胡海峰 翟邵蕾 孫海峰

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

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基于全概率公式的運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)可靠性模型研究

胡海峰 翟邵蕾 孫海峰

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

以運(yùn)載火箭典型復(fù)雜容錯(cuò)控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于全概率公式和系統(tǒng)功能框圖將復(fù)雜系統(tǒng)分解，推導(dǎo)建立了控制系統(tǒng)可靠性模型，給出了系統(tǒng)可靠性定量分析的方法和公式，并進(jìn)行了計(jì)算分析。結(jié)果表明本文建模方法簡(jiǎn)單可行，對(duì)于復(fù)雜容錯(cuò)系統(tǒng)可靠性建模及定量分析具有很好的參考價(jià)值，可以在運(yùn)載火箭可靠性建模分析、方案優(yōu)化中推廣應(yīng)用。

全概率公式；運(yùn)載火箭；復(fù)雜容錯(cuò)；飛行控制系統(tǒng)；可靠性模型

可靠性模型是一種概率模型，通常以概率表達(dá)式或概率分布函數(shù)的形式表示?？煽啃阅Ｐ桶煽啃钥驁D和數(shù)學(xué)表達(dá)式，用以表示系統(tǒng)完成任務(wù)與系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)的關(guān)系。建立可靠性模型是可靠性研究的基礎(chǔ)，根據(jù)系統(tǒng)特點(diǎn)，可以有多種可靠性建模方法，如可靠性框圖、網(wǎng)絡(luò)可靠性模型、故障樹模型、事件樹模型、馬爾可夫模型、Pe-tri網(wǎng)模型、GO圖模型等[1]。為預(yù)計(jì)或估算產(chǎn)品的可靠性所建立的可靠性方框圖和數(shù)學(xué)模型稱為可靠性框圖模型，它是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行方案分析、系統(tǒng)優(yōu)化、可靠性評(píng)估最直觀和通用的方法，得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。

運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)可靠性定量分析和計(jì)算都是在模型上進(jìn)行的，一旦系統(tǒng)的使用要求和功能、結(jié)構(gòu)初步確定，就可以利用系統(tǒng)功能框圖所表示的各單元之間的物理關(guān)系和信息流程，建立系統(tǒng)的可靠性框圖，以進(jìn)一步揭示系統(tǒng)與各單元之間的邏輯關(guān)系，并推導(dǎo)出系統(tǒng)可靠性數(shù)學(xué)模型。當(dāng)控制系統(tǒng)采用系統(tǒng)級(jí)冗余并具備容錯(cuò)功能時(shí)，建立可靠性模型將變得異常復(fù)雜。本文基于全概率公式和系統(tǒng)功能框圖，以典型復(fù)雜容錯(cuò)控制系統(tǒng)為研究對(duì)象進(jìn)行了可靠性建模，研究推導(dǎo)給出了系統(tǒng)可靠性定量分析的公式，并進(jìn)行了算例分析。

1 全概率公式簡(jiǎn)介

全概率公式是概率論中最基本和最重要的公式之一，利用全概率公式可以把復(fù)雜事件發(fā)生的概率計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算若干互斥的簡(jiǎn)單事件情形下該事件的條件概率以及這些情形事件發(fā)生的概率。實(shí)際問題中為了求復(fù)雜事件的概率，往往把它分解成兩個(gè)或若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，利用加法公式求出復(fù)雜事件的概率[4]。為此引入樣本空間的劃分概念和全概率公式。

定義1[5]：設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，若

Ai∈F(i=1，2，…，n)

滿足

AiAj=φ(i≠j，i，j=1，2，…，n)

則稱A1,A2,…,An為Ω的一個(gè)完備事件組或稱為Ω的一個(gè)劃分。

定理1[5]：設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，A1,A2,…,An為Ω的一個(gè)劃分，且

P(Ai)>0 (i=1，2，…，n)

則對(duì)于任一事件B∈F，有

(1)

上式稱為全概率公式。顯然,全概率公式給出了計(jì)算某一復(fù)雜事件B的概率的公式，只要知道使B發(fā)生的各種原因Ai發(fā)生的概率p(Ai)以及在各種原因發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率P(B|Ai)，那么事件B發(fā)生的概率就可以利用全概率公式來計(jì)算。

