陶麗娜，周小平，柴賀軍

（1.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.招商局重慶交通科研設(shè)計(jì)院有限公司，重慶 400067）

在邊坡穩(wěn)定性分析方法中，極限平衡法作為一種非常有效的分析方法被廣泛研究和應(yīng)用［1－8］。近二十多年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)和數(shù)值分析技術(shù)的發(fā)展，人們開(kāi)始研究各種極限平衡方法的數(shù)值算法［9－11］，并在此基礎(chǔ)上研究邊坡穩(wěn)定性分析的通用極限平衡法，試圖將所有的條分法納入到統(tǒng)一體系中。代表性的成果有Fredlund的普遍極限平衡法［12］和陳祖煜的通用條分法［13］。普遍極限平衡法與通用條分法的理論基礎(chǔ)是一致的，都是建立在極限平衡法基礎(chǔ)上的邊坡穩(wěn)定分析通用理論。

通用條分法用于推導(dǎo)安全系數(shù)的靜力學(xué)原理有：垂直和水平方向的合力均為零，以及所有的力圍繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸心的合力矩為零［12，14］。這兩條加上破壞準(zhǔn)則，還不足以使邊坡穩(wěn)定問(wèn)題成為靜定問(wèn)題［15－16］。要使它成為靜定問(wèn)題，必須再補(bǔ)充一些原則。通用條分法（GLE）對(duì)條間力的方向做了假設(shè)，采用這種做法的各種極限平衡方法均可視作通用條分法的特例［14］。通用條分法屬于嚴(yán)格條分法，條塊滿足所有的靜力平衡條件，即2個(gè)力平衡條件及1個(gè)力矩平衡條件。通用條分法可以模擬圓弧或折線型滑動(dòng)面邊坡的各種穩(wěn)定性計(jì)算方法。目前，對(duì)邊坡穩(wěn)定性計(jì)算的極限平衡方法，包括通用條分法所考慮的邊坡外部作用（水、拉裂縫、外荷載）并不完善，特別是邊坡加固（錨桿、錨索、土工織物、土釘）后的安全系數(shù)計(jì)算還比較欠缺，因此，對(duì)通用條分法進(jìn)行了改進(jìn)以適應(yīng)實(shí)際工程的需要。改進(jìn)通用條分法（Improved General Limit Equilibrium method，簡(jiǎn)稱IGLE）可根據(jù)所滿足的靜力平衡條件和對(duì)條間力的假設(shè)，模擬各種條分法（瑞典法、簡(jiǎn)化畢肖普法、簡(jiǎn)化江布法、修正江布法、陸軍工程師團(tuán)法、斯賓塞法、羅厄法、摩根斯坦普萊斯法等）計(jì)算邊坡在水、拉裂縫、外荷載等作用下，采取錨桿、錨索、土工織物、土釘?shù)燃庸毯蟮陌踩禂?shù)。本文運(yùn)用改進(jìn)通用條分法（IGLE）模擬了中國(guó)巖土界特有的不平衡推力法，并與文獻(xiàn)［17－18］推薦的不平衡推力法進(jìn)行了精度的對(duì)比分析，從而將不平衡推力法的應(yīng)用進(jìn)行了深入與擴(kuò)展。

以改進(jìn)通用條分法（IGLE）為理論基礎(chǔ)，編寫(xiě)了相應(yīng)的程序Rslope，并與著名商業(yè)化軟件—slide［19］、SLOPE／W［20］、理正邊坡穩(wěn)定進(jìn)行了算例對(duì)比分析。

2 改進(jìn)通用條分法（IGLE）理論

2.1 安全系數(shù)的定義

關(guān)于安全系數(shù)的定義，潘家錚［21］對(duì)安全系數(shù)的定義提出了2種解法：

1）強(qiáng)度儲(chǔ)備法：如果材料的強(qiáng)度降低F倍，邊坡即將處于失穩(wěn)狀態(tài)。

2）超載法：如果將荷載增大F倍，邊坡即將失穩(wěn)；如果體系在設(shè)計(jì)荷載下已經(jīng)不能穩(wěn)定，則求出的F將小于1。

對(duì)于同一邊坡，2種不同概念的安全系數(shù)值是不相同的，甚至相差很大。研究多趨向于采用“材料強(qiáng)度儲(chǔ)備系數(shù)”作為安全系數(shù)，因?yàn)椋?）由于強(qiáng)度儲(chǔ)備法中外荷載較為明確，而材料的強(qiáng)度變化不易精確測(cè)定，材料強(qiáng)度中考慮安全系數(shù)較為合理；2）許多問(wèn)題中，自重往往是最主要的荷載。但是自重既產(chǎn)生下滑力，也產(chǎn)生抗滑力，采用超載系數(shù)的概念便不夠明確。

