腦科學與認知科學呈現出蓬勃發(fā)展的態(tài)勢，數學認知領域的腦科學研究也取得了較為豐碩的研究成果，那么認知科學、腦科學研究對理解數學學習的本質以及數學教育實踐有什么啟示，如何看待華人的數學學習與數學教育？為此，北京師范大學腦與數學認知研究中心周新林教授、華南師范大學何小亞教授、北京師范大學張春莉教授、北京師范大學綦春霞教授、國立臺灣嘉義大學楊德清教授、東北師范大學孔凡哲教授、杭州師范大學鞏子坤教授等和來自各個學校的其他教師一道對這一問題進行了深入研討。

一、腦、認知科學與數學學習

1.腦認知與數學學習

認知科學作為一門新興的科學，主要是研究人腦或心智活動機制的一門學科，得到世界科學家的普遍重視。國立臺中教育大學楊志堅教授從國際數學成就在語法、語意及認知神經的意義方面展開論述。北京師范大學也設有腦與數學認知研究中心，該中心的周新林教授以“腦認知與數學學習”為題在此次大會中作了主題報告。在作報告之前，周教授先給出了一個畫面，畫面上給出一些數字，有動物在屏幕上點擊這些數字，然后詢問所有的參與人員，“大家記住這個順序了嗎，有動物的速度快嗎？”其實，他是在告訴我們這就是動物的數學大腦，由此引出此次報告所要講述的主要內容，即數學潛能是比較大的，人也應該具有這個能力，只是目前還沒有被開發(fā)，需要依靠數學教育。

同時，周教授指出研究腦科學就是希望用腦科學的方式來研究數學認知與數學學習，從而服務于中小學的數學教育與教育實踐，并指出現在全球范圍內有30多個腦科學與數學教育研究的實驗室。那么，什么是腦科學方法？周教授認為，簡略地說就是用于心理與教育的腦科學方法，如腦成像、神經心理學等，并從數目加工、數學腦、數學加工的語言作用、數學經驗、腦科學診斷與干預等方面來闡述腦、認知科學與數學學習的關系。

作為數學基礎的數目加工，周教授指出，對數量進行比較是動物與人共有的能力。一些神經元可以對點數進行編元，這是數學起源與基礎的地方。從數目加工與數學教育的關系來說，數感能力（數目加工）越好，數學成績就越好，數學能力就越強。因此，他認為提高數目加工能力是干預計算障礙的基本方法。

何謂數學腦？周教授指出，數學思維的關鍵腦區(qū)是頂葉，但并不是說這個區(qū)域僅僅為數學服務，這是相對的，而是在將語言加工與數學加工進行對比時，這個區(qū)域的數學加工比較發(fā)達，即為數學腦，這對數學教育來講至關重要。如果數學腦頂葉出現問題、大腦頂葉內溝區(qū)域損傷后就會出現數字加工障礙，因此，他認為存在數學腦意味著數學教育具有特殊性，不等同于語言教育，不能是一般教育規(guī)律的簡單推廣，要根據數學腦的特征進行數學的促進與干預。

針對數學加工的語言作用，周教授認為當前雖然存在一定的爭論，但語言在數學中是可以發(fā)揮作用的。腦科學的研究有一定的意義，如在乘法大于加法、精算大于估算、計算大于推理、概念大于計算等領域，按照傳統行為進行研究很難，但腦科學可以揭示為什么女生的計算能力要好于男生，指出數學存在穩(wěn)定的性別差異，并運用偏相關的方法以8～9歲農村與城市的學生進行研究與驗證。假設這些學生的語言能力相同，研究結果發(fā)現他們的計算能力彼此之間沒有差別，但如果假設這些學生除語言能力外其他的能力相等的話，男女生的計算能力差異依舊會存在，從而表明語言中存在一個認知機制，會對數字、數感與數學術語對腦中的活躍區(qū)域發(fā)生影響，認為語言參與數學的程度依賴數學的能力類型、數字與數學術語，基礎教育是可以為教育實踐提供參考的。

關于學習經驗與大腦的關系，周教授認為學習經驗會塑造大腦的數學功能，不同的學習策略導致大腦的計算功能分離，如乘法口訣的背誦，指出乘法在語言區(qū)域的激活更強，加減法在視空間加工皮層的激活更強。同時，他也指出，方法不同，大腦功能就會不同；不同的學習內容會導致不同的數學知識長時記憶系統的形成，認為從腦科學的角度而言，早期學習經驗塑造的大腦數學認知功能具有即時性與穩(wěn)定性的特征，小學教師的責任比較重大，可以影響人的一生，進而得出大腦數學功能具有可塑性與持久性的結論。

