車(chē)汝才

北京控制工程研究所，北京100190

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基于兩步估計(jì)的空間非合作目標(biāo)相對(duì)軌道確定方法研究

車(chē)汝才

北京控制工程研究所，北京100190

研究運(yùn)行于橢圓軌道的衛(wèi)星相對(duì)軌道確定問(wèn)題，適用于配置有非合作測(cè)量敏感器的衛(wèi)星。首先給出了以相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述的橢圓軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(T-H方程)，并給出了解析解;其次根據(jù)星間測(cè)量幾何關(guān)系對(duì)應(yīng)的測(cè)量方程，提出一種新的基于兩步估計(jì)的相對(duì)軌道確定方法;最后通過(guò)數(shù)學(xué)仿真對(duì)算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

兩步估計(jì);非合作目標(biāo);相對(duì)軌道確定;橢圓軌道;衛(wèi)星

對(duì)空間非合作目標(biāo)跟蹤飛行可以進(jìn)行實(shí)時(shí)觀(guān)測(cè)或監(jiān)視[1]，國(guó)外很早就開(kāi)展了相關(guān)研究，如美國(guó)XSS系列衛(wèi)星具有自主交會(huì)對(duì)接、軌道監(jiān)視、以及圍繞目標(biāo)近距離機(jī)動(dòng)等能力[2]，美國(guó)AeroAstro公司提出的Escort微小衛(wèi)星能夠?qū)臻g目標(biāo)進(jìn)行在軌監(jiān)視、逼近等，沿航向?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行跟蹤飛行并實(shí)現(xiàn)三維觀(guān)測(cè)[3]。因此，跟蹤空間非合作目標(biāo)在軍事、商業(yè)和科學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

若追蹤星能利用星載測(cè)量設(shè)備完成自主相對(duì)軌道確定，則可對(duì)在軌自主軌道跟蹤或構(gòu)型保持任務(wù)提供重要的依據(jù)。利用相對(duì)距離、方位角和俯仰角測(cè)量信息來(lái)確定相對(duì)軌道信息，已有很多學(xué)者開(kāi)展了研究，如文獻(xiàn)[4-5]分別針對(duì)圓軌道C-W方程利用Kalman濾波和EKF算法研究了編隊(duì)飛行的相對(duì)軌道確定問(wèn)題；文獻(xiàn)[6]針對(duì)非合作目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)航問(wèn)題提出了粒子濾波算法，但是系統(tǒng)模型都局限于C-W方程；文獻(xiàn)[7]根據(jù)非線(xiàn)性系統(tǒng)方程提出了EKF算法，但是算法收斂速度略慢。對(duì)于空間非合作目標(biāo)跟蹤任務(wù)，算法的收斂速度將是值得考慮的因素。

考慮到非合作目標(biāo)的軌道具有一定任意性，利用圓軌道模型的C-W方程將有一定的局限，模型誤差較大。因此本文從一般性出發(fā)，針對(duì)橢圓道衛(wèi)星的相對(duì)軌道確定問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了采用橢圓軌道T-H方程進(jìn)行相對(duì)軌道確定的思路。在測(cè)量信息選擇方面，根據(jù)常用的幾類(lèi)相對(duì)導(dǎo)航敏感器，如微波測(cè)距儀、可見(jiàn)光相機(jī)、激光雷達(dá)等，采用相對(duì)距離、方位角和俯仰角作為系統(tǒng)測(cè)量信息，并針對(duì)相對(duì)軌道確定算法的快速收斂問(wèn)題，提出一種新的基于兩步估計(jì)的相對(duì)軌道確定方法，該算法收斂速度快，最后通過(guò)數(shù)學(xué)仿真對(duì)算法有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 橢圓軌道衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

首先定義如下坐標(biāo)系：

1) 地心慣性坐標(biāo)系OXYZ：坐標(biāo)系原點(diǎn)O為地心，X軸指向春分點(diǎn)，Z軸指向北極，Y軸按右手法則確定；

圖1 空間坐標(biāo)系示意圖

1.1 衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

參考軌道坐標(biāo)系原點(diǎn)位于追蹤星質(zhì)心，并設(shè)追蹤星和目標(biāo)星在地心慣性系中的位置矢量分別為rc和rt，目標(biāo)星相對(duì)于追蹤星的位置矢量ρ在參考軌道坐標(biāo)系中坐標(biāo)為[x,y,z]T，則

