各板帶在支座處彎矩分布相差不大，但由于樓板剛度截面削弱，梁卻承受了更多的彎矩，并且跨中位置的這種差距比支座截面位置體現(xiàn)得更顯著，空心樓蓋跨中截面柱上板帶梁所承擔的彎矩比實心樓蓋高10%。

從以上對特定參數(shù)的空心板和實心板的對比分析可以看出，實心板和空心板在豎向荷載下的彎矩分布略有不同，需要做進一步的分析。

表3 空心板與實心板各彎矩控制截面彎矩分配系數(shù)計算值

3 柱（或柱帽）尺寸對彎矩分布的影響

文獻［14］指出，直接設計法中彎矩控制截面彎矩在柱上板帶板、柱上板帶梁及跨中板帶間的分配比例主要源于采用瑞雷 里茲（Rayleigh－Ritz）能量法求解薄板彎曲得到的近似解。在ACI318規(guī)范中，為了避免讀取誤差將原來的光滑曲線改為更易于用數(shù)學方式和表格表述的雙線性函數(shù)。

瑞雷 里茲（Rayleigh－Ritz）能量法對板格邊界條件作了一定的近似，不考慮柱子截面尺寸并假定為一點，這與實際情況不符合。文獻［16］初步討論了實心板中柱（或柱帽）尺寸對彎矩分布的影響，表明由于柱（或柱帽）的存在，能明顯改變板帶（板格）的邊界條件，對板帶的約束產(chǎn)生影響，直接設計法的分配系數(shù)至今沒有考慮這種影響。柱（或柱帽）尺寸對空心樓蓋彎矩分布的影響更是無人研究。

各算例選用最常用的板格邊比（l2／l1）為1.0的內板格。對于無梁空心樓蓋，按照文獻［5］的構造要求設置相應寬度的柱軸線實心區(qū)域，算得梁板相對抗彎剛度比（μ1）等于0.218?？招臉巧w設計時，為了體現(xiàn)其在增加有效層高上的優(yōu)勢，普遍不設立明梁或僅設置腹板高度很小的寬扁梁，對于l2／l1為1.0的空心樓蓋來說，μ1不會大于1；一般的工程項目，柱跨比（c／l）不會超過0.2。綜合以上各因素后，本文算例的μ1取0.218和1.0兩種情況，每種情況下柱跨比取0到0.2、空心率取0（實心樓蓋）和40%。分析結果見圖2。

圖2 柱尺寸效應

從圖2可以看出：1）隨著柱跨比（c／l）增加，彎矩控制截面負彎矩承擔總設計彎矩M0的比例緩慢下降，μ1＝0.218時，實心板從63.4%下降至56.7%，空心板從63.8%下降至55.9%；μ1＝1.0時，實心板從66.7%下降至61.4%，空心板從65.4%下降至57.9%，空心板下降的比例更大。負彎矩的變化主要體現(xiàn)在柱上板帶和柱上板帶梁上；2）隨著柱跨比增加，彎矩控制截面正彎矩承擔總設計彎矩M0的比例緩慢上升，μ1＝0.218時，實心板從31.1%上升至39.1%，空心板從31.3%上升至39.9%；μ1＝1.0時，實心板從34%上升至40.2%，空心板從29.5%上升至37.6%，空心板上升的比例更大。正彎矩的變化主要體現(xiàn)在柱上板帶梁和跨中板帶上。通過對比還可以發(fā)現(xiàn)，空心樓蓋截面彎矩相較于實心樓蓋對柱跨比（c／l）的變化有更大的敏感性。

應該注意到，總設計彎矩值M0是按照凈跨計算的［5］，對于內跨，規(guī)范規(guī)定：跨中正彎矩設計值取0.35 M0；支座截面負彎矩設計值取0.65 M0，根據(jù)以上的對比分析，規(guī)范取值偏負彎矩值的上限，偏正彎矩值的下限，但正彎矩值的誤差在5%左右。因此，當柱跨比（c／l）不大于0.2、梁板相對抗彎剛度比（μ1）不大于1.0時，規(guī)范取值造成的誤差是可以接受的，此時不需要單獨考慮柱（或柱帽）尺寸對彎矩一次分布的影響。

4 空心率（ρ）對二次彎矩分配系數(shù)的影響

根據(jù)文獻［5］表5.4.7，主要研究當l2／l1分別等于0.5、1.0和2.0時，在不同空心率（ρ＝0%、25%、30%、35%和40%）下，截面彎矩分配與梁板相對抗彎剛度比（μ1）的關系。算例柱跨比（c／l）均為0.1。

