高葉葉 李華濱 李 伶 宋維軍

北京航天自動控制研究所,北京 100854

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基于觀測方程的捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差可觀測性分析

高葉葉 李華濱 李 伶 宋維軍

北京航天自動控制研究所,北京 100854

針對捷聯(lián)導(dǎo)航系統(tǒng)工具誤差可觀測性問題，建立相對較完整的激光慣組誤差模型，并在慣性系中推導(dǎo)了捷聯(lián)慣導(dǎo)工具誤差的觀測方程。利用奇異值分解理論(SVD)分析誤差系數(shù)的可觀測性，并以仿真程序生成的彈道為例說明了分析捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差可觀測性的過程及特點。

捷聯(lián)慣導(dǎo)；工具誤差；可觀測性；奇異值分解

隨著計算機(jī)技術(shù)和慣性器件的飛速發(fā)展，捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在上世紀(jì)80年代已逐漸進(jìn)入實際應(yīng)用階段。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)最大的特點是用數(shù)學(xué)平臺代替物理平臺,避免了平臺式慣導(dǎo)系統(tǒng)復(fù)雜的物理實體平臺,且捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性高，體積小，成本低,還可通過冗余技術(shù)提高系統(tǒng)的容錯能力[1]。因此，捷聯(lián)系統(tǒng)在導(dǎo)彈慣性導(dǎo)航領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

對于應(yīng)用捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)彈來說，影響其命中精度的因素有很多，如制導(dǎo)工具誤差、方法誤差、初始對準(zhǔn)誤差等，其中，制導(dǎo)工具誤差影響最大。實踐證明，對慣性測量元件的工具誤差進(jìn)行補(bǔ)償是提高導(dǎo)彈命中精度切實可行的方法。捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差系數(shù)的可觀測性是進(jìn)行工具誤差系數(shù)分離、實現(xiàn)誤差補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)。捷聯(lián)系統(tǒng)中用姿態(tài)解算矩陣代替物理平臺，而姿態(tài)陣解算過程與陀螺儀輸出密切相關(guān)，因此陀螺儀誤差密切耦合于捷聯(lián)系統(tǒng)解算出的各物理量中，同時加速度計的測量輸出也存在誤差，使工具誤差項的可觀測性更為復(fù)雜。誤差的可觀測性直接影響誤差項的估值效果，因此開展針對捷聯(lián)系統(tǒng)的工具誤差可觀測性研究很有必要。

本文通過建立激光捷聯(lián)慣組的誤差模型，推導(dǎo)計算了捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差與遙外差之間的線性關(guān)系，即得到工具誤差的可觀測矩陣。介紹了奇異值分解理論(SVD)在捷聯(lián)系統(tǒng)誤差系數(shù)可觀測性方面的應(yīng)用；最后選取一段仿真程序得到的彈道應(yīng)用SVD分析捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差的可觀測性。為捷聯(lián)系統(tǒng)誤差分離的研究工作提供了參考。

1 建立慣組工具誤差模型

本文以2個兩軸陀螺儀正交安裝的捷聯(lián)慣組為研究對象，利用其2個雙敏感軸構(gòu)成三軸正交系，其敏感軸與飛行器坐標(biāo)軸平行，敏感測量飛行器角速度在彈體坐標(biāo)系3個軸方向的投影，其誤差主要包括陀螺零次項漂移、一次項誤差及安裝誤差，其中安裝誤差為3個敏感軸安裝不垂直引起的輸出誤差。因此，建立激光捷聯(lián)慣組陀螺儀誤差模型如下：

(1)

其中，αx,αy,αz為陀螺儀輸出值的偏差在彈體系坐標(biāo)軸方向的投影；ωx1,ωy1,ωz1為飛行器角速度在彈體系坐標(biāo)軸方向的投影；egij(i,j=x,y,z)為陀螺儀一次項誤差及安裝誤差系數(shù)。

捷聯(lián)系統(tǒng)中，加速度計測量值為彈體系視加速度，其誤差模型主要包括零次項誤差、一次項誤差、安裝誤差項與二次項誤差。建立誤差模型如下：

(2)

2 計算觀測矩陣

理論論證與飛行實踐表明，捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差與遙外差之間可近似認(rèn)為是線性關(guān)系，利用該關(guān)系建立觀測方程。

