陳 藏，葛世剛，劉海生，倉定幫

(1.華北科技學(xué)院教務(wù)處，北京101601； 2.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京101601)

算子半群理論是泛函分析的一個重要分支，在控制理論中有著廣泛的應(yīng)用.20世紀(jì)四五十年代，為了解決偏微分方程的初值問題，以E.Hille與K.Yosida為代表的數(shù)學(xué)家提出了Banach空間上強(qiáng)連續(xù)C0半群理論，解決了許多的數(shù)學(xué)與工程技術(shù)問題.此后C半群、積分半群及余弦算子函數(shù)等算子理論相繼被提出，在偏微分方程的領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用價值.然而在實際問題中發(fā)現(xiàn)，許多情況對應(yīng)的半群不是強(qiáng)連續(xù)的 F.Kuhnemund［1］指出，存在Banach空間上一些特殊的非強(qiáng)連續(xù)半群，并通過對這些半群的具體研究在Banach空間上附加一個比范數(shù)拓?fù)浯值木植客雇負(fù)?，使得半群在局部凸拓?fù)湎聫?qiáng)連續(xù)，從而提出了雙連續(xù)半群的概念.文獻(xiàn)［1］還指出序列完備的局部凸空間上的等度連續(xù)半群滿足的條件比雙連續(xù)半群強(qiáng)，且等度連續(xù)對實際問題的應(yīng)用不是很廣，許多情況所對應(yīng)的空間是Banach空間，可以賦予一個比范數(shù)拓?fù)浯值木植客雇負(fù)洌瑥亩f明雙連續(xù)半群理論有非常好的應(yīng)用價值.文獻(xiàn)［2］給出了雙連續(xù)半群的Trotter-Kato定理，文獻(xiàn)［3］分析了局部凸拓?fù)湎碌?Riemann-Stieltjes積分，給出了雙連續(xù)半群的逼近定理及其應(yīng)用.自G.Da Prato等［4］引入預(yù)解算子族概念以來，其基本理論的研究已經(jīng)受到廣泛的關(guān)注［5-15］，主要原因是預(yù)解算子族統(tǒng)一和推廣了C0半群與強(qiáng)連續(xù)余弦算子函數(shù).本文結(jié)合雙連續(xù)C0半群和正則預(yù)解算子族的概念對雙連續(xù)正則預(yù)解算子族進(jìn)行研究，給出了雙連續(xù)正則預(yù)解算子族的生成與逼近定理.

1 定義與引理

假設(shè)X是 Banach空間，X'是它的共軛空間，B(X)表示X到自身的有界線性算子全體.τ是X上的一個局部凸拓?fù)?，并具有以下性質(zhì):

1)空間(X，τ)是在‖·‖-有界集上序列完備，即每個‖·‖-有界的τ柯西列在(X，τ)中收斂；

2)τ拓?fù)浔取ぁ智沂荋ausdorff拓?fù)洌?/p>

3)(X，‖·‖)中范數(shù)可由空間(X，τ)'定義，即對每個x∈X有

Pτ表示X上的局部凸拓?fù)鋵?yīng)的半范數(shù)族.一般認(rèn)為，對所有的x∈X，p∈Pτ，

τ 柯西列理解為:對序列(xk)k∈N?X，?ε ＞0，存在n1＞0，當(dāng)n，m＞n1時，p(xn-xm) ＜ε 成立.

定義1.1［3］設(shè)X是局部凸拓?fù)涞腂anach空間，α∈NBV［0，r］，NBV［0，r］表示定義在［0，r］上的普通囿變函數(shù).函數(shù)f:［0，r］→X是 Riemann-Stieltjes可積的，如果

2 生成定理

從而(e)成立.

3 逼近定理

注3.1在以上的研究結(jié)果中，如果取a(t)=1或a(t)=t，則分別得到雙連續(xù)半群和雙連續(xù)余弦函數(shù)的相應(yīng)結(jié)果.

致謝華北科技學(xué)院重點學(xué)科建設(shè)基金(HKXJZD201402)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

［1］Kuhnemund F.A Hille-Yosida theorem for bi-continuous semigroups［J］.Semigroup Forum，2003，67(2):205-225.

［2］Albanese A A，Mangino E.Trotter-Kato Theorems for bi-continuous semigroups and applications to Feller semigroups［J］.J Math Anal Appl，2004，289:477-492.

［3］Jara P.Rational approximation schemes for bi-continuous semigroups［J］.J Math Anal Appl，2008，344:956-968.

［4］Da Prato G，Ianelli M.Linear integro differential equations in Banach spaces［J］.Rend Mat Univ Padova，1980，62:207-219.

［5］Lizama C.Uniform continuity and compactness for resolvent families of operators［J］.Acta Appl Math，1995，38:131-138.

［6］Shaw S Y.Ergodic theorems and approximation theorems with rates［J］.Taiwanese J Math，1995，4(3):365-383.

［7］鄭權(quán)，孫應(yīng)傳.預(yù)解算子族的一個推廣［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2000，20(S):723-726.

［8］Lizama C.Regularized solutions for abstract volterra equations［J］.J Math Anal Appl，2000，243:278-292.

［9］Lizama C.On Approximation and representation of K-regularized resolvent families［J］.Intergral Equations and Operator Theory，2001，41:223-229.

［10］Lizama C，Prado H.Rates of approximation and ergodic limits of regularized operator families［J］.J Approx Theory，2003，122:42-61.

［11］張寄洲.C-正則預(yù)解算子族的遍歷性［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，2005，25(1):122-127.

［12］張寄洲.正則預(yù)解算子族的乘積擾動［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2005，25(1):27-34.

［13］Lizama C，Poblete V.On multiplicative perturbation of integral resolvent families［J］.J Math Anal Appl，2007，327:1335-1359.

［14］Li M，Zheng Q，Zhang J Z.Regularied resolvent families［J］.Taiwanese J Math，2009，11(1):117-133.

［15］Shaw S Y，Liu H.Continuity of restrictions of(a，k)-regularized resolvent families to invariant subspaces［J］.Taiwanese J Math，2009，A13(2):535-544.