2 復(fù)雜容錯(cuò)控制系統(tǒng)可靠性建模

2.1 復(fù)雜容錯(cuò)控制系統(tǒng)

運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)運(yùn)行的環(huán)境條件是惡劣的，失敗的損失是巨大的，對(duì)控制系統(tǒng)提出高可靠性要求[6]。冗余容錯(cuò)技術(shù)成為提高運(yùn)載火箭飛行控制系統(tǒng)可靠性的重要手段。某型運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)采用圖1的系統(tǒng)級(jí)冗余方案，為便于分析，系統(tǒng)模型中僅考慮箭機(jī)、慣組和綜合控制器三類典型設(shè)備，全箭通過1553B總線網(wǎng)絡(luò)連接3套完整的電氣系統(tǒng)，形成相對(duì)獨(dú)立的系統(tǒng)級(jí)三冗余系統(tǒng)。設(shè)備均為三冗余，每一套由1條雙通道1553B總線連接，其中箭機(jī)和綜合控制器均為3臺(tái)單機(jī)冗余在1個(gè)設(shè)備中，3臺(tái)單機(jī)之間通過機(jī)內(nèi)總線通信。

圖1 運(yùn)載火箭復(fù)雜容錯(cuò)控制系統(tǒng)框圖

對(duì)于慣組和BC，若3個(gè)模塊均正常，則系統(tǒng)以三模冗余3取2表決方式工作；若其中1個(gè)模塊失效，則系統(tǒng)通過故障檢測(cè)定位將其切除，系統(tǒng)降級(jí)為雙冗余系統(tǒng)；若又有1個(gè)模塊失效并被定位切除，則系統(tǒng)以單機(jī)模式運(yùn)行。對(duì)于綜合控制器，其輸出通過硬件實(shí)現(xiàn)3取2表決，可通過表決屏蔽1個(gè)故障模塊；若有2個(gè)及以上模塊失效，系統(tǒng)即失效。因此控制系統(tǒng)成為箭載計(jì)算機(jī)計(jì)算冗余表決、控制器指令解析冗余表決、輸出級(jí)功率放大冗余表決同步、總線網(wǎng)絡(luò)冗余的復(fù)雜冗余容錯(cuò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

2.2 基于全概率公式的系統(tǒng)可靠性建模

在分析圖1系統(tǒng)可靠性時(shí)，雖然每套1553B總線均有A，B雙通道，當(dāng)A總線出故障時(shí)可以切換為B通道，但是考慮到A，B均故障、總線協(xié)議芯片故障以及切換失敗的情況，應(yīng)考慮總線本身的可靠性，這相當(dāng)于在系統(tǒng)中串聯(lián)1個(gè)單元，系統(tǒng)功能框圖如圖2。

圖2 控制系統(tǒng)功能框圖

系統(tǒng)既非串并聯(lián)又非并串聯(lián)系統(tǒng)，而是介于2者之間的相互交叉的復(fù)雜系統(tǒng)，很難將其簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的并聯(lián)、串聯(lián)等典型結(jié)構(gòu)的組合。如果用狀態(tài)枚舉法，需要列出212種組合，計(jì)算量龐大，本文將基于全概率分解法進(jìn)行控制系統(tǒng)可靠性建模分析，借助于全概率公式把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分解，直到簡(jiǎn)化為一般的串、并聯(lián)系統(tǒng)。在具體運(yùn)用全概率公式的時(shí)候，如何選擇樣本空間Ω的劃分A1,A2,…,An尤其重要。首先以BC1，BC2和BC3的狀態(tài)為條件，應(yīng)用全概率公式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分解。設(shè)系統(tǒng)中每個(gè)單元只取正?；蚴?種狀態(tài)，取“1”代表單元正常，取“0”代表單元失效，則BC1，BC2和BC3的狀態(tài)共有23種組合：000，001，010，011，100，101，110，111，令A(yù)表示BC1，BC2和BC3的狀態(tài)組合集合，R(Ai)為BC1，BC2和BC3在Ai狀態(tài)下的概率，R(S|Ai)為控制系統(tǒng)在Ai狀態(tài)下的系統(tǒng)可靠性，則：