(1)

求取式(1)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)：

(2)

(3)

若目標(biāo)星與追蹤星間的相對(duì)距離ρ?rc，可忽略二次以上高階項(xiàng)，整理得到理想二體軌道運(yùn)動(dòng)假設(shè)下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[8](T-H方程)：

(4)

式中，η=1+ecosθ，e為軌道偏心率。將對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)真近點(diǎn)角θ的導(dǎo)數(shù)，可將T-H方程從時(shí)域轉(zhuǎn)換至θ域，并寫(xiě)成狀態(tài)方程的形式：

(5)

(6)

T-H方程是線(xiàn)性方程，其模型誤差取決于相對(duì)距離與地心距的比值，比值越小誤差也越小。

1.2 衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程解析表達(dá)式

引入變量X=[x,y,z,x′,y′,z′]T，在理想二體假設(shè)下，T-H方程存在如下解析解[9]：

X(θ)=ΦX(θ0)=ΦaΦbX(θ0)

(7)

(8)

(9)

其中，

φa11=esinθ,φa12=2e2H(θ)sinθ-eη-2cosθ,

φa13=-cosθ,φa21=η,φa22=2eηH(θ),

φa23=(1+η-1)sinθ,φa24=η-1,

φa35=η-1sinθ,φa36=η-1cosθ,φa41=ecosθ,

φa42=2e2H(θ)cosθ+2e2H′(θ)sinθ+

eη-2sinθ-2e2η-3sinθcosθ，

φa43=sinθ,φa51=-esinθ,

φa52=2e[H′(θ)-eH(θ)sinθ+eH′(θ)cosθ],

φa53=(1+η-1)cosθ+eη-2sin2θ,

φa54=eη-2sinθ,φa65=η-1cosθ+eη-2sin2θ,

φa66=eη-2cosθsinθ-η-1sinθ,

φb11=e-1sinθ0,φb14=e-1cosθ0,

φb31=-2e-1η0,φb32=sinθ0,φb35=-e-1η0,

φb42=(1+η0)cos2θ0-1,

其中，

(10)

E為偏近點(diǎn)角，dH保證H(θ0)=0。

2 基于兩步估計(jì)法的相對(duì)軌道確定

2.1 相對(duì)軌道測(cè)量方程

在對(duì)空間非合作目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，一般采用微波雷達(dá)、光學(xué)相機(jī)等設(shè)備獲取相對(duì)距離ρ、方位角α和俯仰角ε信息，圖2為測(cè)量示意圖。本文主要研究相對(duì)軌道確定算法，因此不對(duì)姿態(tài)確定作詳細(xì)討論，選擇相對(duì)位置和相對(duì)速度作為估計(jì)變量，根據(jù)空間幾何關(guān)系，測(cè)量值ρ，α和ε可表示為

(11)

圖2 相對(duì)軌道測(cè)量示意圖

2.2 基于兩步估計(jì)的相對(duì)軌道確定

(12)

兩步估計(jì)法可以更好地利用有效的測(cè)量信息，提高狀態(tài)估計(jì)的精度，其中的迭代計(jì)算有助于消除初始誤差帶來(lái)的影響。下面給出其具體計(jì)算公式。

第1步估計(jì)可由如下方程進(jìn)行描述：

(13)

式中，

(14)

(15)

由于第1步估計(jì)的測(cè)量方程為線(xiàn)性方程，利用卡爾曼濾波可求出Yk的最優(yōu)估計(jì)值

(16)

(17)

(18)

其中，ek為第2步估計(jì)的測(cè)量噪聲，其協(xié)方差矩陣為Pyk。式(18)為非線(xiàn)性方程，可以利用Gauss-Newton算法求其最優(yōu)解，迭代計(jì)算公式如下

(19)

(20)

需指出第2步估計(jì)必須在第1步估計(jì)的測(cè)量更新和時(shí)間更新之間進(jìn)行。圖3給出了兩步估計(jì)算法的詳細(xì)計(jì)算流程。

圖3 兩步估計(jì)法計(jì)算流程圖

(21)