借助腦科學中的一個試驗，即產生任務與閱讀任務的對比，周教授闡述了基于腦科學診斷與干預數學學習困難的內容，主要是對學生、學業(yè)認知、認知與腦等進行診斷，對腦、認知、學業(yè)認知與學業(yè)進行干預，認為產生任務多的話，大腦就會比較活躍，激發(fā)的越多，學生的學習效果就會比較好，進一步指出計算障礙的孩子，他們的大腦發(fā)育存在一定的問題，這一比例大概是3%～5%，并指出從心理學的角度來說，產生任務本質上是一個做題的過程，這也從側面說明了做題的價值，認為題海戰(zhàn)術有一定的道理。

2.腦與認知科學方法在數學學習研究中的運用

腦與認知科學作為一門新興的交叉學科，涉及傳統的心理學、教育學、生物學、信息科學、計算科學等學科，如何將它運用到數學學習中，北京師范大學博士生張晗介紹了腦與認知科學方法在數學學習研究中的運用，介紹了腦與認知科學采用的一些方法，如腦成像，指出腦成像是采用現代物理學與生物化學原理呈現大腦結構和功能活動的技術手段，如磁共振成像、腦電圖、腦磁圖、光學成像等，其運作機理是信息源，即參與活動的被試在活動中加工一些數學題目或者其他內容，在這個過程中運用腦成像的一些儀器對被試的大腦活動進行掃描與記錄，并對這些信息進行整合、分析，最后得到他們進行這些特殊加工時的大腦活動情況，如大腦激活、神經纖維束。在這里，張晗指出腦成像技術是一種無損傷的技術，可以直接觀察大腦的活動，進行數學加工與數學學習，但也會受到時間、空間分辨率的約束。

有關磁共振成像的原理，張晗指出它主要是利用電磁場去興奮大腦中的原子，這一過程所導致的磁場變化會被一臺環(huán)繞被試的外磁體所檢測，進而由一臺計算機處理成三維大腦圖像。結合具體的研究——如何在具體的實踐中運用磁共振成像的方法，她介紹了一個實驗，即被試是12名數學學習困難兒童和12名正常對照組兒童，對參與研究兒童的3D大腦T2結構像進行掃描，借助工具包VBM與SPM進行結構像分離和灰質密度對比分析，結果發(fā)現大腦左側頂內溝區(qū)域，正常對照組的灰質密度要大于數學學習困難組，也說明了數學學習困難的兒童不是他們不想學，不好好學，而是他們的大腦發(fā)育沒有給他們提供可以順利學會數學知識的生物學基礎。

對如何提高頂內溝區(qū)域神經元的興奮性，張晗認為經顱電刺激技術的應用使其成為可能。經顱電刺激技術是一種無創(chuàng)的神經電生理技術，使用電脈沖刺激大腦特定區(qū)域的神經元，暫時地興奮或抑制這一部位的神經活動，可以發(fā)現對頂葉進行經顱電刺激能促進學生的數學學習，這對我們今后改善數學學習困難兒童有很大的幫助。

此外，張晗還對心理學的實證研究方法進行了介紹，指出借助專業(yè)的實驗設備，嚴格控制刺激的呈現，準確地記錄被試的反應時間和正確率，有助于發(fā)現彼此之間的因果聯系，并具體地闡述了他們運用這一方法對中國幼兒園兒童在數字的心理數軸表征和數學學習成績方面的相關認知機制進行研究，指出中國幼兒園兒童具有較為顯著的數字—空間聯合編碼效應（SNARC效應），也就是說他們對小數字的反應時間要短于大數字的反應時間，即在兒童的頭腦中已經存在一個心理數軸，具備數字空間的表征能力，即小數字在左邊、大數字在右邊。即使不通過課本進行知識傳授，數軸在兒童的大腦中已經自動化地出現，從小數到大數，自左向右排列。

同時，在考查與數學學業(yè)成績密切相關的認知機制時，她指出Numerosity與兒童數學學業(yè)成績高相關，在考查兒童的數量或者數目能力時，收集學生早期數學能力測驗與WJ計算分測驗，并將其和Numerosity成績進行相關分析，就會發(fā)現Numerosity越高，其數學能力測驗與WJ計算分測驗的成績就越高。此外，Numerosity與成人數學學業(yè)成績高相關， Numerosity的強弱與數學學業(yè)成績的高低顯著相關。這也給我們一個啟示，那就是Numerosity是與數學學業(yè)成績相關的一個很重要的因素。此外，她指出通過對北京師范大學的一些研究生進行高等數學能力與空間能力、語言思維能力等方面的相關測試，可以發(fā)現空間能力與高等數學成績高相關。

最后，張晗認為在大數據時代如何開展數學學習研究，利用信息科學技術快速收集、遠程收集實驗數據成為可能，也使得基于大數據的分析成為可能，這有利于更好地進行數學學習研究。

