BPNNHDMR非線性近似模型方法及應(yīng)用

2014-08-08 13:53:59李偉平竇現(xiàn)東王振興柳超

湖南大學(xué)學(xué)報·自然科學(xué)版 2014年5期

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)優(yōu)化

李偉平+竇現(xiàn)東+王振興+柳超

文章編號：16742974(2014)05003207

收稿日期：20130719

基金項目：國家高新技術(shù)研究發(fā)展計劃（863計劃）資助項目（2012AA111802）

作者簡介：李偉平（1971-），男，湖南邵陽人，湖南大學(xué)副教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email: lwpzlbb@yeah.cn

摘要：提出基于誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Back Propagation Neural Network, BPNN)的高維模型表示（high dimensional model representation, HDMR)方法，即BPNNHDMR方法.BPNNHDMR方法的顯著優(yōu)勢是將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性函數(shù)逼近能力與高維模型的層級結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合來構(gòu)建近似模型，并能夠揭示輸入變量之間固有的線性或非線性關(guān)系及其相關(guān)性，將構(gòu)造模型復(fù)雜度由指數(shù)級增長降階為多項式級，有效地解決了高維建模問題.通過測試和對比驗證了該算法的效率和建模能力，并將該算法應(yīng)用于礦用自卸車安全駕駛室翻車保護裝置（RollOver Protective Structure, ROPS)的優(yōu)化設(shè)計.通過優(yōu)化結(jié)果驗證了所提方法的可行性和有效性.

關(guān)鍵詞：近似模型;高維模型;誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);非線性;結(jié)構(gòu)優(yōu)化



中圖分類號：U463.4 文獻標(biāo)識碼：A

BPNNHDMR Nonlinear Metamodeling Technique

and Its Application



LI Weiping, DOU Xiandong, WANG Zhenxing, LIU Chao

（State Key Laboratory of Advanced Designed and Manufacture for Vehicle Body,

Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082,China）

Abstract:This paper proposed a new highdimension model representation (HDMR) based on back propagation neural network (BPNN), which is called BPNNHDMR. The most remarkable advantage of this method lies in its ability to integrate the nonlinear function approximation capability of BP neural network and the hierarchy structure theory of high dimensional model to build an approximation model. Moreover, this method can reveal the inherent linearity or nonlinearity relationship as well as correlation with respect to input variables. The problem of modeling high dimension model is effectively tackled by reducing the computation cost from exponential growing to polynomial. Testing and comparative analysis confirm the efficiency and capability of BPNNHDMR for high dimension nonlinear problems. Furthermore, the algorithm was applied to optimize the ROPS of Mining Dump Truck's Safety Cab. The optimized results verify the feasibility and effectiveness of the method proposed.

Key words: metamodel; high dimensional model representation（HDMR）; back propagation neural network(BPNN); nonlinearity; structural optimization



工程優(yōu)化問題中，對于基于真實模型的嵌套優(yōu)化，每次計算目標(biāo)函數(shù)值都要調(diào)用費時的仿真計算模型，其計算代價不可小視.而利用近似模型可以有效地解決這一問題[1]，即通過對近似模型的求優(yōu)近似得到真實模型的優(yōu)化值.

目前廣泛應(yīng)用的一些近似方法，如響應(yīng)面法、Kriging插值、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，在處理較低維問題時有很好的效果.而對于工程中復(fù)雜的高維非線性模型，隨著維數(shù)和非線性程度的增加，構(gòu)造近似模型所需的樣本點數(shù)量和計算花費呈指數(shù)增長，使解決此類問題的計算效率大大降低[2] .針對這一問題，Sobol證明了可積函數(shù)可以分解為不同維數(shù)函數(shù)的疊加理論[3].該理論表明，對于任意一個可以積分的函數(shù)，在其積分空間內(nèi)存在唯一的、可以擴展的高維模型(High Dimensional Model Representation，HDMR).這一模型是精確的，有確定的階數(shù)，并包含一個層級結(jié)構(gòu).高維模型可以將計算時間隨非線性程度和維數(shù)增加按指數(shù)增長的隱函數(shù)，轉(zhuǎn)化為可以忽略高階耦合項的多項式函數(shù)，并揭示了每個設(shè)計變量對近似函數(shù)的貢獻量，大大減少了計算時間.同時反映了輸入變量之間固有的線性或非線性關(guān)系及其相關(guān)性，在近似高維非線性問題時非常有效.由此，一系列不同特性的高維模型開始發(fā)展起來，被研究和應(yīng)用于不同的領(lǐng)域.其中，Shan等提出了基于徑向基的高維模型（RBFHDMR)[4],湯龍等提出了基于Kriging的高維模型（KrigingHDMR)[5].