A={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8}=

{000，001，010，011，100，101，110，111}

(2)

根據(jù)定義1，A1,A2,…,An為Ω的一個(gè)劃分。根據(jù)全概率公式，控制系統(tǒng)可靠性計(jì)算公式如下：

(3)

其中，R(001)是BC1，BC2和BC3的狀態(tài)分別為失效、失效和正常的概率；R(S|001)是BC1，BC2和BC3的狀態(tài)分別為失效、失效和正常時(shí)系統(tǒng)正常的概率；……。

為方便計(jì)算，假設(shè)系統(tǒng)中各單元可靠度均為R，根據(jù)概率知識(shí)可得：

R(001)=R(010)=R(100)=R(1-R)2
R(011)=R(101)=R(110)=R2(1-R)
R(111)=R3

(4)

下面計(jì)算條件概率R(S|Ai)，其中i=1，2，…，8。

1)R(S|001)，即BC1，BC2和BC3的狀態(tài)分別為失效、失效、正常時(shí)系統(tǒng)正常的概率。此時(shí)的功能框圖如圖3。

圖3 BC為001狀態(tài)控制系統(tǒng)功能框圖

由于BC是系統(tǒng)的核心，BC失效相當(dāng)于整條總線失效，因此BC1，BC2所對(duì)應(yīng)的IMU1，IMU2均失效；但由于綜合控制器3臺(tái)單機(jī)可以通過內(nèi)部雙口RAM進(jìn)行通訊，因此只要綜合控制器3和另外1臺(tái)單機(jī)正常工作(由系統(tǒng)冗余容錯(cuò)功能診斷)，輸出部分即能正常。系統(tǒng)可靠性框圖可簡(jiǎn)化如圖4。

由以上分析可知：

R(S|001)=R3(2R-R2)

(5)

當(dāng)BC1，BC2和BC3的狀態(tài)為010，100時(shí)，情況同001類似，可得：

R(S|010)=R(S|100)=
R(S|001)=R3(2R-R2)

(6)

2)R(S|011)，即BC1，BC2和BC3的狀態(tài)分別為失效、正常、正常時(shí)系統(tǒng)正常的概率。此時(shí)的功能框圖如圖5。

圖4 BC為001狀態(tài)控制系統(tǒng)可靠性框圖

圖5 BC為011狀態(tài)控制系統(tǒng)功能框圖

由框圖可以看出，此時(shí)第1條總線失效，余下的系統(tǒng)情況仍然比較復(fù)雜，因此選擇以總線2和總線3的狀態(tài)為條件，基于全概率公式繼續(xù)向下分解?？偩€2和總線3的狀態(tài)共有22=4種組合，分別是：00，01，10，11，根據(jù)全概率公式可得：

R(S|011)=R(00)R(S|011,00)+R(01)
R(S|011,01)+R(10)R(S|011,10)+
R(11)R(S|011,11)

(7)

其中，R(01)表示總線2和總線3的狀態(tài)分別為失效、正常的概率；R(S|011,01)表示當(dāng)BC1，BC2，BC3的狀態(tài)分別為失效、正常、正常，且總線2和總線3的狀態(tài)分別為失效、正常時(shí)系統(tǒng)正常的概率；……。

則：

R(01)=R(10)=R(1-R)，R(11)=R2

(8)

求R(S|011,01)時(shí)，框圖如圖6。

可得：

R(S|011,01)=R2(2R-R2)

(9)

同理，可得：

R(S|011,10)=R2(2R-R2)

(10)

R(S|011,11)=(2R-R2)(3R2-2R3)

(11)

綜合以上分析，可得出：R(S|011)=R(01)R(S|011,01)+R(10)R(S|011,10)+R(11)R(S|011,11)=R(1-R)R2(2R-R2)+R(1-R)R2(2R-R2)+R2(2R-R2)(3R2-2R3)=R2(2R-R2)(2R+R2-2R3)

(12)

