劉國軍，馬月梅，張選德

(1.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川750021； 2.寧夏大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院，寧夏銀川750002)

P.N.Agrawal等［1］定義了一類線性正算子

約定Pn，k(x)=0，k＜0，并且討論了該算子對無界函數(shù)的同時(shí)逼近問題.

文獻(xiàn)［2-3］分別討論了算子Mn(f)的線性組合和迭代線性組合的逼近正定理.文獻(xiàn)［4-5］討論了該算子的線性組合在Lp空間逼近的逆定理和飽和定理.李景斌等［6］進(jìn)一步討論了算子Mn(f)在Lp空間逼近的弱型逆定理，即Steckin-Marchaud型不等式.2012年，文獻(xiàn)［7］給出了該算子的一種變形.

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)討論算子Mn(f)在Lp［0，∞)(1≤p≤∞)中的強(qiáng)型逆定理，得到了逼近的強(qiáng)逆不等式.強(qiáng)逆不等式給出了算子逼近逆定理的深刻刻畫，是研究的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其代表性工作可見文獻(xiàn)［8-9］.之后，許多學(xué)者對強(qiáng)逆不等式進(jìn)行了深入研究和拓展.例如文獻(xiàn)［10-11］拓 展 到 了 Bernstein型 算 子，文 獻(xiàn)［12-14］分別研究了 Baskakov型算子和Beta算子，文獻(xiàn)［15-18］討論了 Szasz型算子，文獻(xiàn)［19-20］進(jìn)一步分別研究了Szasz-Mirkjan算子和Gamma算子加權(quán)逼近的強(qiáng)逆不等式，文獻(xiàn)［21］討論了多元Stancu算子逼近的強(qiáng)逆不等式.

文獻(xiàn)［22］定義了K-泛函和二階光滑模

1 若干引理

引理 1.1設(shè)φ2(x)=x(1+x)，

于是，由 Riesz插值定理［24］即可完成引理1.3的證明.

引理 1.4設(shè)g'∈A.C.loc，且 φ2g″∈Lp［0，∞ )，對于1＜p≤∞，則

證明類似于文獻(xiàn)［23］的引理5的討論，即可得到本引理的結(jié)論.

2 主要結(jié)果

3 結(jié)語

本文討論了一類線性正算子在Lp空間逼近的B-型強(qiáng)逆不等式，由此給出了該算子對可積函數(shù)類的逼近逆定理和等價(jià)刻畫.有關(guān)該算子的其他逼近性質(zhì)，如高維擴(kuò)充［26］和飽和階［27］仍有待于進(jìn)一步研究.

［1］Agrawal P N，Thamer K J.Approximation of unbounded functions by a new sequence of linear positive operators［J］.J Math Anal Appl，1998，225:660-672.

［2］Gupta V.Rate of approximation by a new sequence of linear positive operators［J］.Comput Math Appl，2003，4(12):1895-1904.

［3］Gupta M K，Vasishtha V.The iterative combinations of a new sequence of linear positive operators［J］.Math Comput Model，2004，39(4/5):521-527.

［4］Agrawal P N，Mohammad A J.OnLp-inverse theorem for a linear combination of a new sequence of linear positive operators［J］.Soochow J Math，2006，32(3):1-13.

［5］Agrawal P N，Mohammad A J.Lp-saturation theorem for a linear combination of a new sequence of linear positive operators［J］.Soochow J Math，2005，31(1):31-40.

［6］李景斌，劉國軍，王式功.一類新線性正算子的Steckin-Marchaud型不等式［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，44(6):107-111.

［7］Gupta V，Kim T，Lee S H.q-analogue of a new sequence of linear positive operators［J］.J Inequal Appl，2012，144:1-9.

［8］Ditzian Z，Ivanov K G.Strong converse inequalities［J］.J D'analyse Math，1993，61:61-111.

［9］Totik V.Strong converse inequalities［J］.J Approx Theory，1994，40(1):369-375.

［10］李松.關(guān)于Bernstein型算子的強(qiáng)逆不等式［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997，40(1):106-121.

［11］封梅，李翠香，呂春先.關(guān)于Bernstein-Kantorovich算子的強(qiáng)逆不等式［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，33(3):285-289.

［12］馬月梅，劉國軍.Lupas-Baskakov型算子逼近的強(qiáng)逆不等式［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，31(1):51-56.

［13］齊秋蘭.廣義Baskakov型算子的強(qiáng)逆不等式［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2002，18(4):317-321.

［14］劉麗霞，孫梅青，許景彥.關(guān)于Beta算子的強(qiáng)逆不等式［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，28(3):224-227.

［15］Qi Q L，Zhang Y P.Strong converse inequalities for certain mixed Szasz-Beta operators［J］.Chin Quart J Math，2011，26(1):152-158.

［16］李松.關(guān)于Szasz-Kantorovich算子的強(qiáng)逆不等式［J］.數(shù)學(xué)雜志，1996，16(2):137-142.

［17］劉國軍，薛銀川.Szasz-Durrmeyer算子逼近的強(qiáng)逆不等式［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，40(4):24-27.

［18］Yang R Y，Xiong J Y，Cao F L.Strong converse inequality for modified Szasz operators［J］.J Math Res Exp，2004，24(3):437-444.

［19］Liu G J，Xue Y C，Sun W B.Strong converse inequalities for Szasz-Mirkjan operators with weights［J］.Chin Quart J Math，2008，23(3):384-389.

［20］齊秋蘭，郭順生，黃蘇霞.Gamma算子在空間帶權(quán)同時(shí)逼近的強(qiáng)逆不等式［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2008，A28(3):537-545.

［21］丁春梅.多元Stancu多項(xiàng)式的強(qiáng)逆不等式［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，52(4):141-148.

［22］Ditzian Z，Totik V.Moduli of Smoothness［M］.New York:Springer-Verlag，1987:1-179.

［23］丁春梅.Baskakov-Durrmeyer型算子的強(qiáng)逆不等式［J］.信陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1999，12(1):8-13.

［24］Riesz M.Sur les maxima des formes bilinearires et sur les fonctionnelles lineaires［J］.Acta Math，1926，49:465-497.

［25］Heilmann M.Direct and converse results for operators of Baskakov-Durrmeyer type［J］.Approx Theory Appl，1989，5(1):105-127.

［26］徐艷艷，陳廣貴，雷文慧.利用Gaussian核對多元函數(shù)的近似逼近及其誤差估計(jì)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，32(5):581-587.

［27］王小剛.二元Marcinkiewicz型和的最佳逼近［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，33(3):306-311.