4.1 柱上板帶負彎矩分配系數(shù)

如圖3，當l2／l1＝0.5時，柱支撐板主要以計算方向（長邊方向）的板帶整體受彎為主，不論空心率的大小，柱上板帶負彎矩分配系數(shù)與實心板近似，與直接設計法系數(shù)吻合且偏安全；當l2／l1等于1.0及2.0時，空心樓蓋的分配系數(shù)隨著空心率的不同略有區(qū)分，但變化都不大，可以認為由于柱子和柱軸線實心區(qū)域的約束，柱上板帶負彎矩分配系數(shù)和實心板類似。但當l2／l1≥1.0時，直接系數(shù)法取用的柱上板帶負彎值偏下限，特別是當l2／l1＝2.0時與計算值有較大的差距，尤其是工程中常見的μ1小于1的情況更為明顯。建議對于l2／l1＝1.0的空心樓蓋，當μ1≥1時，柱上板帶應承受支座截面負彎矩的80%；當μ1＝0時，柱上板帶應承受支座截面負彎矩的85%；當0＜μ1＜1時，可按線性插值確定柱上板帶應承擔的支座截面負彎矩值。對于l2／l1＝2.0的空心樓蓋，當μ1≤1時，柱上板帶應承受全部支座截面負彎矩值；當μ1＝4時，柱上板帶應承受支座截面負彎矩的80%；當1＜μ1＜4時，可按線性插值確定柱上板帶應承擔的支座截面負彎矩值。當l2／l1＝2.0時，總彎矩M0較小，截面配筋可能受最小配筋率控制［14］，但仍應以建議值作驗算。

圖3 空心率對柱上板帶負彎矩分配系數(shù)的影響

4.2 柱上板帶正彎矩分配系數(shù)

正如在第1小節(jié)的算例分析一樣，由于空心樓蓋截面剛度的削弱，對于跨中截面來說，柱上板帶部分相應比實心板承擔更多的彎矩，并且隨著空心率的增加，柱上板帶正彎矩分配系數(shù)進一步增加。如圖4，對于l2／l1＝0.5及l(fā)2／l1＝1的空心樓蓋，當μ1＜1.0時，規(guī)范取值是合理的，當μ1＞1時，規(guī)范取用的柱上板帶正彎矩比例偏低，但與計算值之間的差距均在5%以內，可以繼續(xù)采用規(guī)范值。對于l2／l1＝2的空心樓蓋，可以發(fā)現(xiàn)無論是實心板還是空心板，計算結果與規(guī)范值之間都有很大的差距，并且空心率對彎矩分配比例也有明顯的影響。因此建議，對于實心樓蓋，柱上板帶應承受跨中截面正彎矩的60%；對于ρ＝40%的空心樓蓋，當μ1＝0時，柱上板帶應承受跨中截面正彎矩的60%，當μ1≥1時，柱上板帶應承受跨中截面正彎矩的75%，當0＜μ1＜1時，可按線性插值確定柱上板帶應承擔的跨中截面正彎矩值。

圖4 空心率對柱上板帶正彎矩分配系數(shù)的影響

4.3 柱上板帶梁彎矩分配系數(shù)

如圖5所示，無論l2／l1的值，當μ1＞1時，梁分擔的彎矩基本在柱上板帶的85%左右。然而，對于工程中常見的μ1≤1的情況，由于直接設計法采用了線性插值，導致梁彎矩的查表值小于計算值，并且隨著l2／l1的減小，梁實際承擔的彎矩值比查表系數(shù)值高得更多，為方便設計，建議將拐點“μ1＝1”偏安全地設為“μ1＝0.5”。

圖5 空心率對柱上板帶梁彎矩分配系數(shù)的影響

5 端板格彎矩分配

5.1 總彎矩在支座截面和跨中截面的分配（一次分配）

端板格受力復雜，外支座與第一內支座對板系條帶的約束程度不同，端跨跨度方向的彎矩分布一般是不對稱的，分布形狀主要取決于外柱的等效相對抗彎剛度其中：為外柱等效抗彎剛度；Kb＝4EcbIb／l1為梁抗彎剛度；Ks＝4EcsIs／l1為板抗彎剛度；為柱抗彎剛度；為梁抗 扭剛度。