3.概念圖在評價數學概念性理解中的應用

從認知心理學，如知識表征、腦科學等視角，概念圖在理論層面與學生的知識儲存形式存在一定的共性；從數學概念本身的學習來說，數學概念之間也存在一定的關系；從學生學習的角度而言，概念圖可以反映學生概念性理解中的知識缺失和理解性缺失，促進學生的學習。為此，南京師范大學講師金海月針對“概念圖在評價數學概念性理解中的應用”發(fā)言，指出通常意義下的概念理解是對單個概念從內涵到外延的全面性把握，會涉及這個概念與其他概念的關系，但她主要強調的是對單個概念的理解。

概念性理解是對關系的把握。她認為概念性理解可以劃分為三種層次，首先是單個概念，如定義、例和反例，以及不同的表征形式，對單個概念理解后才能建立概念之間的聯系；其次是概念間的相互聯系，如等值抽象、弱抽象、廣義抽象等；再次是應用，不涉及操作層面的程序性知識，主要指的是對概念及其關系應用的原理性認識，指出概念性理解的重要性是學生靈活地運用及在不同背景條件下恰當地應用知識的前提條件。

此外，她還提出了一個跨領域的學習方法，即社會網絡分析法，將一些關系以社會網絡圖的形式刻畫出來，中間的結點表示個體，借助出度與入度，在一定程度上反映數學教育領域中的社會地位與角色，同時它還有一條連線，表示距離與緊密程度，體現緊密度、交流度與可達性。此外，也會存在一定的從屬結構、連通性與子群（小群體）。

在此次報告中，她指出她曾借助社會網絡分析法對江蘇省某初中二年級的48名學生就他們對有關方程、函數相關概念的概念性理解現狀進行了試驗分析，采用概念定義測試卷、概念構圖測試卷與傳統題卷作為研究工具，結果發(fā)現概念定義測試、概念構圖測試與傳統題三類試題在評價數學概念性理解上都有一定的優(yōu)勢。但在概念圖中，學生很少提及相關概念的例或反例，這能夠反映出學生對概念的一些錯誤理解與概念的組織結構，能促進他們今后的學習。同時，她也指出，前期對概念圖進行培訓與分析比較費時，而且學生會遺漏或者回避一些聯系，假如這些聯系比較重要，而在學生的頭腦中這種聯系缺失的話，教師就要在教學過程中刻意地幫助學生建立這樣的聯系。

二、有關數學學習的研究

1.數學學習的探索與鉆研

數學作為一門重要學科，教師怎樣“教”與學生怎樣“學”應是數學研究的重要內容，那么如何改進學生的學習，多年來眾多數學教育工作者與一線教師都進行了不懈的探索與鉆研。美國特拉華大學蔡金法教授用做活動的形式開始了他的講座內容。這個活動是在白紙上呈現一系列的詞語，這些詞語之間沒有聯系，但在這些詞中有一些是標志詞，如A（北京 抄寫 北京）、B（北京 聯想 藍天）、C（北京 抄寫 北京 聯想 美麗），即A的標志詞是“抄寫”，B的標志詞是“聯想”、C的標志詞是“抄寫”與“聯想”，在規(guī)定的時間內“抄寫”或“聯想”，再將所給的詞語盡可能多地默寫出來，檢查默寫A、B、C類的數量，查看這些數量之間的差異。這個活動結束后，蔡教授將他在其他地方做的相同活動的統計結果給予簡單的回顧，指出不管人數多少、地點在哪，結果是沒有什么差別的，認為一旦抄寫與聯想同時存在的話，學生的學習效果就會好一些，并用卡方檢驗給予簡單的描述性統計。

同時，蔡教授還講述了他做的另一項研究，即考查1 316名高中生是怎樣思考與感知數學的，他會詢問學生“如果數學是一種食物、顏色、動物，它可能是什么，為什么？”讓學生來思考，并寫出自己的真實感受。有的學生會寫“數學像牛排，因為數學是一個面很廣的學科。然而，牛排有的部分很硬很難啃。雖然整頓飯的最后還是滿意的，但吃的過程是挺費力的”；也有的學生會寫“數學像蚊子，因為無論你試圖做什么躲避它，它總會回來的，讓我討厭的是每年都要上數學課，無論你試圖做什么以逃避數學課，你總不會得逞的”。通過這些語言，蔡教授認為，可以看到學生對數學的喜愛與興趣的程度，并針對學生的回答分成5個等級（1—5分）進行定量分析或者定性分析，揭示學生所使用的比喻類型以及原因，研究興趣對學習的影響。

此外，蔡教授指出他對美國聯邦政府支持的改革型課程與傳統型的課程進行了長期的跟蹤研究，研究對象是從六年級升到八年級的1 300名學生與升入高中后的1 000名學生，結果發(fā)現學生從六年級升到八年級時，如果之前實施的是改革型課程，學生對問題理解的增長情況要比傳統型課程來得好；在計算問題上，學習兩種課程的學生差不多，高中（9—12年級）學習兩種課程的學生在高中課程完全一樣的情況下，學習改革型課程的學生在數學態(tài)度與數學成績上都要高于學習傳統型課程的學生，這說明以問題解決為主的課程與教學有比較正面的影響。