本文采用誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Back Propagation Neural Network, BPNN)與中心切面高維模型（CutHDMR[6]）方法相結(jié)合的BPNNHDMR.BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其神經(jīng)元的傳遞是S型函數(shù)，它可以實現(xiàn)從輸入到輸出的任意非線性映射.對于非線性問題，在精度表達上具有一定優(yōu)勢.CutHDMR方法是用過指定點的特定的直線、平面和超平面上的信息來建立模型，計算效率高，方便易行.

1 高維模型（HDMR）基本理論

設(shè)待求問題的設(shè)計變量可行域為An(n維實數(shù)空間)，那么多元函數(shù)f(x)∈R與輸入變量x∈An之間的映射關(guān)系可以用HDMR[6-7]來表示為：

f(x)=f0+∑ni=1fi(xi)+∑1≤i

其中f0為函數(shù)在中心點的函數(shù)值，后面依次為不同階耦合項對近似函數(shù)的貢獻量.

為了方便計算，本文引入CutHDMR.與其他類型的高維模型相比，CutHDMR用少量簡單的算術(shù)運算來表達計算花費高昂的真實模型，并達到了其他類型高維模型相似的精度，計算效率高.CutHDMR展開式的各分項表達請參考文獻[6].

2 BPNNHDMR

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它由一個輸入層、一個輸出層和至少一層隱含層組成[8].該網(wǎng)絡(luò)的主要特點是信號向前傳遞，誤差反向傳播.在前向傳遞中，輸入信號從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，直至輸出層.每一層的神經(jīng)元狀態(tài)只影響下一層神經(jīng)元狀態(tài).如果輸出層得不到期望輸出，則轉(zhuǎn)入反向傳播，根據(jù)預(yù)測誤差調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值，從而使BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出不斷逼近期望輸出.因此，BP網(wǎng)絡(luò)可以看作是解決函數(shù)逼近的工具. 

本文中，隱層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)采用雙曲正切S型函數(shù)h，它類似于一個平滑的階梯函數(shù)：

h(x)=(ex－e－x)/(ex+e－x) （2）

考慮一個分層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(x,W)，其中x是輸入矢量，W是可變權(quán)系數(shù)矢量.在這里要訓(xùn)練(x,W)來近似函數(shù)f:［a,b］R→R，其中f(［a,b］)是一個有界集.在區(qū)間[a, b]中隨機選取xk作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，(xk,Wk)為網(wǎng)絡(luò)的輸出，f(xk)為在區(qū)間f(［a,b］)中的期望輸出值.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的任務(wù)是調(diào)整網(wǎng)絡(luò)中的可變權(quán)系數(shù)來減小誤差Ek，Ek定義為: 

Ek=12［xk,W(k)］－f(xk)2(3)

假設(shè)wi(k)為W(k)中的任意元素.調(diào)整wi(k)對誤差Ek的影響直接取決于偏導(dǎo)數(shù)(Ek)/［wi(k)］.BP算法的作用在于如何評價(Ek)/［wi(k)］.詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻[9].這樣，wi(k)就向著減小誤差Ek的方向調(diào)整： 

wi(k+1)=wi(k)－μ(Ek)/［wi(k)］，

wi(k)∈W(k)(4)

其中μ為常量，是指定的更新率.可以看出，如果μ足夠小時，則：

{［xk,W(k+1)］－f(xk)}2<

{［xk,W(k)］－f(xk)}2(5)

其中假設(shè)Ek>0.由式(5)可知，對于同樣的輸入?yún)?shù)x1,x2,…,xk，更新后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出更接近于真實函數(shù)輸出值.

HechtNielsen[9]研究了分層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似非線性函數(shù)的能力.他在文獻[9]中表明，在確定的條件下，對于任意ε>0，存在一個三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（包含一個輸入層，一個輸出層和一個非線性隱含層）可以在均方誤差精確度ε范圍內(nèi)近似函數(shù)f.因此，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以應(yīng)用于工程實際中的大多數(shù)情況.