當(dāng)BC1，BC2和BC3的狀態(tài)為101，110時(shí)，情況同011類似，可得：

R(S|101)=R(S|110)=R(S|011)=
R2(2R-R2)(2R+R2-2R3)

(13)

3)R(S|111)，即BC1，BC2和BC3的狀態(tài)分別為正常、正常、正常時(shí)系統(tǒng)正常的概率。功能框圖如圖7。

圖7 BC為111狀態(tài)控制系統(tǒng)功能框圖

仍然選擇以總線1，總線2和總線3的狀態(tài)為條件繼續(xù)向下分解，總線1，總線2和總線3的狀態(tài)共有23=8種組合：000，001，010，011，100，101，110，111，根據(jù)全概率公式可得：

R(S|111)=R(000)R(S|111,000)+R(001)R(S|111,001)+…+R(111)R(S|111,111)=
R(001)R(S|111,001)+…+R(111)
R(S|111,111)

(14)

同上面的方法，可求得R(S|111,001)，…，R(S|111,111)分別為：

R(S|111,001)=R2(2R-R2)，R(S|111,010)=R(S|111,100)=R(S|111,001)=
R2(2R-R2)，R(S|111,011)=R(S|111,101)=
R(S|111,110)=(2R-R2)(3R2-2R3)，
R(S|111,111)=(3R-3R2+R3)(3R2-2R3)。

(15)

綜合以上分析，可以得出：

R(S|111)=R(001)R(S|111,001)+…+
R(111)R(S|111,111)=3R4(1-R)2(2-R)+
3R5(1-R)(2-R)(3-2R)+
R6(3-3R+R2)(3-2R)

(16)

至此，得到了全部條件概率，計(jì)算過程結(jié)果見表1。

根據(jù)全概率公式，將計(jì)算過程綜合，可得系統(tǒng)可靠性計(jì)算模型：

表1 系統(tǒng)可靠性模型計(jì)算過程結(jié)果

(17)

3 可靠性計(jì)算與分析

3.1 可靠性計(jì)算

運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)單元模塊或單機(jī)可靠度R一般不低于0.990，令R在0.990～0.9999變化，將R代入式(17)，按控制系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行計(jì)算，主要計(jì)算結(jié)果見表2。

BC1，BC2和BC3共8個(gè)狀態(tài)，狀態(tài)為000時(shí)系統(tǒng)失效，其余狀態(tài)可分為3類：第1類為兩度故障，包括001，010，100三個(gè)狀態(tài)；第2類為一度故障，包括011，101，110三個(gè)狀態(tài)；第3類為無(wú)故障，即111狀態(tài)。當(dāng)R在0.990～0.9999變化，按BC狀態(tài)分類分別統(tǒng)計(jì)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。

表3 BC狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響

根據(jù)表2和3的計(jì)算結(jié)果，系統(tǒng)可靠性隨單元模塊可靠度R(0.990～0.9999)變化的趨勢(shì)圖見圖8，BC狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響見圖9～ 11。將BC在兩度故障、一度故障狀態(tài)下系統(tǒng)正常工作的概率與控制系統(tǒng)可靠性的比值進(jìn)行計(jì)算，并轉(zhuǎn)換為百分比，得到BC故障狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響率，其隨單元模塊變化的趨勢(shì)圖見圖12。

圖8 系統(tǒng)隨模塊可靠性變化趨勢(shì)圖

圖9 BC兩度故障對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響

圖10 BC一度故障對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響

圖11 BC無(wú)故障對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響

3.2 分析與討論

全概率公式本質(zhì)是一種平均概率，是條件概率的加權(quán)平均，其中每個(gè)條件概率上的權(quán)重就是作為條件的事件發(fā)生的概率。在應(yīng)用全概率公式進(jìn)行系