2.理論研究與數學學習

任何領域的研究都離不開理論的支撐，數學領域也不例外。來自東北師范大學的郭民副教授與史寧中教授從數感的發(fā)展規(guī)律與特征入手，具體介紹了其在數學領域的實證研究。他們認為數感是人們對數和數的關系的一種感悟，以及運用數字關系和數字模式進行推理與解決問題的能力，但這一定義有待商榷，同時也指出綜合已有文獻與《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》，數感的構成要素包括數的意義、數的表示、數的關系、數的運算、數的估算、數的問題解決，并對小學生數感發(fā)展階段做了一個假設性劃分，即數覺階段，在還未建立數概念符號時對數的大小與多少形成的直觀感受；符號階段，基于數覺，依靠知識、經驗技能發(fā)展起來的建立在概念符號基礎上對數和數字關系的感悟能力；模型階段，或者問題解決階段，建立在模型基礎上對數字關系和數字模式的感悟，以及運用數字進行推理與解決問題的能力。

此外，他們還對小學教師進行了問卷調查與訪談，研究發(fā)現90%的教師知道課程標準中有數感概念，但不知道數感是什么；80%的教師認為數感比較重要，但不知道怎樣培養(yǎng)學生的數感。通過測試與分析，郭教授認為，總體而言，小學生的數感發(fā)展水平隨著年級的升高逐漸提高，二年級與三年級學生的數感發(fā)展水平存在顯著差異，三年級與四年級、四年級與五年級學生的數感發(fā)展水平并不存在顯著差異，五年級與六年級學生的數感發(fā)展水平則存在顯著性的差異；對各個分測試結果進行分析，可以得知二年級的學生處于第一個發(fā)展階段，三至五年級的學生處于第二發(fā)展階段，六年級的學生處于第三發(fā)展階段?；诖?，他們認為教師可以對小學數學課程進行內容設計，在一二年級的數學學習中設計數的意義、數的表示、數的關系與數的運算的部分內容；在三至五年級的數學學習中設計數的意義、數的表示、數的關系、數的運算的全部內容和數的估算、數的問題解決的部分內容；六年級學生的數學學習中可以設計數的估算、數的問題解決的其他內容。

在數學理論研究層面，人們不僅對數感內容進行了研究，還以基膜導向數學理論為理論基礎對學生的數學學習進行了研究。來自國立臺中教育大學的陳嘉皇教授指出，2014年8月臺灣地區(qū)開始實施“十二年國民基本教育”，主要是想培養(yǎng)學生運算與理解的能力、抽象化的能力與在日常生活中運用與推理的能力。他認為基膜是一種認知機制，可存儲、綜合、歸納及提取經驗，讓個體組織相似的經驗，進而協助辨別額外的經驗，簡單地說就是學生正在學習的數學概念與技巧，而教師的任務就是怎樣發(fā)現、激活學生大腦中已有的基膜與能力。因此，陳教授認為基膜導向解題教學的操作歷程是辨識問題情境中運用的基膜關聯知識，將問題或問題類型里重要的元素予以配對及呈現其關系，計劃和選擇所核實的數學等式進行運算及執(zhí)行此計劃。同時，他以某公立小學一年級升入二年級的26名學生進行前測后選擇12名學生，按照高低分分成兩組進行測驗，主要測試的題型包括數學算式對錯判斷問題、數字填充問題和相等概念配合題，一個月后進行后測。通過研究，陳教授指出，經過基膜導向解題教學實驗后，學生能夠獲得等號反身性、單邊運算與雙邊運算相等關系的概念，學生學習等號概念的路徑從單邊運算、反身性、雙邊運算的教學效果最佳；其次是反身運算、單邊運算、雙邊運算；依據學生認知能力差異，等號概念之間的轉化與連接有不同的表現。而且，陳教授還對臺灣南部某公立小學六年級33名學生運用一般化基膜進行圖形規(guī)律問題研究，針對學生發(fā)想、鏈接與歸納三個階段對他們的解題過程進行分析，他指出，從發(fā)想階段來看，學生會運用兩種模式進行發(fā)想，一是整體圖形關系、部分結構要素，二是乘法、加法、乘法與加法的結合；在鏈接與歸納階段，學生也會有自己的想法。

因此，陳教授指出，學生學習數學時一定要有一定的基本能力。在數學領域上，基膜已成為代數知識研究與模式化知識過程的一個重要的理論工具。在組織與拓展代數知識上，學生若能成功地發(fā)展變數的基膜，就可以拓展到等式、函數的概念，有助于提升數學學習的成績。