其中，K為采樣數(shù)。

3 仿真算例

衛(wèi)星初始軌道根數(shù)如表1，仿真中考慮J2攝動(dòng)，假設(shè)相對(duì)距離測(cè)量精度10m，方位角和俯仰角測(cè)量精度均為0.01°，測(cè)量采樣周期1s。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣Q=diag{0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1}，測(cè)量噪聲協(xié)方差陣R=diag{102,3×10-8,3×10-8}，初始狀態(tài)協(xié)方差陣MX1=diag{108,108,108,108,108,108}。仿真時(shí)間為1個(gè)軌道周期，同時(shí)采用兩步估計(jì)和EKF兩種方法進(jìn)行比較。

表1 初始軌道參數(shù)

圖4～5給出整個(gè)仿真周期內(nèi)相對(duì)位置估計(jì)誤差和相對(duì)速度估計(jì)誤差曲線(xiàn)。為了便于分析，圖6～7給出仿真初期50s內(nèi)相對(duì)位置估計(jì)誤差和相對(duì)速度估計(jì)誤差的變化曲線(xiàn)?？梢钥闯?，兩步估計(jì)算法的初始收斂速度快于EKF算法。圖8～9給出仿真末期1000s內(nèi)相對(duì)位置估計(jì)誤差和相對(duì)速度估計(jì)誤差曲線(xiàn)，濾波算法精度與敏感器測(cè)距精度和測(cè)角精度有關(guān)。仿真表明，兩步估計(jì)算法的相對(duì)位置估值和相對(duì)速度估值基本趨于穩(wěn)定，EKF算法的相對(duì)位置估值已穩(wěn)定，但相對(duì)速度估值仍有一定偏差，但從總體趨勢(shì)來(lái)看，也將逐漸收斂。

圖4 相對(duì)位置估計(jì)誤差(整個(gè)仿真周期)

圖5 相對(duì)速度估計(jì)誤差(整個(gè)仿真周期)

圖6 相對(duì)位置估計(jì)誤差(仿真初期50s)

圖7 相對(duì)速度估計(jì)誤差(仿真初期50s)

圖9 相對(duì)速度估計(jì)誤差(仿真末期1000s)

為了驗(yàn)證兩步估計(jì)算法的有效性，對(duì)兩步估計(jì)算法和EKF算法同時(shí)進(jìn)行50次Mente-Carlo仿真。仿真末期的相對(duì)位置誤差和相對(duì)速度誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖10～11。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，在相同的仿真時(shí)間內(nèi)，兩步估計(jì)算法的計(jì)算精度優(yōu)于EKF算法計(jì)算精度。

圖10 相對(duì)位置估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)

圖11 相對(duì)速度估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)

以上仿真結(jié)果表明兩步估計(jì)算法收斂速度快于EKF算法，而且兩步估計(jì)算法對(duì)初始狀態(tài)的選取不敏感，具有一定的魯棒性。對(duì)于空間非合作目標(biāo)跟蹤任務(wù)來(lái)講，算法的快速收斂性將是一個(gè)明顯的優(yōu)勢(shì)，能為跟蹤星后續(xù)的制導(dǎo)控制提供有利的時(shí)機(jī)。由于兩步估計(jì)法需要一定的迭代計(jì)算，計(jì)算量較擴(kuò)展卡爾曼濾波大?？紤]到目前星載計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力大幅提升，足以滿(mǎn)足兩步估計(jì)算法的計(jì)算量。因此，兩步估計(jì)算法在未來(lái)空間非合作目標(biāo)跟蹤問(wèn)題上將有一定的應(yīng)用前景。

4 結(jié)論

研究了橢圓軌道衛(wèi)星跟蹤空間非合作目標(biāo)的相對(duì)軌道確定問(wèn)題，利用相對(duì)軌道狀態(tài)描述的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(T-H方程)，提出一種基于兩步估計(jì)的相對(duì)軌道確定方法，該方法收斂速度快、精度較高，對(duì)于快速跟蹤非合作目標(biāo)具有一定應(yīng)用價(jià)值?？紤]到計(jì)算模型中未考慮地球形狀攝動(dòng)的影響，對(duì)算法的估計(jì)精度有一定影響，后續(xù)還需進(jìn)一步深入研究。

[1] Toso A R. System-Level Feasibility Analysis of A Microsatellite Rendezvous with Non-cooperative Target [D]. Master thesis, Air Force Institute of Technology，2004.