因此，改進(jìn)通用條分法（IGLE）采用強(qiáng)度儲(chǔ)備法來(lái)定義安全系數(shù)。

2.2 強(qiáng)度準(zhǔn)則

采用有效應(yīng)力分析，在極限平衡條件下，條塊底面的抗剪力大小可表示為［14］式（1）。

式中：Sm為條塊底面剪力；s為剪應(yīng)力強(qiáng)度；c′為有效凝聚力；φ′為有效內(nèi)摩擦角；u為孔隙水壓力；F為安全系數(shù)；N為條塊底面上的總法向力；β為條塊底面的長(zhǎng)度。

2.3 力矩平衡安全系數(shù)

考慮邊坡加固后的計(jì)算模型如圖1所示。從力矩平衡的角度考慮，所有條塊對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸心的合力矩為零，則有式（2）。

將式（1）代入式（2），得到力矩平衡安全系數(shù)表達(dá)式，見(jiàn)式（3）。

式中：W 為條塊重力；x為條塊中線至力矩中心的水平距離；Kx、Ky分別為條塊質(zhì)心的水平、豎向地震荷載系數(shù)；R為圓弧滑動(dòng)面的半徑或任意形狀滑動(dòng)面上的抗剪力Sm的力臂；f為法向力N 的作用線至力矩中心的垂直距離；e為KxW 對(duì)應(yīng)的力臂；D為外荷載；d為外荷載D對(duì)應(yīng)的力臂；AT為坡頂拉裂縫水的合力；aT為AT對(duì)應(yīng)的力臂；AB為坡腳水的合力；aB為AB對(duì)應(yīng)的力臂；TN、TS分別為加固力T垂直、平行條塊底面的分力Dw為由坡腳水體作用在條塊上的水壓力，方向垂直于坡面；dw為Dw對(duì)應(yīng)的力臂。

圖1 （a）邊坡模型；（b）條塊3、條塊10的受力分析

2.4 力平衡安全系數(shù)

從力平衡的角度考慮，所有條塊水平力的合力為零，則有：

式中：ω為外荷載D的水平夾角；η為水壓力Dw的水平夾角；EF、EB為條塊前、后條間法向力。

沿整個(gè)滑動(dòng)土體求和時(shí)，條間法向力EB和EF相互抵消，將式（1）代入式（4），得到力平衡安全系數(shù)表達(dá)式，見(jiàn)式（5）。

2.5 條塊底面的法向力

如果要同時(shí)求解力和力矩平衡安全系數(shù)，首先需要計(jì)算出條塊底面法向力。對(duì)于條塊底面法向力，可以根據(jù)所有豎向力的和求解得式（6）。

由式（6）計(jì)算條塊底面法向力的時(shí)候，需要求解條間剪力。假設(shè)條間剪力X和條間法向力E之間存在一定的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系［15］：

式中：f（x）為描述X／E值沿滑動(dòng)面變化情況的函數(shù)關(guān)系；λ為比例常數(shù)，代表求解安全系數(shù)公式時(shí)使用函數(shù)f（x）的百分比。

由條間力函數(shù)式（8）可以得到：

將式（7）代入式（9）得：

將式（10）和式（1）代入式（6），并整理得

式中：

式（11）為求條塊底面法向力N的一般表達(dá)式，當(dāng)λ與f（x）取不同值時(shí)，聯(lián)立式（3）和式（5），便可以模擬各種以極限平衡理論為基礎(chǔ)的邊坡加固后安全系數(shù)計(jì)算方法。聯(lián)立式（2）與式（3），便可以求解力矩平衡安全系數(shù)；聯(lián)立式（2）與式（5），可以求解力平衡安全系數(shù)。