3.教學實踐與數學學習

《普通高中數學課程標準（實驗）》頒布以來，有關立體幾何部分課程結構和教學要求的調整引起了人們的許多爭論，為此，來自常熟理工學院的黃興豐、裔晶晶與楊丹丹指出，根據范希爾理論，學生的幾何學習分為5個水平，即視覺、描述/分析、抽象/關系、形式演繹、嚴謹/元數學等，但范希爾理論存在一個問題，即它認為學生幾何思維的發(fā)展有先后順序，只有達到前一個水平后，才有可能跳躍到后一個水平。在現實生活中，很多學生的思維發(fā)展規(guī)律和范希爾理論是不一致的，且學生的思維水平一般達不到元數學的水平。因而，他們指出，1999年意大利學者Gutiérrez斷言，人的幾何思維發(fā)展可能是連續(xù)的，可能各個水平的發(fā)展會同時發(fā)生，并非單一的，所以，他們引入四維向量對范希爾理論的5個水平給予表示，說明其四個方向上都可以發(fā)展，并將每個水平分成5個連續(xù)的發(fā)展階段，即未獲得（水平1）、低水平獲得（水平2）、中等水平獲得（水平3）、高水平獲得（水平4）、完全獲得（水平5），運用定量的數值區(qū)間（0～100）刻畫學生在各個水平上的發(fā)展狀況。為了驗證這一理論的科學性，他們對蘇南某縣的7所普通高中內最好、最差與排名中間的學校的高三學生進行具體分析，結果發(fā)現，高三學生在水平1、水平2上沒有什么問題，如果說在水平3上還可以的話，那么學生在水平4上則表現得很低，處于未獲得、低水平獲得階段，從而他們指出大部分學生的思維發(fā)展屬于水平2到水平4，并在前兩個水平上得到了充分發(fā)展，在后兩個水平上有待提升，尚處于數學推理階段。

數學學習離不開樣例（教材中的例題）的學習。通過樣例學習，掌握一定的知識與技能，培養(yǎng)學生解決問題的能力。那么怎樣才能了解學生能否通過數學運算的樣例學習，領悟、歸納運算規(guī)則呢？為此，來自遼寧師范大學的張奇教授針對數學運算規(guī)則的樣例學習進行了研究。他主要做了三個實驗，第一個實驗是對二年級學生進行“四則混合運算”的樣例研究，考查他們能否通過運算樣例學會四則混合運算，把某個運算規(guī)則進行分解，如無括號、小括號、中括號，他指出多數被試可以通過樣例學會小括號與中括號的運算規(guī)則，但他們很難學會無括號的四則混合運算法則。第二個實驗是選擇小學三至五年級的學生作為被試，以“有理數去括號”的運算規(guī)則進行樣例學習，每個運算規(guī)則設計2個運算樣例，在樣例學習階段增加樣例歸類作業(yè)，最后他指出3個年級的學生可以不同程度地學會去括號的運算規(guī)則，前2個子規(guī)則的樣例成績要顯著好于后2個子規(guī)則，而且年級越高，成績越好，存在一定的年級差異。第三個實驗是代數運算規(guī)則的樣例學習，對“完全平方和”與“平方差”進行樣例學習，考查六年級學生能否通過運算樣例學會代數規(guī)則。研究表明多數被試很難學會“平方差”的運算規(guī)則，少數被試可以學會“完全平方和”的運算規(guī)則。那為什么代數運算規(guī)則比較難呢？為此，張教授進行了深入的探索，認為代數運算符號存在一定的變化，學生可能不理解代數運算符號，在符號代替數字方面存在一定的難度。基于此，張教授指出，教師可以用已經學過的運算符號與運算規(guī)則來解釋新的運算符號，可以用解釋法設計樣例，如5×3=5+5+5，此外，還可以運用解釋—標記法，用虛線進行標記，并針對此內容進行了對照實驗。他指出，研究發(fā)現有轉換標記組的樣例學習遷移成績明顯優(yōu)于對照組，而且解釋法的樣例設計在“對數運算”的樣例學習中發(fā)揮著有效的促進作用。最后，張教授指出，樣例學習是自主學習，但要從教學效果上進行樣例設計，符合不同個體的需求，對優(yōu)秀學生，樣例要有一定的難度，解釋與標記少一點；對學困生，要增加一些標記，使其學習更容易些，增強他們自主學習的成就感。但同時，張教授也指出樣例學習并不是主流方式，只是起輔助作用，是提供學生自主學習的方法。