2.2 BPNNHDMR的構(gòu)建

對大多數(shù)工程問題而言，非耦合項和低階耦合項對響應(yīng)函數(shù)影響較大.為此，BPNNHDMR方法只考慮到一階耦合項，表達式如下： 

f(x)≈f0+∑ni=1i(xi)+∑1≤i

式中帶頂標(biāo)^的項表示BPNN近似項，∑ni=1i(xi),∑1≤i

高維模型的一般構(gòu)建流程[4-5]如下：

1）選取各設(shè)計變量中心位置的點x0=［x10,x20,…,xn0］作為中心點，計算得到f0.

2）在每個變量xi（［x10,x20,…,xi,…，xn0］）的取值區(qū)間上為非耦合項fi(xi)=f(［x10,…,xi,…，xn0］T)－f0布點.選取xi取值區(qū)間上下界的兩個端點，并計算這兩點的函數(shù)值，用BPNN構(gòu)建近似函數(shù)i(xi).

3）檢驗i(xi)的線性關(guān)系，如果(x0)－f0f0≤10－3，則認(rèn)為i(xi)是線性的，程序終止；否則，繼續(xù)采樣和xi上下界三個點構(gòu)建一個新的i(xi)，看i(xi)是否滿足給定的精度要求，如果滿足，則程序終止；否則，繼續(xù)采樣構(gòu)建一個新的近似函數(shù)i(xi)，直至滿足精度要求.循環(huán)執(zhí)行第2步和第3步直到所有的非耦合項構(gòu)造完畢.

4）判斷模型中是否存在一階耦合項.創(chuàng)建新檢驗點(xi,xj,xij0)=［x10,x20,…,xi,…,xj,…,xn0］，不失一般性，選取構(gòu)造非耦合項時用的采樣點分量的上下界中的一個作為新樣本的第i維分量.在精確度準(zhǔn)則所允許的誤差范圍內(nèi)，若f0+∑ni=1fi(xi)=f0+∑ni=1i(xi)，就認(rèn)為不存在一階耦合項，程序終止；否則轉(zhuǎn)入第5步.

5）識別相互耦合的變量.構(gòu)造新樣本點［x10,…,xei,…，xej,…，xn0］T(1≤i

6）將上面構(gòu)建的各階BPNN近似函數(shù)代入式（6）就得到了高維模型近似響應(yīng)函數(shù).

在用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建近似模型過程中，一般隱含層結(jié)點數(shù)取2P+1[10] (P為輸入結(jié)點數(shù)），由于本文樣本數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，對于非耦合項和一階耦合項我們選擇的隱結(jié)點數(shù)分別為3和5.根據(jù)文獻[11]，只有當(dāng)學(xué)習(xí)率為0<η<43N+1時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是收斂的，這里η為學(xué)習(xí)率，N為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本點數(shù).同時，本文中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大訓(xùn)練步數(shù)設(shè)定為100次，訓(xùn)練目標(biāo)為0.000 04，單隱含層.其他更多BPNN具體參數(shù)設(shè)置和程序設(shè)計請參看文獻[10]和[12].

本文高維模型構(gòu)建時的精確度準(zhǔn)則和收斂準(zhǔn)則都是通過相對誤差來定義的.精確度準(zhǔn)則主要用于輸入變量之間耦合性的識別，所允許的相對誤差一般不超過10-4.由于本文方法具有較高精確度，所以本文針對測試函數(shù)收斂準(zhǔn)則所允許的相對誤差均取0.001；而對于工程問題，考慮到計算效率和一般工程要求的5%的近似精度，設(shè)置的相對誤差均取0.01.通過以上設(shè)置，在樣本點數(shù)一定時，由于本文方法將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性函數(shù)逼近能力與高維模型的層級結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合，所以本文近似模型方法在近似非線性問題時較傳統(tǒng)方法具有更高的精度，建模效率也有所提高.

3 數(shù)值算例

3.1 評價指標(biāo)

為了測試近似模型近似效果，采用3種比較常用的評價指標(biāo)，R2(R square),相對平均絕對誤差（relative average absolute error, RAAE)和相對最大絕對誤差（relative maximum absolute error, RMAE）.這些指標(biāo)反映了BPNNHDMR在新樣本點上的預(yù)測能力,其具體表達式請參考文獻[4].其中，R2是從整體上反映近似模型的精度，其值越接近1越好；RAAE也是從整體上反映近似模型的精度，其值越小越好；RMAE是一個局部指標(biāo)，描述了設(shè)計空間中某個局部區(qū)域的誤差，其值越小越好.