ACI318規(guī)范針對端板格外端負彎矩（DWF）、跨中正彎矩（DZ）和第一內支座負彎矩（DNF）分別用式（1）～（3）［14］計算。

ACI318規(guī)范直接設計法中對于端板格一次彎矩分配系數(shù)就是對以上3個公式按不同幾何尺寸和支座條件分析后確定的。針對空心率為35%的3種板格邊比的端板格，分析了板格各控制截面彎矩分布與外柱等效抗彎剛度（αec）的關系，計算結果如圖6所示。

圖6 外柱等效抗彎剛度與截面彎矩分配的關系

通過圖6可以發(fā)現(xiàn)，空心樓蓋端板格3個彎矩控制截面一次彎矩分配系數(shù)與外柱等效抗彎剛度有直接關系：端支座負彎矩計算值與式（1）差距很??；跨中截面正彎矩計算值與式（2）差距也不大；差別較大的是內支座負彎矩，特別是當l2／l1＝2.0時，計算值與式（3）差距超過15%，公式值均偏安全?？紤]到內跨支座負彎矩為固定值0.65 M0［5］，又由于支座處鋼筋均采用拉通布置即按照不平衡彎矩的大值配筋，因此沒有必要重新擬合端跨內支座負彎矩計算式，可以仍按照ACI推薦的式（3）計算。

對于總彎矩在端跨各控制截面上的分配，規(guī)范雖列出了5類支座約束條件下的分配比例，但過于粗略，總彎矩的一次分配是否準確直接影響控制截面彎矩在柱上板帶板、柱上板帶梁及跨中板帶上的彎矩分配。因此，鑒于端板格受力的復雜性，筆者建議在一次彎矩分配時，應避免直接查表，而應根據(jù)外柱等效抗彎剛度用式（1）～（3）計算。

5.2 端板格外支座負彎矩的分配（二次分配）

圖7是在其他條件不變僅改變邊梁尺寸，考察邊梁相對抗扭剛度比（βt）對端板格外支座處各控制截面二次彎矩分配的影響。圖中DWF為端板格外支座負彎矩截面；CS為柱上板帶；MS為跨中板帶，三者彎矩值關系為：。當邊梁抗扭剛度很小甚至沒有邊梁時，中間板帶與柱之間相當于沒有約束，中間板帶彎矩應為零，此時，柱上板帶應承擔全部的外支座負彎矩。增大邊梁抗扭剛度均可使中間板帶彎矩增加，但當板格比分別為0.5、1.0時邊梁抗扭剛度對柱上板帶所承擔的彎矩值影響較小。雖然板格邊比為2.0時，柱上板帶彎矩比例有一定的變化，但由于此時短跨方向承擔的彎矩小，因而實際承擔的彎矩值變化是有限的，始終處于很低的水平。所以當進行結構設計時，柱上板帶承擔的彎矩值可以采用一個很小的邊梁抗扭剛度（如It＝0.01）用式（1）直接進行計算，支座截面負彎矩的剩余部分相應地由跨中板帶承擔。這樣計算的柱上板帶負彎矩值比實際值稍偏大，但考慮到邊梁帶裂縫工作，減小了對跨中板帶的約束，意味著柱上板帶承擔的彎矩值會增加，設計時采用一個稍偏大的彎矩值反而是偏安全的。

圖7 邊梁相對抗扭比對外端截面彎矩分配的影響

綜合第3～5章算例分析，建議直接設計法查表系數(shù)應做調整，調整后的空心樓蓋總設計彎矩M0的一次分配系數(shù)見表4，空心樓蓋柱上板帶及梁彎矩的二次分配系數(shù)見表5。表中參數(shù)的中間值采用線性插值，對于二次分配，跨中板帶承擔的彎矩由控制截面總彎矩扣除柱上板帶承擔的彎矩后得到。

表4 空心樓蓋一次彎矩分配建議

表5 空心樓蓋二次彎矩分配建議

6 結論

通過大量的算例分析，可以得到以下結論：

1）豎向荷載下，空心樓蓋與實心樓蓋在邊計算單元和中計算單元間以及各計算單元內的彎矩分布規(guī)律類似，差異主要體現(xiàn)在跨中正彎矩的分配上。

2）當μ1不大于1以及c／l不大于0.2時，柱（或柱帽）的尺寸效應對截面彎矩一次分配的影響可以忽略。

3）空心樓蓋直接設計法不能完全沿用已有規(guī)范中關于實心樓蓋的分配系數(shù)，調整后的空心樓蓋直接設計法系數(shù)見表4及表5。

4）端板格一次彎矩分配及二次彎矩分配采用本文提出的方法可以較好地兼顧實用性和準確性。

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