任何一個運算都要了解運算的意義、算理與法則，小數乘法的意義也不例外。然而，教師不應該用整數乘法的意義來代表小數乘法的意義，為此，來自杭州師范大學的鞏子坤教授通過對小數乘法意義的調查研究來分析學生對數學意義的理解水平。他主要對兩所城市學校的2個班級（五、六年級）的學生進行研究，采用質與量的問卷調查法了解學生理解水平的縱向變化，對符號到語言的轉化、從現實情境到語言的轉化、從語言到符號的轉化、從符號到現實的轉化、用圖示直觀表征等5類問題進行分析。根據研究結果，鞏教授認為對小數乘法意義的正確理解主要有：第一，從書面符號表征到口頭語言表征的轉化，如8.2×10的意義是什么？第二，從口頭語言表征到書面符號表征的轉化，6個2.05的和是多少？第三，直接敘述小學乘法的意義，如一個數乘小數的意義是什么？第四，從現實情境表征到書面符號表征的轉化，如小明有7.5千克蘋果，小華的蘋果是小明的32%，小明有多少千克蘋果？給出現實背景，列出式子。第五，從書面符號表征到現實情境的表征。同時，他也指出了對小數乘法意義的錯誤理解有：第一，整數運算的負遷移，如加與和、用幾個幾的和來表征；第二，關鍵字策略，如出現“和”字、“取走”與“用”字；第三，分數知識欠缺、錯誤的分數表征、混淆分數的絕對性與相對性、肢解分數的意義……最后，鞏教授認為由于小數乘法具有層次性與有限性，學生的分數知識有限且教材內容的設計使學生對小數乘法意義的理解有限，在今后的教學中教師應加強分數教學，豐富學生的認知結構，同時也要改變教科書的呈現順序，完善學生的認知結構，并注重直觀教學。

幼兒園的孩子對某些問題會解決得很好，但進入小學之后會出現一些不能理解的錯誤，那我國是不是也存在這樣的問題，為此，北京石景山區(qū)蘋果園第二小學教師張嶺通過對學生在學習理解加減法運算意義中所形成的“情境原型”的研究試圖對這一問題進行回答。張嶺指出，“情境原型”指的是與加減乘除這四種一步運算相對應的現實情境，加減的“現實情境”原型有聚合、比較、增加性變化與減少性變化。通過對北京郊區(qū)縣一至三年級的500名學生進行抽樣測試、追蹤訪談和比較研究，深入了解了學生用加減法原型解決問題中會遇到的主要困難，也探查了影響學生解決問題的可能影響因素。在他的研究中可以看到，學生會遇到的主要困難是見“多”就加、見“少”就減、看見“還?！本蜏p、見“飛”就減、看見“一共”就加等。因此，他認為學生對加法的聚合、增加變化與減法的減少變化理解得比較多，但對比較原型的掌握比較困難，指出從中找到一些可以應用的步驟對其給予正確理解、與正確計算方法對接、避免一些錯誤定勢，這對問題的理解與表征比較重要。教師在教學過程中要注意利用好直觀的教具與學具，做好直觀學具與抽象算式之間的溝通。

評價=事實描述+價值判斷+增值探索。北京教育學院張丹教授認為對評價的認識不僅需要進行測量，還要有事實的描述，進行一定的價值判斷。她講述了她們在2013年對東、中、西部地區(qū)的三年級學生進行的“數的運算”掌握情況的調查，重點對東部某省的情況進行了分析。根據課標的要求，張教授將能力維度分為了解、理解、掌握與運用，將內容維度分為數與代數、空間與圖形、統計與概率，并圍繞“數的運算”設計了一定的題目。她指出，測試結果表明學生在如何理解這一定義上遇到了較大的問題，在“計算與算理”方面的正答率較高，但在“估算”作答方面，學生在判斷是否符合題目要求時發(fā)生了錯誤。因此，張教授認為，在運算意義方面，三年級學生在熟悉的實際情境到符號的轉化、符號到圖形表征的轉化方面表現得不錯，同時指出他們還會進一步對現實情境、圖形表征、文字表征、符號表征的其他轉化方面開展測試；在計算和算理方面，需要進一步研究學生能完成什么樣的任務才能說明其在算理理解上達到合格水平；在估算方面，主要集中在四舍五入與余數計算上，不少學生在解決實際問題時不能很好地捕捉到復雜情境中的信息。為此，她認為教師要重視教材和具體情境，鼓勵學生列式，重視對算式的理解與解釋，避免將估算當作近似計算、四舍五入等進行教學，使得學生不會根據實際情境進行大估。

4. 中考數學改革趨勢分析

評價改革是制約教育改革的瓶頸，“你考什么我就教什么”的傳統習慣一直是我國中小學校遵循的潛規(guī)則，更被社會廣泛認同。如何切實發(fā)揮中考的“指揮棒”作用，讓中考切實引領初中數學日常教學走向科學、規(guī)范之路，成為中考改革的關鍵，中考命題與評價的研究也成為促進教育改革的關鍵點。吉林市第二十九中學教師朱航與吉林省教育學院副教授孟祥靜基于全國中考數學的命題趨勢對中學數學的改革趨勢進行了分析，指出今后中考數學命題會突出“四基”與“四能”的考查，關注學生的數學素養(yǎng)，主要表現在繼續(xù)強化基礎知識與基本技能的考查、注重數學基本思想與數學基本活動經驗的考查，以期以探究的形式有效地引導學生提出有價值的問題。此外，他們認為中考試題要體現課程標準的理念，改善學生的數學學習方式，豐富他們的數學學習體驗，有效地評價他們的數學學習狀況。