3.2 函數(shù)算例

首先選擇一個高維非線性測試函數(shù)：

f(x)=∑9i=1［(x2i)(x2i+1+1）+(x2i+1)（x2i+1)］,

xi∈［0,1］(7)

采用相同數(shù)量的訓(xùn)練樣本點（計算費用相同），分別采用BPNN，BPNNHDMR和Kriging 3種方法進行建模并比較它們的精度，計算結(jié)果如表1所示（表中數(shù)據(jù)是計算100次的平均值）.

表1 BPNN，BPNNHDMR和Kriging方法比較

Tab.1 Comparison between BPNN, BPNNHDMR

and Kriging algorithm

方法

R2

RAAE

RMAE

BPNN

0.886 0

0.221 6

0.225 1

BPNNHDMR

0.993 9

0.058 2

0.049 5

Kriging

0.326 4

2.975 8

0.836 6

分析表中數(shù)據(jù)，對于同一測試函數(shù)，3種近似方法中，BPNNHDMR方法的R2值最接近1，RAAE和RMAE也都最小.由對比可知，對于高維非線性問題，基于同樣數(shù)量的一組訓(xùn)練樣本，采用BPNNHDMR方法得到的近似模型精度更高.

其次，增加高維非線性測試函數(shù)式(7)的維數(shù)

f(x)=∑d-1i=1［(x2i)(x2i+1+1)+(x2i+1)(x2i+1)］,

0≤xi≤1(8)

來測試BPNNHDMR方法的效率.式(8)中，維數(shù)d分別取d=10,30,50等不同值，假設(shè)每一維的訓(xùn)練樣本點數(shù)為9（經(jīng)測試，基本可以滿足精度要求），表2中列出了各階HDMR計算費用的比較.

表2 各階HDMR建模費用的比較

Tab.2 Comparison of modeling cost among variousorder

HDMRs for the study problem

維數(shù)

BPNNHDMR

高維模型二階項全部

展開（多項式級增長）

全因子設(shè)計sd

（指數(shù)級增長）

172

2 961

3.486 8×109

532

28 081

4.239 1×1028

892

78 801

5.153 8×1047

4 工程應(yīng)用

為了驗證BPNNHDMR在處理工程實際問題時的可行性，本文以某礦用自卸車全駕駛室式翻車保護裝置（ROPS)的優(yōu)化設(shè)計為例.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)ISO 3471：2008[13]對ROPS進行非線性有限元分析，確保ROPS滿足標(biāo)準(zhǔn)ISO 3164:1992[14].通過仿真分析得到ROPS的變形量，為進一步優(yōu)化打下基礎(chǔ).安全駕駛室ROPS的有限元模型如圖1所示.



圖1 ROPS加載分析模型

Fig.1 Loads and constraints of the ROPS model

ROPS框架采用殼單元模擬，焊接使用剛性殼單元模擬為一個載荷變換器[15].焊接連接處網(wǎng)格局部加密，計算時假設(shè)焊縫與母材材料特性相同（實際中焊縫一般不先破壞）.單元大小設(shè)定為20 mm，其中四邊形單元54 951個，三角形單元1 389個，單元類型分別為S4R和S3R.本文ROPS材料為進口鋼板A710，屈服極限為690 MPa，斷裂極限為792 MPa，材料模型選擇金屬塑性材料模型，定義材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線.依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)ISO 3471：2008進行載荷和約束的施加.其中，約束ROPS底部與車架連接處3個平動方向的自由度（UX，UY，UZ)，F(xiàn)C為側(cè)向力加載，FV為垂向力加載，FL為縱向力加載.標(biāo)準(zhǔn)撓曲極限量（Deflectionlimiting volume ,DLV）與ROPS的側(cè)向間距為200 mm，垂向間距為110 mm，縱向間距為320 mm.分析時考慮幾何非線性和材料非線性.

4.1 優(yōu)化變量的選取

本文優(yōu)化的ROPS主要由一些不同厚度的矩形管和加強筋焊接而成.考慮對稱性和加工可行性，對稱的選取ROPS不同部位的矩形管厚度作為設(shè)

計變量.各設(shè)計變量選取見圖1，取值范圍如表3所示．

表3 各優(yōu)化變量取值范圍

Tab.3 Range of optimization variablesmm

參數(shù)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

取值范圍

[8,12]

[6,14]

[8,12]

[6,14]

[6,10]

[5,7]

[6,10]

[6,10]

4.2 目標(biāo)函數(shù)的建立

通過非線性有限元分析可知，由于要考慮ROPS側(cè)向吸能問題，ROPS側(cè)向變形最接近DLV，因此側(cè)向變形為危險工況.根據(jù)企業(yè)要求，本文選取側(cè)向變形作為一個優(yōu)化目標(biāo)，以垂向和縱向變形為約束.因此以ROPS側(cè)向變形最小和ROPS質(zhì)量最小建立多目標(biāo)優(yōu)化問題，ROPS的多目標(biāo)優(yōu)化模型可以描述為：

min XUC(X)min Xm(X)s.t.UV(X)

式(9)中UC為ROPS的側(cè)向變形量；UV為ROPS的垂直變形量；UL為ROPS的縱向變形量；B1，B2分別為ROPS垂向和縱向的最大允許變形量；m為ROPS的總質(zhì)量.