捷聯(lián)系統(tǒng)中通過求解飛行器體軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程，得出姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，從而建立起數(shù)學(xué)平臺，實現(xiàn)彈體系到慣性系的轉(zhuǎn)換。姿態(tài)陣解算過程與陀螺儀輸出相關(guān)，因此陀螺儀誤差密切耦合于捷聯(lián)系統(tǒng)解算出的各物理量中。另外，除陀螺儀引起的誤差外，加速度計本身存在漂移，加速度計在安裝時存在不對準(zhǔn)情況，也導(dǎo)致視加速度的測量值存在誤差。

綜上，由陀螺儀測量誤差間接引起及加速度計測量誤差直接導(dǎo)致的捷聯(lián)系統(tǒng)視加速度偏差總和可表示為：

(3)

其中，陀螺儀引起的視加速度測量偏差為：

(4)

(5)

(6)

其中，D為27×1維工具誤差系數(shù)矩陣，式(6)即為遙外差與誤差系數(shù)的線性關(guān)系式，SV為捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差的觀測矩陣。

3 誤差系數(shù)可觀測性

觀測矩陣包含了工具誤差可觀測性的全部信息，因此研究誤差的可觀測性即研究其可觀測性矩陣。文獻(xiàn)[2]通過對捷聯(lián)系統(tǒng)誤差狀態(tài)進(jìn)行可觀測性的研究，表明動態(tài)系統(tǒng)的可觀測性矩陣奇異值的大小能用于定量分析系統(tǒng)可觀測性,定性分析系統(tǒng)可觀測度的大小。分別計算奇異值對應(yīng)的誤差項的值，可具體分析每一項誤差的可觀測性，對應(yīng)的奇異值越小，則該項誤差系數(shù)的可觀測性越差。

矩陣的奇異值分解：

設(shè)A∈Cm×n,rankA=r>0，則A有奇異值分解：

(7)

其中，U為m階酉矩陣，V為n階酉矩陣，∑=diag(σ1,σ2,…,σr),σ1≥σ2≥…≥σr>0是A的r個正奇異值。

將該方法應(yīng)用到捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差可觀測性研究，對前文所得可觀測性矩陣的奇異值分解如下：

(8)

則有：

(9)

若σn>0，則：

(10)

選取

(11)

認(rèn)為σi對應(yīng)的誤差項不可觀測。其中α為實數(shù)，其值根據(jù)工程需要確定。

4 仿真算例

利用仿真程序生成一段彈道，其彈體系角速度與視加速度分別如圖1和2所示。

圖1 彈體系角速度

圖2 彈體系視加速度

利用捷聯(lián)系統(tǒng)六自由度彈道仿真程序仿真遙、外測數(shù)據(jù)，計算該彈道對應(yīng)環(huán)境函數(shù)。對環(huán)境函數(shù)進(jìn)行奇異值分解，得奇異值見表1。

表1 觀測矩陣的奇異值

根據(jù)奇異值整體情況，選取奇異值

即σi(i=19,20,…,27)對應(yīng)的誤差項為不可觀測項。將σi由小到大排列，根據(jù)式(10)分別計算這9個奇異值對應(yīng)的誤差系數(shù)值。下面以圖3(a)，即σ27=0.02191為例說明奇異值與誤差系數(shù)項可觀性的關(guān)系，其對應(yīng)項為第10項誤差，該項誤差系數(shù)對應(yīng)的奇異值極小，認(rèn)為該項誤差系數(shù)不可觀測。如此類推，圖3(b)中奇異值對應(yīng)的不可觀測誤差系數(shù)項為第20和21項，即egxy和egxz。綜合奇異值對應(yīng)的誤差系數(shù)值，不可觀測項為kayy，kayz，kazx，kazy，kazz，egxx，egxy，egxz，egyy，egyz，egzy，egzz。

另外，在上述誤差項中，對于第20與21項，即egxy和egxz，該兩項誤差在同一個奇異值計算結(jié)果中，總是數(shù)值基本相等，符號相反，因此，可判斷該兩項誤差對應(yīng)的觀測向量為線性相關(guān)關(guān)系。同理還有egyy與egyz，egzy與egzz，kayy與kayz，kazy與kazz。