此外，在“四基”的考查方式方面，如何避免機械記憶、重復訓練，如何改變簡單地、機械化地解答數學題的模式，也是他們要重點探索的問題。他們同時也希望對“四基”的考查能關注對初中階段核心知識、核心思想的真正理解和靈活運用，體現數學對未來公民素養(yǎng)培養(yǎng)的普及性與基礎性。在“四能”的考查方面，他們認為在如何分析與解決問題的基礎上要為學生留有發(fā)現問題、提出問題的空間，給予合理的評價，關注學生應用意識與創(chuàng)新思維的考查，體現數學的發(fā)展性。

三、有關數學教育與教學評價的研究

我國基礎教育課程改革已進行多年，如何更好地觀察基礎教育課程改革下的課程教學實踐的變化，對課程教師教學質量進行評價，來自深圳大學的講師李小青與來自香港中文大學的倪玉菁教授具體講述了課堂教師教學質量評價工具的編制過程，采用自我報告法與觀察法對課程改革背景下的教師教學情況進行了評價，通過編制本土化的教師課堂教學質量觀測工具，關注數學課堂師生對話的狀況，從對話內容中對教師課堂質量進行評估。她指出，她們主要是從解釋性的教學行為進行評估的，認為教學性解釋是課堂中教師和學生共同建構的、服務于教學的、用以回答學科的各種疑問，指出評價工具的編制視角有科學哲學、傳播學、教學，工具編制的主要維度是準確性、豐富性與連貫性。同時，她指出準確性指的是教師在解釋中能夠提供準確的數學知識，教師的數學語言是準確無誤的；豐富性指的是教師能夠為學生呈現豐富的數學語言，能夠使用一題多解的方式，能夠聯系核心數學概念及法則；連貫性指的是解釋圍繞一個內容展開，教師能夠積極地回應學生作答。同時，她還對河南鄭州20個學校58名五年級教師連續(xù)3節(jié)課的錄像進行分析，對教師的解釋與延伸性對話等教學片斷進行評估。通過檢測，她指出這個工具具有穩(wěn)定性，信度也比較好，在內容效度、準則關聯效度方面的效果較佳，但結構效度有待提高，認為這一研究工具能夠運用在指導教學實踐上，幫助教師了解和反思個人教學，為評價新課程改革下小學數學課堂教師教學狀況，尤其是課堂師生對話的狀況提供一定的參考。

區(qū)域教育質量監(jiān)測主要是為了測評、改進與提升教育質量，以能力為導向、以常模參照為標準、以診斷改進為功能。來自北京師范大學的張新顏、王祎及淮北師范學院副教授李孝誠針對初中八年級學生數學素養(yǎng)的基本情況進行了匯報，認為數學素養(yǎng)是人的潛在能力，要將素養(yǎng)聚焦在能力上，并指出數學素養(yǎng)應存在三個視角，即價值取向、要素取向和能力取向，同時也指出在這個研究中主要采用要素取向，認為數學素養(yǎng)測評的核心領域為概念理解、運算、推理、幾何直觀。他們主要針對639所中學初中九年級83 792人（內容是八年級的）進行學業(yè)的紙筆測驗，主要測試內容是數與代數、圖形與幾何、統計與概率。為了保證數學素養(yǎng)測驗的信度與效度，采用專家評定法與加權平均的方式確定測評題目。在概念理解與推理問題上，學生的不合格率是5%，且概念理解的優(yōu)秀率要明顯高于推理，而且成績較好的學生在概念理解與推理上的能力更強。不同性別的學生差異不明顯，差異關鍵體現在地區(qū)性質、教學資源的分配上。因此，他們認為應建立“以能力為導向、以標準為參照、以診斷與改進為主要功能”的學業(yè)測評標準，在教學過程中關注差異，尤其是學校之間的差異。

教學是一種特殊的認識活動，是學生為主體、教師為主導的以師生之間溝通活動為主的社會實踐活動。基于綠色理念的數學教學評價要有四個基本原則，即評價指標要兼顧科學性與可操作性、內容要兼顧教師的“教”與學生的“學”、方法要兼顧定量與定性方法的結合、評價功能重在診斷與改進。北京師范大學教授綦春霞、淮北師范大學副教授李孝誠和北京石景山區(qū)基礎教育研究中心教師李文從促進教師專業(yè)發(fā)展的視角闡述了初中數學綠色課堂教學的評價標準，認為數學教學活動要體現數學內容設計的科學性、學生參與的主動性、學生個人和教師共同體關系的處理及活動規(guī)則創(chuàng)設的方式與有效分工，分為4個維度，即教學內容的處理、教學組織形式的選擇、對學生數學學習的關注、師生情感交流場的建立，共27項內容。此外，他們還進行了一定的統計分析，從中發(fā)現教師的6個專業(yè)素養(yǎng)，即對學生的關注、教學方法、教學效果、師生的可持續(xù)發(fā)展、教學設計、教學本質的關注，并對其進行分解組合，從而形成數學綠色課堂教學的評價標準。為了進一步檢驗初中數學綠色課堂教學評價標準的科學性與操作性，他們在石景山區(qū)的3個學校進行了一個學期的試用，并對指標體系進行研討與優(yōu)化，指出評價指標維度要精簡，指標內容要精確化，要體現數學綠色課堂的基本特征，最好實行等級評分制；要內化綠色課堂的基本理念，構建和諧的課堂文化；符合初中學生數學學習的特點，關注學生的可持續(xù)發(fā)展；凸顯初中數學的學科特點，注重數學本質的理解；引領教師反思，促進教師專業(yè)化發(fā)展。