圖12 BC故障狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響率

統(tǒng)可靠性建模分析的時(shí)候，如何選擇樣本空間S的劃分A1，A2,…,An顯得尤其重要。在選擇劃分的時(shí)候，一定要把產(chǎn)生結(jié)果的原因全找出來，缺一不可，并且保證A1，A2,…,An為兩兩互不相容事件。本文選擇BC的狀態(tài)進(jìn)行了8個(gè)劃分，選擇恰當(dāng)?shù)膭澐謱?huì)使計(jì)算大為簡(jiǎn)化。本文僅以慣組、箭機(jī)(含BC)、綜合控制器、總線組成的冗余容錯(cuò)控制系統(tǒng)為研究對(duì)象進(jìn)行了可靠性建模分析，并且為計(jì)算方便，將這些單元模塊(或單機(jī))的可靠性指標(biāo)統(tǒng)一設(shè)為R，實(shí)際控制系統(tǒng)組成還包括伺服機(jī)構(gòu)、伺服控制器、電池、配電器等設(shè)備，并且由于任務(wù)需求的差異，不同型號(hào)的控制系統(tǒng)組成也會(huì)有所差別，但均可以本文提供的方法為基礎(chǔ)進(jìn)行可靠性建模分析。將該方法應(yīng)用到具體型號(hào)時(shí)，需在模型及框圖中增加相應(yīng)的設(shè)備，同時(shí)由于設(shè)計(jì)方案的復(fù)雜程度、工藝成熟性等不同，各類設(shè)備的可靠性也不同，各個(gè)設(shè)備的可靠性可分別用R1，R2，…等代替，代入到系統(tǒng)功能框圖和可靠性模型中，最終得到全系統(tǒng)的可靠性模型，并基于模型進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析、評(píng)估和設(shè)計(jì)。

4 結(jié)束語(yǔ)

全概率公式提供了計(jì)算復(fù)雜函數(shù)概率的有效途徑，本文以簡(jiǎn)化的運(yùn)載火箭冗余容錯(cuò)控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于全概率公式進(jìn)行了樣本空間劃分，推導(dǎo)建立了復(fù)雜容錯(cuò)系統(tǒng)可靠性計(jì)算模型，給出了可靠性定量分析的公式，并對(duì)可靠性模型進(jìn)行了計(jì)算分析。為便于建模和計(jì)算，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行了簡(jiǎn)化，提供的是一種復(fù)雜容錯(cuò)控制系統(tǒng)可靠性建模通用的方法，在型號(hào)中應(yīng)用時(shí)，可以基于該方法根據(jù)具體組成和設(shè)備可靠性水平建立系統(tǒng)可靠性模型，并進(jìn)行可靠性分析、評(píng)估和設(shè)計(jì)。該法對(duì)于運(yùn)載火箭復(fù)雜冗余容錯(cuò)控制系統(tǒng)可靠性建模及定量分析具有很好的參考價(jià)值，可以推廣應(yīng)用。

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Study on Reliability Model of Launch Vehicle GNC System Based on Total Probability Formula

HU Haifeng ZHAI Shaolei SUN Haifeng

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854，China

Thetypicallaunchvehicleguidancenavigationandcontrol(GNC)systemwhichisredundantandfaulttolerantisstudied.Thiscomplexsystemisdecomposed，whichisbasedontotalprobabilityformulaandsystemfunctiondiagram.Andthen,itsreliabilitymodelisdeduced,andthequantitativeanalysismethodandformulasofthissystemareproposed，whichareusedtocalculateandanalyzesystemreliability.Theconclusionsaredrawnthatthemethodissimpleandfeasibleandithasgreatreferencedvalueonbuildingreliabilitymodelandreliabilityquantitativeanalysisofcontrolsystemwhichiscomplexandfaulttolerant.Thestudyresultscanbeextensivelyappliedtobuildingreliabilitymodelandoptimizingsysteminlaunchvehicledesign.

Totalprobabilityformula;Launchvehicle;Complexandfaulttolerant;Guidancenavigationandcontrolsystem;Reliabilitymodel

2013-08-21

胡海峰(1978-)，男，河北保定人，碩士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)檫\(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)；翟邵蕾(1982-)，女，河北深澤人，碩士，工程師，主要研究方向?yàn)檫\(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)；孫海峰(1976-)，男，河北吳橋人，碩士，工程師，主要研究方向?yàn)檫\(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

TP274.4

A

1006-3242(2014)03-0087-08