2.6 各種極限平衡方法的模擬

改進(jìn)通用條分法（IGLE）可模擬各種極限平衡法（瑞典法、簡(jiǎn)化畢肖普法、簡(jiǎn)化江布法、陸軍工程師團(tuán)法、羅厄法、摩根斯坦普萊斯法等）。從理論的觀點(diǎn)來(lái)看，各種條分法可根據(jù)所滿足的靜力平衡條件（表1）和對(duì)條間作用力的假設(shè)（表2）加以分類。

表1 不同極限平衡方法滿足的靜力平衡條件

表2 不同極限平衡方法滿足的條間力函數(shù)

2.7 不平衡推力法的模擬

不平衡推力法亦稱傳遞系數(shù)法或剩余推力法，是我國(guó)工程技術(shù)人員創(chuàng)造的一種實(shí)用滑坡穩(wěn)定分析方法。由于該法計(jì)算簡(jiǎn)單，并能夠?yàn)榛轮卫硖峁┰O(shè)計(jì)推力，因此在道路、水利、鐵路等部門(mén)得到了廣泛應(yīng)用，在國(guó)家規(guī)范和行業(yè)規(guī)范中都將其列為推薦方法使用。中國(guó)《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》（GB 50330－2002）［17］、《巖土工程勘察規(guī)范（GB 50021－2001）［18］均推薦使用超載法進(jìn)行安全系數(shù)計(jì)算，其安全系數(shù)計(jì)算公式見(jiàn)式（12）、（13）。

式中：ψi第i計(jì)算條塊剩余下滑推力向第i＋1計(jì)算條塊的傳遞系數(shù)。

不平衡推力法滿足力平衡，其基本假定是條間力方向與條塊底面平行。應(yīng)用改進(jìn)通用條分法（IGLE）模擬不平衡推力法非常方便，只需根據(jù)條塊劃分情況定義條間力函數(shù)為條塊底面傾角，求解力平衡安全系數(shù)即可。但是改進(jìn)通用條分法（IGLE）的安全系數(shù)是采用強(qiáng)度儲(chǔ)備法來(lái)定義，本文將這種模擬方法簡(jiǎn)記為不平衡推力法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法），與文獻(xiàn)［17－18］規(guī)定的不平衡推力法（超載法）求解的安全系數(shù)略有區(qū)別。

3 算例分析

算例選用slide軟件實(shí)例tutorial1.sli，模型如圖2所示。邊坡坡度1：1.5，邊坡凝聚力5kPa，內(nèi)摩擦角30°，容重19kN／m3。

圖2 圓弧滑面計(jì)算簡(jiǎn)圖

3.1 圓弧滑面

采用網(wǎng)格搜索最危險(xiǎn)滑動(dòng)面，網(wǎng)格搜索左下角點(diǎn)坐標(biāo)（30.349，52.345），右上角點(diǎn)坐標(biāo)（65.270，87.266），條塊條分?jǐn)?shù)目25。使用瑞典法、簡(jiǎn)化畢肖普法、簡(jiǎn)化江布法、不平衡推力法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法）與不平衡推力法（超載法）對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

從表3中可以看出：對(duì)于瑞典法、簡(jiǎn)化畢肖普法與簡(jiǎn)化江布法，Rslope與slide計(jì)算的安全系數(shù)基本一致，如果取小數(shù)點(diǎn)后二位有效數(shù)字，則安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果完全一致。

使用不平衡推力法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.148，不平衡推力法（超載法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.149，二者基本一致，而且這兩種方法搜索到的危險(xiǎn)滑動(dòng)面完全一致。這說(shuō)明對(duì)于圓弧滑動(dòng)面，不平衡推力法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法）與不平衡推力法（超載法）具有同等的精度。且不平衡推力法計(jì)算的安全系數(shù)（1.149、1.148）與簡(jiǎn)化畢肖普法計(jì)算的安全系數(shù)（1.141、1.144）精度相當(dāng)，這與鄭穎人等［22］、張魯渝等［23］的研究結(jié)論對(duì)于圓弧滑面，不平衡推力法的精度與簡(jiǎn)化畢肖普法相當(dāng)是一致的。

表3 圓弧滑面安全系數(shù)比較

3.2 折線型滑面

為了便于條塊信息的對(duì)比，根據(jù)搜索危險(xiǎn)滑動(dòng)面的結(jié)果擬定折線滑動(dòng)面及轉(zhuǎn)動(dòng)軸心。