4.3 近似模型的構(gòu)建

本文采用BPNNHDMR構(gòu)建ROPS變形量和質(zhì)量響應(yīng)近似模型.對每個設(shè)計變量在其取值范圍內(nèi)等間距取點，取點數(shù)量根據(jù)構(gòu)建近似模型時是否達到預(yù)先設(shè)定的精度決定，通過ABAQUS計算獲得樣本點處的真實響應(yīng)值.首先構(gòu)建一階項，然后進行精度判斷.在設(shè)計變量空間，采用拉丁超立方實驗設(shè)計方法，選擇10個采樣點.分別對真實模型和近似模型進行計算，并計算兩者的相對誤差.如果相對誤差滿足給定精度要求（設(shè)定為5%），則構(gòu)建近似模型成功，若精度不滿足要求，則繼續(xù)構(gòu)建高階項.

通過計算，本文所求近似模型只需計算到一階項，就可以得到比較精確的近似結(jié)果，可以省略高階耦合項.構(gòu)建過程中只需56個樣本點即得到滿足工程要求的近似模型.

為了客觀、全面地反映所建近似模型在設(shè)計域內(nèi)的精確程度，在設(shè)計域內(nèi)采用拉丁超立方實驗設(shè)計方法隨機生成10個測試樣本點，用它們分別對BPNN，BPNNHDMR和Kriging模型進行精度測試，并以側(cè)向變形響應(yīng)精度為例，測試結(jié)果如表4所示.

表4 采用BPNN，BPNNHDMR和Kriging

方法所得側(cè)向變形近似模型的比較

Tab.4 Comparison of the lateral deformation between 

BPNN, BPNNHDMR and Kriging algorithm

方法

樣本點數(shù)

R2

RAAE

BPNN

0.603 3

0.298 9

BPNNHDMR

0.984 0

0.085 1

Kriging

0.238 3

0.716 7

由表4中數(shù)據(jù)可知，BPNNHDMR解決此類工程問題具有高效準(zhǔn)確的優(yōu)點.同時，可以看出BPNN和Kriging方法在構(gòu)建高維非線性有限元模型時的局限性，本文需要增加采樣點數(shù)量才能用這兩種方法獲得比較精確的近似模型，這樣就增加了真實有限元模型的計算次數(shù)，而真實非線性有限元模型一次計算要數(shù)小時，導(dǎo)致計算花費大大增加.

4.4 優(yōu)化過程及結(jié)果分析

本文采用基于Pareto概念的多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法，該方法是求解多目標(biāo)問題非劣最優(yōu)解的有效途徑之一 [16].在基于Pareto最優(yōu)概念的遺傳算法中，NSGAⅡ[17-18]是最有效的.因此，本文采用NSGAⅡ，在近似模型的基礎(chǔ)上對ROPS進行多目標(biāo)優(yōu)化.

初始種群設(shè)為100，最大迭代次數(shù)設(shè)為200，交叉概率0.9，變異概率0.1.收斂規(guī)則為：達到最大迭代次數(shù)作為終止條件.得到Pareto最優(yōu)解集如圖2所示．

圖2中星號表示多目標(biāo)優(yōu)化非劣解.在優(yōu)化解集中取有代表性的10組解，多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解集見表5.ROPS優(yōu)化前側(cè)向變形和質(zhì)量如表6所示.對比表6與表5中第4組和第6組數(shù)據(jù)可以看出，在質(zhì)量相當(dāng)?shù)那闆r下，優(yōu)化后的側(cè)向變形大約減小了26.7 mm,在側(cè)向變形相當(dāng)?shù)那闆r下，優(yōu)化后的質(zhì)量大約減小了75.1 kg.因此，通過多目標(biāo)優(yōu)化，ROPS的質(zhì)量和變形情況明顯改善.同時，根據(jù)得到的Pareto最優(yōu)解集，可以根據(jù)設(shè)計者經(jīng)驗和需求，高效率地實現(xiàn)ROPS各矩形管厚度的選取，以滿足不同性能需要.