圖3 奇異值對應(yīng)的誤差系數(shù)值

利用仿真彈道得到遙外差并計算觀測矩陣。首先，直接利用最小二乘估計得出27項誤差系數(shù)估計值，其中前文提及的不可觀測項其估計值與真值偏離大，甚至完全不可信。然后，去掉完全不可觀測的誤差項，將線性相關(guān)項合并后重新計算，其估計值更接近真值，整體估值效果得到明顯改善，驗證了前文可觀測性結(jié)論的正確性。表2為前文得出的12項不可觀測誤差項估值與真值的對比。表中陀螺儀誤差系數(shù)單位為(°)/h，表中誤差項的單位均為1.0×10-5。

同時，圖3(d)中σ24=0.55905對應(yīng)的誤差項有第11，12，23和24項，即該4項誤差的觀測矩陣相關(guān)性極強(qiáng)，其中既有加速度計誤差又有陀螺誤差項，即加速度計誤差與陀螺誤差耦合緊密，前文只對加速度計誤差、陀螺誤差分別進(jìn)行簡單合并，沒有考慮加速度計與陀螺的耦合關(guān)系，加之最小二乘法在處理復(fù)共線性較強(qiáng)的問題時有很大的局限性，估計值與真值仍有較大偏差，可以考慮應(yīng)用貝葉斯估計、主成分估計等算法改進(jìn)估值效果。

表2 誤差項真值與估計值對比

5 結(jié)論

在捷聯(lián)系統(tǒng)工具誤差可觀測性分析過程中，分別計算觀測矩陣的奇異值對應(yīng)的誤差項的值，可具體分析每一項誤差的可觀測性，對應(yīng)的奇異值越小，則該項誤差系數(shù)的可觀測性越差；且同一項奇異值對應(yīng)的誤差項具有線性相關(guān)關(guān)系，可為誤差項的取舍、合并提供依據(jù)。

[1] David H T-itterton,Jhon L Weston.Strapdown Inertial Navigation Technology[M]. 2nd ed. UnitedKingdom: The Institution of Electrical Engineers,2004:29-33.

[2] 柴衛(wèi)華,杜亞東,張樹俠.捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)可觀測性的研究[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報, 2000，21(2)：10-14.(Chai Weihua,Du Yadong,Zhang Shuxia.The Study of Observability of Strapdown Inertial Navigation System[J].Journal of Harbin Engineering University, 2000,21(2):10-14.)

[3] 徐延萬.彈道導(dǎo)彈、運載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計與分析[M].北京: 宇航出版社, 1999.

[4] 程向紅，萬德鈞，仲巡.捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的可觀測性和可觀測度研究[J].東南大學(xué)學(xué)報，1997，27(6)：6-10.(Cheng Xianghong,Wan Dejun,Zhong Xun.Study on Observability and Its Degree of Strapdown Inertial Navigation System[J].Journal of Southeast University,1997, 27(6)：6-10.)

[5] 吳俊偉，孫國偉，張如，等.基于SVD方法的INS傳遞對準(zhǔn)的可觀測性能分析[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報，2005，13(6)：26-30.(Wu Junwei,Sun Guowei,Zhang Ru，et al.Analysis on Observability of INS Transfer Alignment Based on SVD Method[J].Journal of Chinese Inertial Technology, 2005,13(6):26-30.)

The Observability Analysis of SINS Instrumental Error Based on Observation Equations

GAO Yeye LI Huabin LI Ling SONG Weijun

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

RegardingtheproblemofSINSerrorobservation,establisharelativelycompletelaserSIMUmodelisestablishedandtheformulasofSINSobservationequationarederivedininertialreferenceframe.Then, SVDisusedtostudytheobservationoftheinstrumentalerror.Finally,atrajectorysimulationisusedasaninstancetodemonstratetheSINSerrorobservabilityandfeatures.

SINS;Instrumentalerror;Observation; SVD

2014-01-15

高葉葉(1989-)，女，河北保定人，碩士研究生，主要研究方向為導(dǎo)航與制導(dǎo)；李華濱(1966-)，男，廣西蒙山縣人，研究員，主要研究方向為飛行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制；李 伶(1972-)，女，湖北赤壁人，研究員，主要研究方向為飛行器制導(dǎo)與控制；宋維軍(1979-)，男，山東日照人，高級工程師，主要研究方向為飛行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

V249.32+2

A

1006-3242(2014)03-0029-04