葉昌輝

〓〓對于解不等式討論最多的是求最值問題、含參數(shù)不等式恒成立等問題，實際上求解含參數(shù)不等式里包括不少的求最值問題，有不少的數(shù)學(xué)教學(xué)工作者結(jié)合實例總結(jié)了多種求解方法與技巧.對于含參數(shù)的不等式恒成立，確定參數(shù)取值范圍的這一類問題.這類問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，同時數(shù)學(xué)語言比較抽象，利用等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)思想的數(shù)學(xué)思想方法，把所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再運用函數(shù)的性質(zhì)求解，既能解決問題又能減少運算量.

〓〓因而，求含參數(shù)不等式的恒成立問題時，常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題、二次函數(shù)問題、求函數(shù)的最值問題.

〓〓一、利用一次函數(shù)性質(zhì)解不等式

〓〓對于一些不等式，我們可以通過變形將其轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，然后再運用一次函數(shù)的性質(zhì)求解.一次函數(shù)fx=kx+bk≠0的性質(zhì)fx＞0在［a,b］上恒成立?圳fa＞0fb＞0.

〓〓例：對一切p∈［-2,2］，不等式log22x+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

〓〓分析：若直接解關(guān)于x的不等式，再利用p∈［-2,2］求x的取值范圍，顯然相當(dāng)復(fù)雜.但仔細觀察后，發(fā)現(xiàn)通過恒等變后，再利用一次函數(shù)性質(zhì)，問題將得解.

〓〓解：令f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2，由題意知f(p)＞0，在p∈［-2,2］上恒成立，則有f(-2)=-2log■x-1+log■x-12＞0,f(2)=2log■x-1+log■x-12＞0,?圯log■x＞3或log■x＜-1，?圯x＞8或0＜x＜■,所以，x的取值范圍為（0，■）∪(8,+∞).

〓〓本題容易因思維定勢常把原不等式視為關(guān)于log■x的二次不等式，用分類討論解答，過程相當(dāng)繁雜.如果能注意觀察log■x與p的關(guān)系，結(jié)合常量與變量的轉(zhuǎn)化思想，把p變?yōu)橹髟?，log■x變?yōu)閰?shù)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的一元一次不等式問題，通過函數(shù)思想，構(gòu)造函數(shù)f(p)，把問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題，簡單易解.

〓〓二、利用二次函數(shù)性質(zhì)解不等式

〓〓例：已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m+1)x+3>0對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

〓〓分析：以上不等式恒成立，首先考慮利用不等式恒為正的充要條件，并對二次項系數(shù)分類討論.

〓〓解：（1）當(dāng)m2+4m-5=0時，解得m=1或m=-5. 顯然，m=1時，符合條件；m=-5不符合條件.

〓〓（2）當(dāng) m2+4m-5≠0時，由二次函數(shù)對一切實數(shù)恒為正數(shù)的充要條件，得

m2+4m-5>0,?駐=16m-12-12 m2+4m-5<0,解得1

〓〓在本題中往往會忽略二次系數(shù)為零的情況，直接當(dāng)作一元二次不等式來求解，從而導(dǎo)致失解、漏解的情況出現(xiàn)，應(yīng)引起重視.

〓〓三、利用函數(shù)最值解不等式

〓〓通過變形將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，我們常用的策略和方法有：分離參數(shù)法、變更主元法、分類討論法、二次函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的單調(diào)性法等.

〓〓例：若對于x∈［2，2］，mx2-mx-6+m<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

〓〓解析：若f(x)=mx2-mx-6+m<0，即m(x2-x+1)<6在x∈［2，2］時恒成立.又x∈［2，2］時，x2-x+1∈［■，7］，即x2-x+1>0，所以原不等式等價于m<■恒成立，即m<(■)min .又■≤■≤8， 所以(■)min=■，所以m<■. 所以m的取值范圍為（-∞，■）.

〓〓在含參數(shù)的不等式恒成立的問題中，若能將所求參數(shù)與自變量分離出來,則可以借助于求函數(shù)的最值,解出參數(shù)的范圍.

責(zé)任編輯〓羅〓峰