滑動(dòng)面的坐標(biāo)點(diǎn)為：（50，30），（54.029，30.95），（58.449，32.811），（63.8，35.777），（70.081，39.965），（78.805，45.723），（80，46.9966），（82.818，50）。

轉(zhuǎn)動(dòng)的軸心為：（46.409，72.818）。

邊坡條分?jǐn)?shù)目為7塊，如圖3所示。

圖3 折線型滑面計(jì)算簡(jiǎn)圖

1）條間力函數(shù)

工程師法條間力函數(shù)假定為邊坡表面的平均坡度。對(duì)于條間力函數(shù)這有兩種理解：一種是等于坡面的平均坡度0.6094（圖4的工程師法1）；另一種是包括地面部分在內(nèi)的坡面表面的平均坡度0.667（圖4的工程師法2），邊坡條間力會(huì)隨著地面的幾何形狀而改變。

羅厄法（Lowe－Karafiath）條間力的方向被假定為坡面和滑面坡度的平均值，條間力函數(shù)如圖5所示。

斯賓塞法條間力的夾角同時(shí)滿足力平衡和力矩平衡安全系數(shù)，條間力函數(shù)如圖6所示。

摩根斯坦普萊斯法法假定條間力函數(shù)為常數(shù)、半正弦、缺端正弦、梯形，條間力函數(shù)如圖7所示。

不平衡推力法假定條間力的方向與條塊底面平行，條間力函數(shù)如圖8所示。

圖4 工程師法條間力函數(shù)

圖5 羅厄法條間力函數(shù)

圖6 斯賓塞法條間力函數(shù)

圖7 摩根斯坦普賴斯法條間力函數(shù)

圖8 不平和推力法條間力函數(shù)

2）安全系數(shù)

在slide，SLOPE／W，Rslope中，使用瑞典法、簡(jiǎn)化畢肖普法、簡(jiǎn)化江布法、修正江布法、工程師法1、工程師法2、羅厄法、斯賓塞法、摩根斯坦－普賴斯法（常數(shù)、半正弦、梯形、缺端正弦）對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算，安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。從表4中可以看出，Rslope與slide或SLOPE／W計(jì)算的安全系數(shù)具有很好的一致性。

使用不平衡推力法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.154，不平衡推力法（超載法）計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.170，引起二者差異的原因是折線滑面段的長(zhǎng)度及傾角對(duì)安全系數(shù)的影響相對(duì)較大。因此對(duì)于折線型滑面不宜單獨(dú)使用不平衡推力法，特別是不平衡推力法（超載法），而應(yīng)采取多種方法進(jìn)行綜合分析。

表4 折線型滑面安全系數(shù)比較

3）剩余下滑力

使用理正邊坡軟件、手算、Rslope分別計(jì)算安全系數(shù)為1.17和1.154時(shí)條塊對(duì)應(yīng)的剩余下滑力，結(jié)果如表5及圖9所示。

表5 剩余下滑力比較 kN

從表5中可以看出，Rslope計(jì)算的剩余下滑力與手算及理正邊坡計(jì)算結(jié)果基本一致。

從圖9中可以看出，不平衡推力法（超載法）安全系數(shù)為1.170對(duì)應(yīng)的剩余下滑力比不平衡推力法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法）安全系數(shù)為1.154對(duì)應(yīng)的剩余下滑力值最大的值要高10.5%左右，

圖9 條塊剩余下滑力曲線

目前中國(guó)邊坡規(guī)范［17］，巖土工程勘察規(guī)范［18］等國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)均推薦不平衡推力法（超載法）作為計(jì)算方法，在具體應(yīng)用時(shí)建議要同其他的極限平衡方法聯(lián)合應(yīng)用。在折線型滑動(dòng)面情況下，由于不平衡推力法（超載法）安全系數(shù)偏高，直接應(yīng)用工程將會(huì)偏于不安全。

4）剩余下滑力與條間法向力

由于slide與SLOPE／W具有界面友好、建模方便等優(yōu)勢(shì)，但缺少中國(guó)特有的不平衡推力法。因此在slide與SLOPE／W的使用中，工程技術(shù)人員誤認(rèn)為條間法向力與剩余下滑力的水平分力差不多，在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，特別是使用簡(jiǎn)化畢肖普法與簡(jiǎn)化江布法計(jì)算時(shí)，把條間法向力當(dāng)剩余下滑力水平分力使用，來(lái)進(jìn)行邊坡的加固設(shè)計(jì)。