現代教育評價強調建立一個評價目標多元、評價方法多樣的發(fā)展性評價體系，強調發(fā)展性與過程性評價。為此，北京師范大學張春莉教授從數學學習的發(fā)展性評價入手進行了理論與實踐的探究，認為新課程改革之后，學校教育發(fā)生了很大的變化，教師不再僅僅以成績來評價學生的學習表現，把學生的學習能力體現在他們的各種學習活動實踐中，在能力上相互促進與影響。同時，她指出了七種多樣化的評價方法，如日常觀察、紙筆測試、表現性任務、成長記錄袋、二次評價、評語、家校合作，并進行具體的闡述，認為日常觀察主要是對學生的學校表現、綜合素質進行關注，認為激勵不等于一味地表揚，正確地指導與批評也是必須的；在進行紙筆測驗時，不但要重視結果，更要重視過程，要淡化橫向比較，加強縱向比較，并且要對高低年級的學生體現出不同的人文關懷；表現性任務是要挖掘兒童熟悉的情景，進行動手操作，要有民主和諧的課堂氛圍，在教材中加強嵌入式的表現性評價；成長記錄袋要體現評價的激勵、學習、教育等功能，具有鮮明的學科性與可操作性，重視發(fā)展學生的個性，進行多元性評價，但要體現出年級之間的差異；二次評價，是“要我改”變?yōu)椤拔乙摹?，使教育從成功走向“成功”，采用重考與免考制度；評語要在平時收集，有感而發(fā)，進行較正規(guī)的階段性總結，以論點與論據結合的方式呈現；家校合作的聯系方式有卡片、網絡、信息等，將學生的表現呈現給家長，但要防止完全依賴家?；ヂ撈脚_而忽視與學生面對面地交流與對話，還要考慮如何尊重學生的隱私權。最后，她指出，數學教學評價未來的研究方向是如何將評價更好地融入到教學中，為教學服務；如何使評價標準做到公平、公正與公開；如何在實踐中使各種評價工具協調一致地發(fā)揮作用。

不管是基礎教育課程改革提倡的發(fā)展性評價，抑或是當前我國提倡的綠色評價，其根本宗旨就是促進學生終身的可持續(xù)發(fā)展，因此，東北師范大學南湖實驗學校的孔凡哲等認為小學數學評價要關注過程與結果，更要關注學生的潛質，要基于可持續(xù)發(fā)展的視角進行小學數學教學的評價研究，指出評價的內容應有濃厚的學習興趣、良好的學習習慣、科學的學習方法、健全的身心、初步的社會責任感、向上的精神與創(chuàng)造的激情。同時，他們認為要有將激勵、診斷與改進等多種功能融為一體引導學生開竅的課堂即時性評價，有聚焦理解性掌握、關注測評學生對數學新知的自我建構過程的數學口試，有關注興趣、方法、應用意識等的綜合性專題活動評價，從而激發(fā)學生數學學習的潛質，有效地發(fā)揮評價的多元功能。同時，該校教師還講述了他們運用電腦語言輔助評價對課堂評價的一些案例，認為在課內外評價方面，要采用“課內鋪墊+課外評價拓展+多角度評價卡”相結合的方式進行整合性評價。最后，他們認為學校教育需要潛移默化，從自然的人到社會的人，而數學教育的作用在于幫助學生開啟一扇思維之窗、啟迪學生終身受用的智慧。評價不僅在于甄別、檢測，更在于激勵、改進，學生學業(yè)評價的根本在于促進學生的可持續(xù)發(fā)展。

大腦作為人們認知學習的重要物質載體，腦科學與認知科學的發(fā)展推動著人們對數學學習與教學評價進行更為深入的研究，它們之間存在著密切的聯系。數學教育問題是復雜的，如何在這一復雜的體系中較為清晰地發(fā)現某種脈絡進行學習與教學，這是所有數學工作者與一線數學教師不斷追求的夢想，他們也正在這條道路上前行著。

（責任編輯：孫建輝）