把優(yōu)化結(jié)果代入有限元計算模型驗證，計算結(jié)果如表7所示.

由ABAQUS計算驗證可知，所選優(yōu)化解都符合標(biāo)準(zhǔn)ISO 3164:1992的要求.這也證明了本文所提方法在工程優(yōu)化實際應(yīng)用中的可行性和有效性.同時，由于模型簡化掉了一些蒙皮和附屬部件，以及真實情況下車架也有一部分吸能作用，所以本文的分析結(jié)果是偏向安全的.

側(cè)向變形/mm

圖2 多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解集

Fig.2 Feasible Pareto optimal solutions

表5 雙目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解

Tab.5 The Pareto optimal solutions of twoobjective uncertain optimization

Pareto解

x1

/mm

x2

/mm

x3

/mm

x4

/mm

x5

/mm

x6

/mm

x7

/mm

x8

/mm

x9

/mm

x10

/mm

質(zhì)量

/kg

側(cè)向變形

/mm

12.0

6.0

12.0

13.2

10.0

6.7

9.9

5.8

7.0

9.8

1 508.5

88.0

11.9

6.0

11.5

10.3

10.0

6.6

9.8

5.8

6.8

9.9

1 453.1

94.5

11.8

6.0

10.7

10.6

10.0

6.5

9.6

5.9

6.6

9.9

1 421.2

100.9

12.0

8.4

8.5

10.1

10.0

6.9

7.8

6.4

5.0

9.9

1 347.9

116.4

11.0

8.5

8.0

9.6

9.3

6.4

7.5

6.4

5.0

9.5

1 284.3

136.5

9.9

6.0

9.4

8.6

9.5

7.0

9.0

6.0

5.0

7.5

1 269.8

143.9

9.6

6.2

8.8

6.3

9.3

7.7

6.4

5.3

5.4

7.1

1 215.1

152.6

10.3

6.0

8.9

6.8

7.6

6.5

6.9

5.3

5.1

8.3

1 188.2

164.2

10.0

6.1

8.7

6.0

7.5

6.5

7.0

5.6

5.2

8.6

1 168.5

171.5

10.0

6.0

8.0

6.3

6.7

6.5

7.2

5.3

5.0

8.3

1 125.0

186.3

表6 ROPS側(cè)向變形優(yōu)化前數(shù)據(jù)

Tab.6 Finite element analysis results of ROPS before optimized

變量

x1

/mm

x2

/mm

x3

/mm

x4

/mm

x5

/mm

x6

/mm

x7

/mm

x8

/mm

x9

/mm

x10

/mm

質(zhì)量

/kg

側(cè)向變形

/mm

初始值

1 344.9

143.1

表7 優(yōu)化后的響應(yīng)值A(chǔ)BAQUS計算驗證

Tab.7 Check the optimization results

by ABAQUS calculation mm 

優(yōu)化后最大

側(cè)向變形量

ABAQUS

計算的側(cè)向

最大變形

ABAQUS

計算的垂向

最大變形

ABAQUS

計算的縱向

最大變形

解一

88.0

92.22

35.70

33.64

解二

94.5

98.99

34.77

35.85

解三

100.9

102.9

36.47

39.74

解四

116.4

112.8

46.09

51.62

解五

136.5

134.1

60.10

68.26

解六

143.9

142.9

62.63

74.29

解七

152.6

159.0

73.41

88.32

解八

164.2

167.1

69.32

82.35

解九

171.5

174.0

70.30

85.04

解十

186.3

192.1

78.05

100.6

5 結(jié) 論

本文提出的BPNNHDMR建模方法，很好地利用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性函數(shù)逼近能力與高維模型的層級結(jié)構(gòu)理論，并能夠反映輸入變量之間固有的線性關(guān)系和耦合性.尤其對于高維問題，它可以將構(gòu)造模型計算花費由維數(shù)的指數(shù)級增長降解為多項式級，有效地解決了高維建模問題，且與傳統(tǒng)算法相比，具有更高的精度.通過數(shù)值算例和工程優(yōu)化問題的對比，驗證了BPNNHDMR近似方法的精度和效率.另外，該算法對于高度非線性問題精確的數(shù)學(xué)建模還需進一步發(fā)展和完善，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算效率也有待進一步提高.

同時，本文所采用的結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化方法在工程領(lǐng)域的其他方面也可以廣泛應(yīng)用，具有一定的理論和工程實際意義.

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