對(duì)簡(jiǎn)化畢肖普法與簡(jiǎn)化江布法計(jì)算得到的條間法向力與剩余下滑力的水平分力做對(duì)比分析，結(jié)果如表6及圖10所示，并得到以下結(jié)論：

1）Rslope與理正邊坡計(jì)算的剩余下滑力水平分力基本一致，說(shuō)明Rslope與理正邊坡具有同等的精度。

2）Rslope與slide和SLOPW／E，簡(jiǎn)化江布法的條間法向力基本一致，而簡(jiǎn)化畢肖普法的條間法向力這差異較大，這是因?yàn)槿咴趯?duì)條間法向力的傳遞方向的不同：在slide和SLOPW／E中，條件法向力的計(jì)算是從第最左邊的條塊（條塊1）向右（條塊7）的傳遞計(jì)算的。Rslope是按照邊坡從坡頂（條塊7）往坡腳（條塊1）傳遞的。

3）對(duì)于邊坡下部條塊1、2、3，條間法向力的值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于剩余下滑力的水平分力。以條塊2為例，Rslope計(jì)算的剩余下滑力水平分力為21.73kN，而條件法向力為64.73kN（簡(jiǎn)化江布法）與84.79kN（簡(jiǎn)化畢肖普法）。因此，剩余下滑力的水平分力與簡(jiǎn)化畢肖普法或簡(jiǎn)化江布法的條間法向力沒(méi)有必然聯(lián)系或者規(guī)律，把條間法向力當(dāng)做剩余下滑力的水平力來(lái)進(jìn)行邊坡加固設(shè)計(jì)會(huì)造成極大的浪費(fèi)與不合理。

表6 剩余下滑力與條間力的比較kN

圖10 條塊剩余下滑力與條間力曲線

3.3 邊坡加固后安全系數(shù)計(jì)算

算例中的邊坡安全系數(shù)不滿足邊坡規(guī)范［17］的要求，對(duì)邊坡進(jìn)行錨桿加固，如圖11所示。

圖11 邊坡加固計(jì)算簡(jiǎn)圖

運(yùn)用自動(dòng)搜索圓弧滑動(dòng)面，得到安全系數(shù)的計(jì)算結(jié)果，見(jiàn)表7。

表7 邊坡加固后的安全系數(shù)比較 kN

從表7可以看出，Rslope與slide的安全系數(shù)、危險(xiǎn)滑動(dòng)面的計(jì)算具有很好的一致性。不平衡推力法（IGLE）的安全系數(shù)1.448與簡(jiǎn)化畢肖普法計(jì)算的安全系數(shù)1.418法接近。

4 結(jié)論

1）對(duì)通用條分法（GLE）進(jìn)行了改進(jìn)，并推導(dǎo)了改進(jìn)通用條分法（IGLE）理論與安全系數(shù)求解過(guò)程。

2）改進(jìn)通用條分法（IGLE）可根據(jù)所滿足的靜力平衡條件和對(duì)條間力的假設(shè)，模擬各種條分法（瑞典法、簡(jiǎn)化畢肖普法、簡(jiǎn)化江布法、陸軍工程師團(tuán)法、羅厄法、摩根斯坦普萊斯法等）計(jì)算邊坡在水、拉裂縫、外荷載等作用下，采取錨桿、錨索、土工織物、土釘?shù)燃庸檀胧┖蟮陌踩禂?shù)。

3）運(yùn)用改進(jìn)通用條分法（IGLE）模擬了我國(guó)特有的不平衡推力法，完善了通用條分法（GLE）的理論體系。

4）基于IGLE理論編制了相應(yīng)的程序Rslope，與slide、SLOPE／W及理正邊坡及手算進(jìn)行了算例分析。對(duì)比分析了圓弧滑面的安全系數(shù)、折線型滑面安全系數(shù)、不平衡推力法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法解）與不平衡推力法（超載法）的安全系數(shù)及剩余下滑力、剩余下滑力與條間法向力，邊坡加固后的安全系數(shù)等內(nèi)容，結(jié)果表明改進(jìn)通用條分法（強(qiáng)度儲(chǔ)備法）具有較高的數(shù)值精度和實(shí)用價(jià)值。

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