[2] Thomas M D, Baker M T L, Belchak T A, Larsen W R. XSS-10 Micro-Satellite Flight Demonstration Program[C]. The 17thAnnual AIAA USU Conference on Small Satellite，Utah,SSC03-1-IV-1, Aug., 2003.

[3] Aaron J, Thomas W Vaneck. AeroAstro’s Escort-A Microsatellite for On-Orbit Inspection of Space Assets[C]. The 17thAnnual AIAA USU conference on Small Satellite，Utah, SSC03-IV-7, Aug., 2003.

[4] 張洪華,林來(lái)興.衛(wèi)星編隊(duì)飛行相對(duì)軌道的確定[J].宇航學(xué)報(bào), 2002, 23(6): 77-81.(Zhang Honghua, Lin laixing. The Determination of Relative Orbit for Satellites Formation Flying [J]. Journal of Astronautics , 2002, 23(6): 77-81.)

[5] 雪丹,曹喜濱,吳云華.多星編隊(duì)相對(duì)軌道的自主確定[J].宇航學(xué)報(bào), 2006, 27(6): 1406-1408.(Xue Dan, Cao Xibin, Wu Yunhua. Autonomous Determination of Relative Orbit for Multi-satellite Formation[J]. Journal of Astronautics, 2006, 27(6): 1406-1408.)

[6] 金煌煌,溫奇詠,夏紅偉,王常虹.空間非合作目標(biāo)的相對(duì)導(dǎo)航粒子濾波算法[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用, 2009, 35(4): 6-11.(Jin Huanghuang, Wen Qiyong, Xia Hongwei,Wang Changhong. Particle Filter Algorithm for Relative Navigation of Space Non-Cooperative Target[J].Aerospace Control and Application, 2009, 35(4): 6-11.)[7] 劉濤，解永春.非合作目標(biāo)交會(huì)相對(duì)導(dǎo)航方法研究[J].航天控制, 2006, 24(2): 48-53.(Liu Tao,Xie Yongchun. A Study on Relative Navigation for Spacecraft Rendezvous with a Noncooperative Target [J]. Aerospace Control, 2006, 24(2): 48-53.)

[8] Inalhan G, Tillerson M, How J P. Relative Dynamics and Control of Spacecraft Formations in Eccentric Orbits [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2002, 25(1): 48-59.

[9] 于萍, 張洪華.橢圓軌道編隊(duì)飛行的典型模態(tài)與構(gòu)型保持控制方法[J].宇航學(xué)報(bào), 2005, 26(1): 7-12. (Yu Ping, Zhang Honghua. Representative Formation-Keeping Mode and Control for Spacecraft in Eccentric Orbits[J]. Journal of Astronautics, 2005, 26(1): 7-2.)

[10] Haupt G T, Kasdin N J, Keiser G M, Parkinson B W. Optimal Recursive Iterative Algorithm for Discrete Nonlinear Least Squares Estimation[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics,1996,19(3): 643-649.

The Relative Orbit Determination for Non-cooperative Target Based on Two-step Estimator

CHE Rucai

Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190，China

Therelativeorbitdeterminationofellipticorbitsatelliteisdiscussedinthispaper,anditcanbeusedforthenon-cooperativetargetmeasuringandtracking.Firstly,therelativemotionbetweenthechaserandtargetinarbitraryellipticorbitisdescribedbyusingTschauner-Hempelequations.Thehomogenoussolutionoftheseequationscanbeobtainedduetotheeccentricanomaly.Secondly,basedonthethegeometricrelationbetweenthechaserandthetarget,anewtwo-stepestimatorispresentedfortherelativeorbitdetermination.Thesimulationresultsshowtheeffectivenessofthisproposedmethod.

Two-stepestimator；Non-cooperativetarget；Relativeorbitdetermination；Ellipticalorbit；Satellite

2013-07-08

車(chē)汝才(1979-)，男，山西人，博士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)及控制技術(shù)。

V448

A

1006-3242(2014)03-0038-06